测量误差与数据处理(3)

（3）根据改正数方程，可求得改正数为：
V P1ATK
0.5 1.0
1 1
4.8
1 2.4 2.4
0.5 1
4.8
（4）由此得高差的平差值为：
hˆ hV
即：
1.004 4.8
0.9992
1.504
2.4
103
1.5064
2.512 4.8
2.5072
h 1 0 .99 m ， h 9 2 1 2 .50 m ， h 6 3 2 4 .50 m 7
示例的解算
解：（1）此例n = 3，t = 2，故r = 1，列出 如下平差值条件方程：
H A h ˆ 1 h ˆ 2 h ˆ 3 H B 0
以代入上式，可得条件方程为：
v 1 v 2 v 3 ( H A h 1 h 2 h 3 H B ) 0
将已知高程和观测高差代入计算闭合差（ 单位mm），然后用矩阵表示如下：
1. 根据平差的具体问题，确定条件方程的个 数，列出条件方程式，条件方程的个数等于 多余观测数r；
条件方程
➢平差值条件方程：
a1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ 2
rn Lˆ n
r0
0
➢改正数条件方程：
0 0 p
n
1
p1
0 1 0
p2
0 0 1
pn
基于闭合差条件的条件平差
❖条件平差原理 ➢ 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r 条件方程。
➢高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根 据最小二乘法求出一组高差改正数。
条件平差步骤
❖组成法方程：
✓代数形式：
aa
p
ka
ab
p
kb
ar
p
kr
wa
0
ab
p
ka
bb
p
kb
br
p
kr
wb
0
ar p
ka
br
p
kb
rr p
kr
wr
0
✓矩阵形式： A1 P A TKW 0
法方程的组成与解算
❖解算法方程：
令：
4.计算未知参数的平差值：
Xˆi Xi0 xˆi
5.计算观测值的平差值。
Lˆ LV
6.精度评定：
（1）计算单位权中误差：
ˆ0
V T PV nt
6.精度评定： （2）计算未知数函数权倒数：
，，， • 未知数函数：ˆ X ˆ 1 X ˆ 2 X ˆ t
• 线性化：
d ˆ X ˆ1 0d X ˆ1 X ˆ2 0d X ˆ2 X ˆt 0d X ˆt
间接平差步骤
1. 根据平差问题的性质，确定必要观测个数，并选定t个独立 量作为未知参数，并根据已知数据和观测值计算出参数的 近似值。
➢ 参数方程：
L1 v1
L2 v2
a1Xˆ1 b1Xˆ2 t1Xˆt d1 a2Xˆ1 b2Xˆ2 t2Xˆt d2
Ln
vn
anXˆ1
bn Xˆ 2
tn Xˆ t
NrararAnPnn1
AT
nr
解算得：
K
r1
Nrara1Wr1
改正数方程
3、将K代入改正数方程求改正数： ✓矩阵形式：
VP1ATKQATK
✓纯量形式：
1 vi pi (aikabikb rikr) Qii(aikabikb rikr),(i1,2, ,n)
平差值计算与检核
4.计算平差值：
Lˆi Li vi
第3章 高程网数据处理
• 数据处理的步骤和内容
3．平差计算 根据高程网中的已知点高程和高差值，按照
最小二乘法平差原理和方法求得高程网中待定点 的高程和精度称为高程控制网平差。 ＊条件平差法
以高差观测值的改正数作为未知数，并以他 们之间存在的附合路线和环线闭合差条件为函数 模型，根据最小二乘法原理求解改正数，并最终 求得各观测值的平差值和精度。
＊矩阵形式： V BX ˆ l n1 nt t1 n1
组成并解算法方程
3.由误差方程的系数B与自由项l按最小二乘原理计算 法方程系数阵和常数项，组成并解算法方程。
＊误差方程的矩阵形式，满足该方程的解有无穷多组 ，为求解一组最优估值，根据最小二乘法原理，上 式的未知参数必须在满足VTPVmin 的要求下求解
a1 v1
a1 v 2
...
an vn
wa
0
b1 v1
b1 v 2
...
bn v n
wb
0
................
