1996年考研数学三真题及全面解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
Oo
若正项级数VU n 发散，则U n
n d
(1) 设方程^y y 确定y 是X 的函数,则dy =
设 xf(x)dx =arcsin x C ,则
f⅛)dX =
设x o ,y o 是抛物线y=aχ2 ∙bχ∙c 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足 的关系是 设
a 2 2 a
2
>1
n 』
a 2
其中 a^-a j (i = j;i, j =1,2J ∣∣,n)
设由来自正态总体 X~N(∙L ,0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值 X =5,则未 知参数
J
的置信度为0.95的置信区间为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .)
2
CoS U
(1)累次积分 2Z f(rcos 7l ,rsin τ1)rdr 可以写成
()
p
!?0 '
7
,
,只有一项符
1 y-y 2
(A)
0dy 0 f(x,y)dx
1 1
(C) dx f (x, y)dy
S S
(2)下述各选项正确的是
(B )
；dy 「f(x,y)dx
1
Xd 2
(D) dx f (x, y)dy L
O ⅛
()
OoOo
OO
(A)若7 u l 2和7 v 2都收敛，则7 (U n v n )2
收敛
nF nF n T
(C) (B) Σ U n V n 收敛，则Σ U ；与Σ V ；都收敛 n m
n T
n T
OO QQ
(D)若级数a U n 收敛,且u n _v n (n=1,2,H ∣),则级数7 V n 也收敛
nJ
nJ
⑶ 设n 阶矩阵A 非奇异(n_ 2), A 堤矩阵A 的伴随矩阵,则
()
亠亠 InI
亠亠
∏-A
(A) (A j y=A —A
(B)
(A j T=IA A
亠亠 In 2
-I n~|2
(C) (A j y=A —A
(D) (A I T=IA A
⑷ 设有任意两个n 维向量组：∙1,H ∣,>m 和[川，F,若存在两组不全为零的数
’l,∣H,∙m
和 kιJ ∣∣,k m ,使「1 kj 〉i TH(m J)〉m ( 1 - 人)UHl ( m - KJ F =。

’ 则
()
(A)
：-iJH ：m 和Wmm 都线性相关
(B)
>i,∣",>m 和
'1^1, -m 都线性无关
(C)
：1 S,川，：m 市，〉1 - 6∣∣Xm - F 线性无关
(D)
>1「1,川，〉m 「m ,〉1 - 6∣∣i,>m - F
线性相关
⑸ 已知0 ::： P(B) <1且P[ A A 2 B] = P(A 1 B) P(A 2 B),则下列选项成立的是()
(A) P[ A 1 A ? :B] =P(A B) P(A 2 B) (B)
P(AB +A 2B )= P(AB) +P(A 2B)
(C) P(A+A 2)=P(A 1 B) + P(A 2∣B) (D) PB=PA P(BA l ) P(A 2)P(B A 2)
X 式0
其中g(x)有二阶连续导数，且g(0) =1,g(0) --1.
X = 0,
(1)求 f (X )；
⑵讨论f (x)在(-二，=)上的连续性
(本题满分6分)
[g(x)-
设 f (X )=
X 0,
四、(本题满分6分)
X
设函数Z= f(u),方程U =「(u) ∙ p(t)dt 确定U 是X I y 的函数,其中f (u)」(U)可
J y
微；p(t),
(U)连续,且：(U)求 p(y) P(X).
CX
∂y
五、(本题满分6分)
丄 -X
严 Xe
(I er
2
六、(本题满分5分)
1
设f (X)在区间［0,1］上可微，且满足条件f(1) = 2 'xf(x)dx ∙试证：存在-(0,1)使
f( r f ( ) =0.
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可以表示成Q=—a
c ,其中a 、b 、
p + b
C 均为正数，且a bc .
(1) 求P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少•
(2) 要使销售额最大，商品单价P 应取何值？最大销售额是多少？ 八、(本题满分6分) 求微分方程=
y
一
x y
的通解•
dx
X
(1)已知A 的一个特征值为
3,试求y ；
⑵ 求矩阵P ,使(AP)T
(AP)为对角矩阵
十、(本题满分8分)
设向量H ,：、是齐次线性方程组 AX =0的一个基础解系，向量［不是方程组
AX =O 的解，即Al=0.试证明：向量组 —心仆■心2,川，“ 线性无关• 十一、（本题
计算
dx ∙
-
0 1 0 设矩阵A =
1 0 0 0 0 y
0 0 1
01 0 1 2
九、(本题满分8分)
满分7分）
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5
个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所
获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？
十二、（本题满分6分）
考虑一元二次方程χ2Bx 0 ,其中B、C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数•求该方程有实根的概率P和有重根的概率q∙
十三、（本题满分6分）
假设X1,X2,∣∣∣,X n是来自总体X的简单随机样本；已知EX^a k（^ 1,2,3,4）.
