高中数学一轮复习 第三讲 二项式定理

第三讲 二项式定理
随堂演练巩固 1.12
(x 展开式中的常数项为( )
A.-1 320
B.1 320
C.-220
D.220 【答案】 C
【解析】
1r T +=C 1212(r r
r x
-⨯⨯=C 43
1212(1)r r
r x
-⨯-⨯,令43120r -=,得r=9.
∴10T =-C 9
12=-C 3
12220=-.故选C.
2.设801(1)x a a x +=++ (8)
8a x +,则0a ,
1a ,8a ,中奇数的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】 A
【解析】 ∵08a a ==C 08171a a =,==C 1
88=, 26a a ==C 28
3528a a =,==C 38456a =,=C 4870=, ∴奇数的个数为2,故选A. 3.6
的展开式中3x ,的系数等于 . 【答案】 15
【解析】 二项展开式中的1r T +项为
1r T +=C 66(1)r r
r r -⋅-⋅
=C 62
2
(6)6
(1)r r r r r r
x y -
----⋅, 其中1r T +中x 的次数为3,
∴2
63r
r --=.∴r=2. 故该项系数为C 226(1)-=C 2
6562
15⨯=
=.
4.若2012(1)n x a a x a x +=+++…(n n a x n +∈N )*
,且1a +2a =
则其展开式各项系数中
最大值等于 . 【答案】 20
【解析】 由题意知12a a +=C 1
n n -+C 221n n -=,解得n=6.故其展开式各项系数中最大值为
C 3
620=.
5.已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32,则(1)n
x -的展开式中系数最小的项是 . 【答案】 3
10x -
【解析】 令x=-1,得232n
=,所以n=5.故系数最小的项是-C 333510x x =-.
课后作业夯基 基础巩固
1.35
(1(1+的展开式中x 的系数是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 【答案】 C
【解析】 3(1+的通项公式为1r T +=C 2532(1r
r r x ,的通项公式为1(1)k k T +=-C 3
5k
k x ,要
求展开式中x 的系数,只需3
(12)tx +中的常数项及一次项系数与-
5中的一次项系
数及常数项分别相乘再求和,即1⨯
-
1212⨯=.
2.若1)n
x
展开式中含1x 项的系数为-则n 等于
( ) A.4
B.6
C.7
D.11
【答案】 C
【解析】 展开式的通项为1(1)r r T +=-C 2r n r
n x
-32
n r
-,令
32
n r -=-1,则n=3r-2.又
(1)r -C 2=560r n r n
--,显然r 必为奇数,n 亦为奇数,经验证n=7. 3.已知4234
01234(12)x a a x a x a x a x +=++++,则1234234a a a a -+-等于( )
A.8
B.-8
C.16
D.-16 【答案】 B 【解析
】
由
二
项
展
开
式
的
通
项
公
式
得:1a =C 13142128a ⨯⨯=,=C 222431224a ⨯⨯=,=C 313441232a ⨯⨯=,=C 40
41⨯⨯
42=
6,从而可知12342348a a a a -+-=-. 4.若2
31()n x x +
的展开式中只有第6项的系数最大,则常数项为
)
A.462
B.252 C .210 D.10
【答案】 C
【解析】 由题意110r n T +,=,=C 31010()
r r
x -⋅21()r x =
10
r
⋅305r x -,令30-5r=0,得r=6,所以常数
项为7T =C 6
10210=.
5.在n 的展开式中,所有奇数项的系数之和为1 024,则中间项系数是( )
A.330
B.462 C .682 D.792
【答案】 B
【解析】 ∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n
,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意得1
2
1n -,= 024,∴n=11.∴展开式共有12项,中间项
为第六项、第七项,系数为C 5
11=C 6
11462=.
6.设201(1)n x x a a x ++=++…22n
n a x +,则24a a ++…2n a +的值为( )
A.312n
+ B.312n
-
C.32n
-
D.3n
【答案】 B
【解析】 根据二项式定理,令x=1,则01a a ++2a +23n n a =,又令x=-1,则01a a -+2a -…1n a +=两式相加得022(a a ++
2)31n n a =+,又01a =,所以
2a +
4a +
3123122
2n n
a n a +--=
=.
