计算方法第五章 插值与拟合

（2）li ( x j ) ij ( j 0,1,, n).
(5.9)
其中： ij
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1,i 0,i
j, j.
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我们不采用求解方程组(5.3)的方法求解li (x),而是根据li (x) 必须满足式(5.9)这一特点来构造li (x)。由式(5.9)知，x0 , x1 ,, xi1 , xi1 ,, xn 是li (x)的n个互异零点，且li (x)为n次多项式，所
Ln (x) y0l0 (x) y1l1(x) ... ynln (x).
(5.12)
由于基函数li (x)(i 0,1,..., n)都是n次多项式，且li (x j ) ij ,
因此Li (x)是次数不超过n次的多项式，且满足
Ln (xi ) yi
(i 0,1,..., n).
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插值余項
在[a,b]上用Pn (x)近似表示f (x)，在插值节点xi处是 没有误差的，即f (xi ) Pn (xi )(i 0,1,, n)。但在其它点 x处，一般f (x)与Pn (x)不相等（如图5.1）
记Rn (x) f (x) Pn (x) (5.4) 称Rn (x)为插值多项式的余项或 截断误差。
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这表明式(5.12)就是满足插值条件式(5.11)的多项式插值函数，它是插值基函数 的线性组合。
由插值多项式的存在唯一性知，将Ln(x)化简成n次多项式标准形式(5.2)后， 与用求解方程组(5.3)而得的插值多项式是相同的，称形如式(5.12)的插值多项式 Ln(x)为拉格朗日插值多项式。
• 解的误差估计式 对于获得的插值问题的 解，我们必须找出它的 误差估计
式。只有这样，我们才 能估计用计算机运算何 时结束，所求 出的解是否满足要求。
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(Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn )
且用此方法可得到插值多项式Pn。
但这种方法不适用，只能用作理论研究。
''' ( x)
2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
4
由插值余项公式(5.6)及估计式(5.7), 有
R2 ( x)
f ''' ( ) ( x 1)(x 2)(x 3)
3!
1 1 (x 1)(x 2)(x 3), 3! 4
R2 ( x)
1 24
(x 1)(x 2)(x 3)。
以 li (x) (x x0 )(x x1 )(x xi1 )(x xi1 )(x xn ). 其中是待定常数，又由于li (xi ) 1,所以有
＝
( xi
x0 )(xi
x1 )( xi
1 xபைடு நூலகம்1 )( xi
xi1 )( xi
xn )
.
因此
li (x)
(x x0 )(x x1 )(x ( xi x0 )(xi x1 )( xi
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当n 2时，是二次插值多项式（也称抛物线插值）
2
L2 (x) yili (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x) i0
y0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
讨论，在（5.12）式中： 当n＝1时，是一次插值多项式（也称线性插值）
1
L1( x) yili ( x) y0l0 ( x) y1l1( x), i0
即(由5.10式有）
L1( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
.
(5.13)
在几何上，线性插值就 是过两点（x0 , y0 )、(x1, y1)的直线方程。
xi 1 2 3 yi 0.7 1.1 1.4
⑴求拉格朗日插值多项式L2(x); ⑵求L2(2.5); ⑶求插值余项R2(x)并估计R2(x)。
解：(1) 由拉格朗日插值公式(5.12)及(5.10), 得(5.14)
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1( x) y2l2 ( x)
0.7 (x 2)(x 3) 1.1 (x 1)(x 3) 1.4 (x 1)(x 2)
则有余项估计式
Rn (x)
M (n 1)!
(x
x0 )(x
x1 )(x
xn ) ,
(5.7)
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§5.2 拉格朗日(Lagrange)插值
5.2.1 拉格朗日插值基函数
的可行对算于法给，定我的们n+首1个先互考异虑的一节个点简单的n次多项x，式0为插, x了值1构问, 造题求。,解已x知nn次y多=f项(x)式的插如值下问函题
xi1 )(x xi1 )( x xi1 )( xi xi1 )( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
(i 0,1,2,, n)
(5.10)
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形如式(5.10)的函数l0 (x),l1(x),...,ln (x)称为
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• 插值问题的解是否存在 唯一 这个问题是根据插值问 题的提法来分析这种提 法是否合
理，还要不要补充条件 。这是为了保证在计算 机求解时所得 到的解一定要存在而且 唯一。
• 插值问题的具体表达式 在插值问题的解存在唯 一的情形，解可以有多 种表达式，
有的表达式便于记忆， 有的表达式很方便，有 的表达式适用 于计算机运算，因此我 们要根据具体情形，选 择合适的表达 式。
(5.2)
而且要求Pn (xi ) f (xi )(i 0,1,, n)，这样的插值问题就
是多项式插值。（整体插值，pn (x)是g(x)中的一特例）
如果所选择的函数为分段函数且要求g(xi ) f (xi )
(i 0,1,, n)，这样的问题就是样条插值。（分段插值）
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为f (x)关于点xi , x j , xk的二阶差商。 一般地，k 1阶差商的差商
f [x0 , x1 ,, xk1 , xk ]
f [x0 , x1 ,, xk1 ] f [x1 , x2 ,, xk ] x0 xk
已知。称
f (xi ) f (x j ) (i xi x j
j
)为f
(
x)关于点
xi
,
x
的一阶差商，记为
j
f
[
xi
,
x
j
],
即
f [xi , x j ]
f (xi ) f (x j ) . xi x j
与高阶导数定义类似， 称一阶差商的差商
f [xi , x j , xk ]
f [xi , x j ] f [x j , xk ] xi xk
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(1,3).