I n2
证明：当n充分大时，随机变量Z n=丄X i2近似服从正态分布，并指出其分布参数.
n y
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】dx
x 1 l n y
1 1
dx p ln y 1 dy= dy = dx X In y 1 = O .
X x In y 1
方法2：把X = y y变形得X= e ylny,然后两边求微分得
dx = e yln y d y In y = y y1 In y dy = x 1 In y dy,
由此可得dy dx.
x(1 +In y )
⑵【答案】—1J(1 _x2 3+C
3 V
【解析】由xf(x)dx =arcsin x C ,两边求导数有
于是有1 dx = x,1-x2dx =1 J- x2dx2
L f(X^L 2 L
⑶【答案】0(或aX g = c), b任意
a
【解析】对y = ax2bx C两边求导得y = 2ax b,y' x0 = 2ax0■ b,
所以过x°,y°的切线方程为y-y0h[2ax√b x-x°,即
2
^aX O bX O ^^= 2ax0 b x-x°•
又题设知切线过原点0,0 ,把X = y = 0代入上式，得
-ax^ -bx0 -c = -2aXg -bx0,l卩ax^ = c.
【解
析】
方法1：方程^y y两边取对数得In X= l n y y= y In y,再两边求微分
Xf(X)= arcs in X
1 - χ2
=Xd-X2
--1 d -x2d 1 -X2
2
-0,所以，系数应满足的关系为 _0（或ax 2=c ）, b 任意.
a
其系数行列式
a 11
a 12
川
a 1n
D =
a 21
+ +
a 22 111
a 2n
・ 4 ・
4
≠0,
a n1
a n 2
HI
a nn
X j =
D j D ,
j =1,2,川,n.
b 1,b 2 ,∣∣l,b n
替换
D 中第j 列所成的行列式 则方程组有唯一解
其中D j 是用常数项 ,即 由于系数a ⑷【答案】
T
(1,0,0,川 0)
【解析】 因为
A 是范德蒙行列式，由a i =≠a j 知A=口 a i -a j = 0.根据解与系数矩阵
秩的关系，所以方程组A T
X=B 有唯一解.
根据克莱姆法则，对于
■
1 1 1
a I a
2 a
3 2
a ι
2
a 2
2 a
3
Ill Ill
川
a1n τl>11 n _j a 2 n J a
3
X 2 X 3
a n
2
a
n
n J a
n
JL X d L I J
易见 D 1 = A ,D 二 0.
所以 A T X =B 的解为 x 1 =1,x 2 =X 3 = III = X n =^0, 即 1,0,0,111,0 ■. 【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组
a 11x 1 *a 12x 2 *ill *a in x n =
b 1, a 21χ1 +a 22χ2 +[Il +a 2n x n
=b 2,
IIIlHIIIIIlnlIIllIIIlIIIhIl
I an1X1 +an2X2
+川十 annXn =bn∙
或简记为
=b ,
i ",2,∣∣l,n
a11IH a1,j_1
b1a1,j÷∣I I a1n
D j =
a21
+
+
川a2,j_1
■i
b2
F
I-
a2,j ÷I
■i
I a2n
■
■1
a n1HI a n, j□
b n a n,j 41 I I a nn
⑸【答案】(4.412,5.588)
【解析】可以用两种方法求解：
(1)已知方差孑=0.92,对正态总体的数学期望」进行估计，可根据
— 1 n 因XLN(~0.92),设有n个样
本,样本均值X X i,
n i 4
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值J的置信区间问题
其中HU V U a >=1—α,U L N(0,1),可以直接得出答案
2 J
方法1:由题设，1 -「- 0.95 ,可见〉二0.05.查标准正态分布表知分位点
：1.96} =0.95,即P{4.412 丄5.588} =0.95,
X =5,因此,根据P{
Y r
'■- n
：：1.96∏0.95,有
有XL W ,将其标准化，由公式X -E(X)
.D(X)n
~ N(0,1)得:
：：：U 1 -匚■可确定临
界值
~2
叮
"2
由教材上已经求出的置信区间
(- σ - Cr)
U = 1.96.本
2
由正态分布分为点的定义
进而确定相应的置信区间
故的置信度为0.95的置信区间是（4.412,5.588）.