7.(1)n
ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243,不含y 的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n 的值可能为( ) A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6 C.a=-1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5 【答案】 D
【解析】 令x=0,y=1,得5
(1)2433n
b +==;令x=1,y=0,得5
(1)322n
a +==,则可取a=1,b=2,n=5,故选D. 8.二项式41
(1)n x +-的展开式中,系数最大的项是 … ( )
A.第2n+1项
B.第2n+2项
C.第2n 项
D.第2n+1项和第2n+2项
【答案】 A
【解析】 由二项展开式的通项公式1k T +=C 41()k k
n x +-=
(1)k -C 41
k k n x +可知系数为
(1)k -C 41k n +,与二项式系数只有符号之差,故先找中间项为第2n+1项和第2n+2项,又由第2n+1
项系数为2(1)n -C 241n n +=C 241n n +,第2n+2项系数为21
(1)n +-C 2141n n ++=-C 21
410n n ++<,故系数最大项为第
2n+1项.
9.若C 1n x +C 22n x +…+C (1)1n n n
n x x =+-能被7整除,则x 、n 的值可能分别为、.(写出一组数即
可)
【答案】 5 4
【解析】 C 1
n x +C 22n x +…+C (1)1n n n n x x =+-,
当x=5,n=4时4
(1)1613537n x ,+-=-=⨯能被7整除.
10.已知26
(1)(kx k +是正整数)的展开式中8
x ,的系数小于120,则k=. 【答案】 1
【解析】 由1r T +=C 2666()r r r kx k --=C 2(6)6r r x -得8x 的系数为4
k C 24615k =,由415120k <得
48k <,由于k 为正整数,于是
11.(2012陕西西安检测)若82012()x m a a x a x -=+++ (8)
8a x +,其中556
a =,则02468a a a a a ++++=.
【答案】 72
【解析】 8
()x m -的二项展开式的通项为1r T +=
88
5()
r
r
rx m a --,是5x 的系数,所以
5a =C 5
38
()m -=356m -由题意得:3
5656m -=,解得m=-1,所以该二项式为8
(1)x +,
记8
()(1)f x x =+,则令x=1,得0a +1a +2a +…882a +=①;令x=-1,得
012a a a -+-
8a =
8(11)0-=②,①+②得8024682()2a a a a a ++++=,故
7024682a a a a a ++++=.
12.(12)n
x +的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【解】 ∵6T =C 557(2)n x T ,=C 66
(2)n x ,依题意有
5n
⋅52=
662n
⋅
⇒
∴8
(12)x +的展开式中二项式系数最大的项为
5
T 448
(2)x =4120x .
设第r+1项系数最大,则有 r r r 1r 188r r r 1r 1
8
8C 2C 2C 2C 2--++⎧⋅≥⋅,
⎨⋅≥⋅,⎩ 即 828(8)(1)(81)882
(8)(1)(81)r r r r r r r r !⋅!!-!-!-+!!!⋅!-!+!--!
≥⎧⎪⎨≥⎪⎩ ⇒ 2(81)12(8)r r
r r -+≥⎧⎨
+≥-⎩ ⇒56r ≤
≤ 又∵r ∈N ,∴r=5或r=6.
∴系数最大的项为61T = 5
7792x T ,=
6792
x
13.
设1002012(2)a a x a x =+++ (100)
100a x
+.求下列各式的值:
0(1)a ;
12(2)a a ++…100a +; 135(3)a a a +++…99a +;
02(4)(a a ++…210013)(a a a +-++…299)a +.
【解】 (1)由100
(2)展开式中的常数项为C 01001002⋅,即10002a =,或令x=0,则展开式可化为
10002a =.
(2)令x=1,可得
012a a a +++…100100(2a +=. ①
所以12a a ++…100100100(22a +=-; (3)令x=-1,可得
0123a a a a -+-+…100100(2a +=, ②
与①联立相减可得,
13a a ++…99a +=
.
(4)
原
式02[(a a =++…10013)(a a a ++++…9902)][(a a a +++…10013)(a a a +-++…990)](a a +=+
12
a a +1000123)(a a a a a +⋅-+-+
…
1001009899100)(2(21a a a +-+==.
14.某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷)(粮食单
产=,总产量
耕地面积人均粮食占有量)=总产量人口数
【解】 设耕地平均每年减少x 公顷,该地区现有人口P 人,粮食单产M 吨/公顷,依题意有:
44
10
(122%)(1010x)
10(11%)
(110M M P
P +-⨯+≥
+%).
解得10
11(1001)3
12210[1]x .⨯+..≤-
311
12210[1(
..=-C 010+
C 110
0⨯.01+C 2
100⨯.201+…)]
311
12210(11..≈-⨯.104 5)4(≈公顷).
答:耕地平均每年最多只能减少4公顷。