r1v1 r1v2 ... rn vn wr 0
条件方程
若取： a1 a2 an
A
r ,n
b1
b2
bn
r1
r2
rn
w a
W
r ,1
w
b
第3章 高程网数据处理
• 数据处理的步骤和内容
1．外业高差改正数计算 水准测量：
由于水准标尺名义长度误差，不同高程的正常 水准面不平行等，沿不同路线测得的两点间高差 将存在系统误差，必须对外业高差加以必要的改 正。
三角高程测量： 由于观测了竖直角和边长，需要进行大气折光
和地球曲率改正、边长常数改正、周期改正、倾 斜改正等。
• 数据处理的目的和要求
高程控制网是指以若干高程点组成的控制网 ，目的是通过网中已知点高程来求得网中待定点 高程。它包括以水准测量方式建立的水准网和以 三角高程测量方式建立的三角高程网。
高程网数据处理的对象是高差。由于高差观测存 在误差，用观测值计算的高程控制网将产生高差 闭合差。
第3章 高程网数据处理
示例的解
解：闭合水准路线的高差闭合差为：
fhh1,221 4.421 4.781 7.714 0.863
0.01m0 1m 0 m
•查表3.2知三等闭合水准路线的高差闭合差的 限差为12 F，f限12527mm。fh f 限 ，符合三 等水准测量的限差要求。
第3章 高程网数据处理
1．高程网起算数据 必要起算数据：为了确定高程控制网的位置 基准所必需的已知数据。 高程控制网中必要的起算数据是1个已知点 的高程。
第3章 高程网数据处理
• 数据处理的步骤和内容
2．外业数据检核 高差检核主要包括两方面内容：
＊一是计算往返测高差不符值和附合路线及闭合 路线高差闭合差，评定外业观测数据的质量； ＊一是根据表3.1、表3.2和表3.3中的各等级高差 较差和高差闭合差限差与实际计算的高差较差和 高差闭合差进行比较，以此判别外业观测数据是 否合符质量要求。
高程网数据处理的目的 对外业观测的数据进行各项修正和高差闭合差
验算后，利用最小二乘原理，消除闭合差，求得 高差改正数，然后得到各点高程平差值，并评定 其精度。
高程网数据处理的要求 《工程测量规范》中规定，各等级高程网应按
最小二乘法进行严密平差，打印输出的平差成果 ，应包含起算数据、观测数据和必要的中间数据 ；平差后的精度评定应包含有单位权中误差、每 千米高差（全）中误差、点位高程中误差等。
＊由于t个参数独立，按数学中求自由极值的方法使
VT PV 2VTPV 2VTPB 0
X
X
即：
BTPV0
•
组成法方程：Nbb
tt
Xˆ W
t1 t1
0
(B TP) B 1X ˆB TP l0
Nbb BT PB
tt
• 解算法方程：
W BT Pl
t1
tX ˆ1N b 1W b (BTP)B 1BTPl
第3章 高程网数据处理
3．高差观测值的权 ➢ 水准网高差权的确定
＊按测站数定权：
pi
C Ni
＊按距离定权：
pi
C si
第3章 高程网数据处理
3．高差观测值的权
➢ 三角高程控制网高差权的确定
ph
C D2
1 0 0
❖权阵： P1 nn
p1 0 0 0 p 2 0
5.用平差值检核平差计算结果的正确性： 将所求平差值带入平差值条件方程看是否 满足？
单位权中误差
6.计算单位权中误差：
ˆ0
VT PV r
V T P [ V p] v p 1 v 1 v p 2 v 2 p n v n
高程网条件平差示例
【例】在下图中，A、B为已知水准点，其高程HA = 12．013m，HB = 10．013m。为了确定C及D 点高程，共观测了三个高差，高差观测值及相应 水准路线距离为：h1 = －1．004m，S1= 2km； h2 = 1．504m，S2= 1km；h3 = 2．512m，S3= 2km。试求C和D点高程的平差值。
将平差值代入条件方程进行检核得1201309992150642507210013间接平差概念间接平差法参数平差法是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数建立函数模型按最小二乘原理用求自由极值的方法解出参数的最或然值从而求得各观测值的平差值
第3章 高程网数据处理
w
r
➢条件方程矩阵形式：
a 0
A0