方法2:由题设，1 _ - 0.95,
P{U∣ CU/ =P{-u空<U CU/ =2①（妝）-1 = 0.95® （妝）=0.975
"2 ^2 ^2 ^2 ^2
查得U 1.96.
α
2
-0.9 , n =9, X =5代入（x-u. =,x u.〜）得置信区间（4.412,5.588）J n J n
二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】方法1 :由题设知，积分区域在极坐标系X= r COST, y = r sin v中是
D <h r,r |0 ' ,0 乞r Ecosr ,
r川 2 J
即是由X 一1∙ y2 = 1与X轴在第一象限所围成的
1^4
平面图形，如右图•
由于D的最左边点的横坐标是0 ,最右点的横坐标是1,
下边界方程是y =0,上边界的方程是y = . X - χ2,从而D
的直角坐标表示是
DX x,y Io EX 乞1,0 辽y 乞.x — x2?,
故(D)正确.
方法2:采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
π
=r^ |0 ,0 _r _sin 二
D1
L 2
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分，
(C)中的积分区域是正方形I x,y | 0 _ X _ 1,0 _ y _ 1』,
所以，他们都是不正确的•故应选(D).
⑵【答案】(A)
OOao OO
【解析】由于级数a u2和a v2都收敛，可见级数u2 v2收敛.由不等式
n ：! n 3 nm
2U n V rl“+诟
Oel
Oo
及比较判别法知级数 E" 2u n v n 收敛，从而无2u n v n 收敛.
ng
nJ
2 2 2
2
又因为(U n +Vn ) =U rl +V n +2U n V n )即级数瓦(U n +V n )收敛，故应选(A).
n =1
、 1
设 U n 2 ,V n =1 n = 1,2,1 1(,可知(B)不正确. n
5
1 1
设U n
2 n =1,2,1)(,可知(C)不正确.
n n
1
n =12 ,可知(D)不正确.
n
QO
QO
注：在本题中命题(D) “若级数a U n 收敛，且u n _v n (n=1,2,∣∣∣),则级数V n 也收敛.” n ∙1 n -1 不正确，这表明：比较判别法适用于正项级数收敛
(或级数绝对收敛)的判别，但对任意项级数
一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别
⑶【答案】(C)
【解析】伴随矩阵的基本关系式为
AA = A^ AE ,
现将A Jt 视为关系式中的矩阵 A,则有A jt *( A Jt y= Aw E.
方法一：由
AI= A nA
及(A *)」=缶,可得
(A j y=AI(Ah = A nJ -^= A n ^ A.
故应选(C).
方法二：由A (A r = A E ,左乘A 得
(AAJ(A J y=A n
‘A ,即(A E)(A J y= A nJL
A .
故应选(C).
⑷【答案】 (D)
【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解 .若向量组1, 2,IH, s 线性
无关，即若
X 1
1
X 2
2
V X s
s=
0,必有
X I =
Ox = 0,H ∣,X s = 0 .
既然’1,∣H, 'm 与k 1,∣H,k m 不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应排除(B) > (C). 一般情况下，对于
k r 1 k2： 2 川 ks ： S ∣1 1 川 I S "0,
设
U
n
,V
n
不能保证必有k 佝∙ k^⅛ Jll k s 爲s = 0,及l 1 M JH l s = 0,故(A)不正确.由已知条件
有
'1 -■< M JH' 'm
■ -m
■
k
1
MJIl ■
k
m
0 ,
又’1,∣H, 'm 与 K,∣H,k m 不全为零,故〉1 S,∣H,>m 「m ,〉1 - FIIiCm - F 线性相关. 故选(D).
⑸【答案】(B)
【解析】依题意
P[(A+A J B] P(AB)丄 P(AB) P(AB + AB) P(AB)+ P(A 2B) P(^ — P(B) P(B) ,
P(B
— PTB .
因 P(B) =0,故有 P(AB +A 2B )= P(AB)+P(A 2B )•因此应选(B).
注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了 全概率公式中要求作为条件的事件 A ,A 2应满足P(A 1) 0,P (A 2) 0,且A 1,A 2是对立事
件.
【相关知识点】条件概率公式： P(BlA) = P(AB).
P(A)
三、(本题满分6分)
【解析】(1)由于g(x)有二阶连续导数，故当x = 0时，f(x)也具有二阶连续导数 ，
此
时，f (X)可直接计算，且f (X)连续；当X = 0时，需用导数的定义求 「(0).
当X =0时,由导数定义及洛必达法则,有
f (X) =
x[g (X) e^∏g(X) e"
X 2
Xg (X)-g(x) (x 1)e^
2
X
所以
口。

)划
f (X)
g(x) _e»
2
X
g (X) e^
2x
g (X) e 舟
2
g (0) -1
2
Xg (x) -g(x) (X ■ 1)e^
2
⅛ X g"(0)-1
i 2 ,
x = 0, x = 0.
⑵ f (x)在X = 0点的连续性要用定义来判定
.因为在X = 0处，有
Xg(X)-g(x) (x 1)e*
2
X
所以
CU P(X) Su -p(y)
CX
I-C
P H
(U), Cy
I-C
P H
(U)
于是
P(y) ⅛ . Z λ CZ —+ P(X)—= :P(X) p(y)
-I _ a - p(x)p(y) 1 「(u) = 0
CX 勿 _ I-C P H (U) 1-φ H (U)
五、(本题满分6分)
【分析】题的被积函数是幕函数与指数函数两类不同的函数相乘 ，应该用分部积分法
【解析】方法1：因为
x
‰dx = Xd Z 分部积分
(1 e )2
1 e =
X
X
e I X X
X
dX = 1 e"
1 e x
1 e
g (X) Xg (X) -g (X) e" -(x 1)e^
2x
=Iim
X 0
g (x) e> 2 g ")-1
2
=f (0).
而f (x)在x = 0处是连续函数
,所以f (x)在(-：：，■：：)上为连续函数
四、(本题满分6分)
【解析】由Z = f(u)可得—=f (up^u √^ = f (U)
∂x
CX Cy
√u
在方程U =
X
(Ur p(t)dt 两边分别对X l y 求偏导数，得
L y
=(U)-U P(X)^U = (U) CX Cy
-U - p(y)∙
Jy
d(1 e x
)
X 1 e"
X
-ln(1 e ) C,
所以
而
匚 dx = lim 羊X 1
(1 e )2 x 2讣1 ∙ e x
W")]+". lim-j(1∙eX)仙 χj -∙1'e
χ"1 亠 X
XJ X
e
—ln [e X
(1 +「)]}
X
e =lim 一
1 e x
-x-l n(1「)
=Iim -X _0=0 ,
X 心1 e x
故原式=In 2 .
方法2:÷c Xed ÷c Xe X⅛c1
---------- dx = [ dx = — Xd X 0（1+e」）2 j0（^e X）2
------------------- 1 + e x
B⅛C_x
X dx ,÷c dx e I = + = = dx
1 + e x O"01+e x 01 + e x 01 + e」
÷c 1 X X⅛c
T 帀=d（1 + e」） = -ln（ 1 + e」）° =In2.
1 + e
六、(本题满分5分)
【分析】由结论可知,若令"x) = xf(x),则'(X^f(X)Xf (x).因此,只需证明(x)在
［0,1］内某一区间上满足罗尔定理的条件•
1
【解析】令(X) =Xf(X),由积分中值定理可知，存在∙(0,>),使
2
- - 1 02xf(x)dx= 02(x)dx=?(),
- 1
由已知条件，有f(1) = 2.°2xf(x)dx =2 ?「()=(),于是
「⑴二f(1)=：(),
且(X)在(，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在：(,1) (O I I)I使得
「()=0,即f( ) f ( ) =0.
【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数 f (X)在积分区间［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一个点，使下式成立：
f (x)dx = f ( )(b - a) a - - b .
a
这个公式叫做积分中值公式.
2.罗尔定理：如果函数f (X)满足
(1) 在闭区间［a,b］上连续；
(2) 在开区间a,b内可导；
⑶在区间端点处的函数值相等,即f (a) = f (b),
那么在 a,b 内至少有一点
(a < < b ),使得f
「,： 0.
七、(本题满分6分)
【分析】禾U 用函数的单调性的判定 ，如果在X 的某个区间上导函数 「X _0,则函数f X
单调递增，反之递减•
【解析】(1)设售出商品的销售额为 R ,则
2
a μ a
b -
c (p +b )
R = PQ= p(
C)I R(P)
2
-
P+b
(P +b )
当0 ::： PJ b ca - BC)时，R • 0 ,所以随单价P 的增加，相应销售额R 也将增加.