r ,1
b
0
r0
A V W 0
法方程的组成与解算
2.根据条件方程式的系数A、闭合差W及观测值的权P 组成法方程，法方程的个数等于多余观测数r个。
➢ 因为条件方程的个数等于多余观测数，而多余观 测数只是观测量总数n的一部分，所以未知数的数 目总是大于条件方程的数目，条件方程的解不唯 一。为了求得一组既能满足条件方程，而又能使 [pv]vmin即精度最高，可采用数学中条件极值的原 理。
检核：将平差值代入条件方程进行检核，得 12.013-0.9992+1.5064-2.5072-10.013 = 0
（5）最后计算C和D点平差高程分别为：
HˆC HˆAhˆ1 11.013m8 HˆD HˆChˆ2 12.520m2
基于参数的间接平差
• 间接平差概念 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个 与观测值有一定关系的独立未知量作为参 数，将每个观测值都分别表达成这t个参数 的函数，建立函数模型，按最小二乘原理， 用求自由极值的方法解出参数的最或然值， 从而求得各观测值的平差值。
☆精度矩阵：未知数的协因数阵等于法方程
系数阵的逆。
QXˆ1Xˆ1 QXˆXˆ QXˆ2Xˆ1
QXˆt Xˆ1
QXˆ1Xˆ2 QXˆ2Xˆ2
QXˆt Xˆ2
QXˆ1Xˆt
QXˆ2Xˆt
QXˆt Xˆt
1
1
1
v1 v2
12
0Leabharlann v3 （2）令1km的观测高差为单位权观测，即p i
1，于是有
si
p 1 0 .5 ,p 2 1 .0 ,p 3 0 .5
法方程系数为：
Naa AP1AT
1 1 10.5 1.0
1 1 1 5
0.5 1
由此得法方程为： 5ka 120
解之得：
kaNa1W a 2.4
第3章 高程网数据处理
• 数据处理的步骤和内容
3．平差计算 ＊间接平差法
以待定点的高程作为未知数，列立高差观测值 与未知数之间的参数方程作为函数模型，根据最 小二乘法原理解得未知参数，并求出未知数及其 函数的精度。
第3章 高程网数据处理
• 高差闭合差与限差
1．往返测高差较差与限差：
f h往h返
2．附合路线闭合差与限差：
dn
➢ 近似值： Xˆi Xi0 xˆi
误差方程
2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选未 知参数的函数，即列出平差值方程，代入近 似值后列出误差方程
＊纯量形式： v1 a1xˆ1 b1xˆ2 t1xˆt l1
v2 a2xˆ1
b2 xˆ2
t2 xˆt
l2
vn anxˆ1 bnxˆ2 tnxˆt ln
dˆf1 x ˆ1f2 x ˆ2 ftx ˆt
• 矩阵形式：
dˆ f Txˆ
6.精度评定： （2）计算未知数函数权倒数： ☆未知数协因素：
Q X ˆ X ˆ N b 1 B T b P 1 ( N P b 1 B T b P ) T N b 1 B T b P 1 P P b 1 B b N b 1b N
fh H A h 1 h 2 h n H B
第3章 高程网数据处理
• 高差闭合差与限差计算
3．闭合路线闭合差与限差：
fhh1h2 hn
精度和限差要求
精度和限差要求
示例
【例3.1】图3.3为某测区三等闭合水准成果，验算高差闭合 差。已知水准点19的高程为50.330米，测段高差和距离见 图上，闭合水准线路的总长为5.0公里。
法方程的组成与解算
组成新函数：
VTP V 2K T(A V W )
联系数:k为联系数，其个数与条件方程个数相同 。
➢ 求新函数的极值，对上式变量V求其一阶偏导数， 并令其为零，即：
d (V T P) V 2 (K T A) V 2 V T P 2 K T A 0 dV V V
法方程的组成与解算
独立高程控制网：只有一个已知高程点的高 程控制网。
附合高程控制网：有两个或两个以上已知高 程点的高程控制网
第3章 高程网数据处理
2．必要观测数与多余观测数 ＊观测总数，用字母n表示。 ＊必要观测：用字母t表示。 ＊多余观测：用字母r表示。
三者关系： rnt
条件方程=r个。
高程网中必要观测个数与待定高程点的点 数相同。