八、(本题满分6分) 【解析】令z=y ,则dy =z∙χ∙dz .
X dx dx
当X 0时,原方程化为Z X d ^-^I z 2 ,即一dz dx
,其通解为
dx X
ln( z + J 1 + z 2) = T n X + G 或 Z^ VV H z 2 = C .
X
代回原变量，得通解申∖X 2 y 2 =C(X 0).
当X ：：：0时,原方程的解与X 0时相同，理由如下： 令t = -X ,于是t 0,而且
dy_dy dx__dy___y 「χ2
y 2
_ y _, χ2
y 2
_ y _t 2
y 2
dt dx dt dx X -X
t
令R>0,得
I P )=
_b = J b (V a _V bC) >0.
. bC)时,有R=O ,所以随单价
P 的增加，相应销售额R 将减少.
当P
(2)由(1)可知，当P =J b(J a-JbC)时,销售额R 取得最大值,最大销售额为
从而有通解 Y 、.. t y =C （t . 0）,即 y ∙ . X y =C （x ：：： 0）.
综合得,方程的通解为 y . X 2 y 2 = C .
注：由于未给定自变量 X 的取值范围，因而在本题求解过程中，引入新未知函数Z = ^后得
X
J χ2 +y 2 = XljI +z 2 ,
从而，应当分别对X 0和X < 0求解，在类似的问题中，这一点应当牢记• 九、（本题满分8分）
【分析】本题的（1）是考查特征值的基本概念，而（2）是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题 转化成二次型求标准形的问题
，用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题 【解析】（1）因为• =3是A 的特征值，故
所以y =2.
T 2
P A P = λ .
方法一：配方法.
T . 2
2
2
2
2
由于
XAX=X I X 2 5X 3 5X 4 8X 3X 4
2,
8
16 2 , 2
16 2
5(X 3 X 3X 4 x 4) 5x 4 -
X 4 5 25
5
5(X 3 -X 4)
2
9
x ； 5
5
4
那么，令y 1 =X n y^
X 2, y^X<
X 4, y 4 = X 4,即经坐标变换 5
3E - A
3
-1 -1 3
0 0
0 0 3-y -1
0 0 -1
⑵由于A
T
=A ，要(AP)T (AP)
T 2
=P AP=二，而 01
是对称矩阵，故可构造二次型
X T
A 2
X ,将其化为标准形
T 2
y 上y .即有A 与上合同.亦即
所以，取 方法二: ^1 0 0 0 ]
1
0 10 0
1 Lc, 4
,有
(AP)T
(AP) = P T
A 2
P =
5
0 0 1 ——
5
9 0 0 0 1 _ I I
5.
P 二 ■ 8X 3X 4对应的矩阵
为 正交变换法• 2 2 2 X 2 5X 3 5X 4 -
1 0 0 0〕 2
0 1 0 0 A = 0 0 5 4 - 0 0 4 5 一 其特征多项式 二次型X T A 2X 2
=X i --1 E-A 2 0 ■ -1 0 0 0 0 0 0 λ-5
-A -4 λ-5 =C -1)3C -9). O O
A 的特征值,1 = 1, , 2 =1, , 3 =1, I = 9.由 C I E-A)X = 0,即 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0-4 0 X 1 0 X 2 -4 X 3
■01 0 0 Q 和(
-4E - A 2)X =0,即 8 0 0 0 8 0 0 0
4
0 0-4
0 1「为
1
0 X 2 -4 X 3
4八
X
4
■01 0 0
d
分别求得对应 人,2,3 =1的线性无关特征向量
O f I= (1,0,0,0) T禺2 = (0,1,0,0)T,5 = (0,0,1, -1)T,
和∙4 =9的特征向量：∙4 =(0,0,1,1)T∙
对:∙1√∙2√∙3用施密特正交化方法得'-1, '-2, '-3,再将:4单位化为I4,其中:
-(1,0,0,0)T「2
取正交矩阵
1 0
0 1
P =[叫，^2,卩3,卩4 ]= 0 0
0 0
P」A2P =P T A2P-
1
(AP)T(AP)=P T A2P =
十、(本题满分8分)
【解析】证法1:(定义法)若有一组数k,k1,k2,川，k t,使得
i k1(1 ： 1) k2( l ： 2) III k( ： t) = 0, (1) 则因〉1,〉2,川，It是AX =0的解,知A i =0(i =1,2JH,t),用A左乘上式的两边,有
(k k1k2川k t)A 二0. (2)
由于AL P0 ,故k k1k2川k t=0.
对(1)重新分组为(k k1 k2IH k t) ：k√ 1 k2：2 Ul K：t = 0. (3) 把⑵ 代入(3)得k1: I k2：2川k t：t=0.
由于m,∣H,>t是基础解系，它们线性无关，故必有k^0,k^0j∏,k^0.
0 0
0 0
1 1
√2√2
1 1
√2近一
=(0,1,0,0) T, ”(0,0,
1 1
W.2,/
代入⑵式得：k =O .
因此向量组F；,卜-希，『■ -、；2,1H，卜'-S线性无关.
证法2：（用秩）经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列，有
-,“ 1宀丄込IIM —t L，匚，「1,「2,II∣,〉t -
因此r '■' J,1^ ∙--⅞JH I-^i^r '■ √-ι√-2^H ：-t -
由于M, =-2JH√-t是基础解系，它们是线性无关的，秩r >1, >2,∣∣l,>t=t,又］必不能由冷，〉2,川，冷线性表出（否则A=0）,故r r,>2,ll∣,冷，7 l=t ■ 1.
所以r.r,,Jt1,Fp2,∣H,Fp t = t 1.
即向量组：，F亠:冷，F亠X2,1 Il,『‘亠：5线性无关.
十一、（本题满分7分）
【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X，则X服从二项分布即B（5,0.2）.
由二项分布的概率计算公式，有
PCX =θ4θ.85 =0.32768，
PfX =1=C；0.84 0.2=0.4096，
PCX =2： =C520.83 0.22 =0.2048,
PfX _3；=1 - Plx =0，-P C X=心- 0.05792.
设一周内所获利润Y （万元）,则Y是X的函数，且
'10,若X=0,
5, 0,若X=1,
Y-
若X=2,
1-2,若X≥3.
由离散型随机变量数学期望计算公式5
EY =10 7.32768 + 55.4096—2 5.05792 = 5.20896 (万元). 【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：
若Y、B(n I P),则PfY C r k P k(I - p)n= k =0,1,川,n.
n J
2.离散型随机变量数学期望计算公式：E（X）= X k∙ P ：X=X k L
k=i
十二、（本题满分6分）
【解析】一枚色子（骰子）接连掷两次，其样本空间中样本点总数为 36.
「 B 2、
设事件A I = “方程有实根” ,A = “方程有重根”,则A 1 .E 2 -4C 一 O, C
.
I 4 J
有利于的意思就是使不等式
Cm B 尽可能的成立，则需要B 越大越好，C 越小越好.
4
当B 取遍1,2,3,4,5,6 时,统计C 可能出现的点数有多少种
B
1 2 3 4 5 6 有利于A 的样本点数 0 1 2 4 6 6 有利于A 2的样本点数
0 1 0 1 0 0
由古典型概率计算公式得到
十三、（本题满分6分）
【解析】依题意，X 1,X 2,ι∣∣,X n 独立同分布，可见X 12,x 22,ιι∣,x;也独立同分布.由
EX k
=a k （k =1,2,3,4）及方差计算公式，有
EX ； P, 1 n 2
EZ n EX i 2
=a 2
n id ：
因此，根据中心极限定理
DX i=EX i-(EX i 2
)=a^a ∣,
1 n
2 1 2
DZ n 厂 DX i 2
(a 4 -a ∣). n y
n
_ 2
,即当n 充分大时，Z n 近似服从参数为（a 2, a4 一比）的正态分
n
布.
【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理，又称独立同分布的中心极限定理：
设随机变量X 1,X 2,∣H,X n 独立同分布，方差存在，记丿与二2 0 ：：：；「”：-分别是它们
n
用列举法求有利于
A 的样本点个数（i =1,2）,具体做法见下表
P= P(A
l) =
1 2 4 6 6
36
19 36
1+1
^P(A 2^-36- 18
【相关知识点】古典型概率计算公式:
P(A)二
有利于事件A 的样本点数
样本空间的总数
的极限分布是标准正态分布
相同的期望和方差，则对任意实数X ,恒有
其中：.：√x ）是标准正态分布函数 2.方差计算公式：
2 2
D(X)=E(X )_E (X).
Iim P
n 5:
—1
=(' Xi -n ^<x = >(X),。