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略
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略
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§5.3 牛顿插值
5.3.1差商及性质
定义5.1 设x0 , x1 , x2 ,为一组互不相同的点， y f (x)在这些点的值为
第五章 插值与拟合
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我们通常用函数y f (x)来描述事物的运动变化 规律，
但在处理实际问题和进 行科学研究的过程中， 常常遇到下
面的情形：
（I）函数f (x)在区间[a,b]上不能直接地用表达式 给出，
而只是通过试验或观测
数据给出若干点{
xi
}n i0
上的函数值
f (xi )或这些点上的导数 f '(xi )。
2
§5.1 插值与拟合的基本概念
一、基本概念（插值、拟合和逼近） 插值：设已给函数f (x)在点｛xi }in0 上的函数值f (xi )或
导数值f '(xi )，如果用一个比较简单的函数g(x)在区间[a,b] 上近似地代替f (x), 且要求在给定的点上与f (x)的值相等或 导数值相等，即
g(xi ) f (xi )(i 0,1,2,, n)或g'(xi ) f '(xi )， （5.1） 这样的问题就称为插值，求满足上述条件的简单函数g ( x) 的方法称为插值法。
引入记号n1( x)
(x x0 )(x x1 )(x xn ) (5.5) 则有下面插值余项的估 计定理。
图5.1
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定理5.2 设f(x)在[a, b]上n+1阶导数存在，则 插值多项式(5.2)的余项为
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
y2
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
.
(5.14)
式(5.14)在几何上即表示过三点(x0 , y0 )、(x1, y1)、(x2 , y2 )的抛
物线。
思考：L3 ( x)的插值多项式如何写？
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例1 已知 y f 的(x值) 如下ln：(1（重x点)）
(
x
)
,
(5.6)
其中： （a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
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在实际插值问题中，由 于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知， 因此用余项公 式（5.6）求误差是较困难的， 只能对其进行估计。 若
f (n1) (x) M , x [a, b].
以x0
,
x1
,...,
x
为节点的拉格朗日插值
n
基多项式，
它们都是n次多项式且满足式(5.9)。
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5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数 的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1,, xn
yi y 0 , y1 ,, y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
数值表
x j x0 x1 xi1 xi xi1 xn
(5.8)
yj 0 0 … 0 1 0 … 0
求满足插值条件li (x j ) y j ( j 0,1,, n)的n次插值多项式li (x)。
对此问题，根据式(5.8)知，所要求的li必须满足如下两点：
（1）li (x)是n次多项式。（当x xi时, yi 1；i 0,1,2,, n）
如某天的天气变化函数 T f (t)
（II）求积分 b f (x)dx时，有时被积函数f (x)比较复杂或 a
者原函数根本找不到。
这时我们就用一个简单 的函数来近似地代替 f (x), 像这
种用简单函数近似表示 复杂函数或未知函数一 组值的问题，
就是插值与拟合问题。
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}n i0
上要求向量R
(e0 , e1,, en )T
按某种标准达到最小，例如要求向量R的某种范数 R 达到最小，
这样的问题称为曲线拟合方法。
特别，当要求向量的2 范数 R 达到最小时称为最小二乘问 2
题，由要求2 范数最小确定g(x)的方法称为最小二乘法。
逼近：在满足某种要求的条件下，用一个比较简单的函数近 似地代替某个复杂的或未知的函数，这种近似代替称为逼近。 （逼近是插值与拟合的统称）
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二、插值与拟合应该解决的问题
插值应该解决的问题
• 插值问题的提法
这个问题包括简单函数g ( x)的选择和应该满足的条
件。简单函数g ( x)的选择是指函数g ( x)属于什么样的函
数类，如果简单函数g ( x)选择的是多项式类，即：
g(x) Pn (x) a0 a1x1 a2 x2 an xn
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拟合：设已给出函数f
(
x)在点｛xi
}n i0
上的函数值f
( xi
)，如果
用一个比较简单的函数g(x)在区间[a,b]上近似地代替f (x),不要求
在已给点{xi
}n i0
上满足g
(
xi
)
f
(xi ),而是允许有一定的误差
ei
f
(
xi
)
g
(
xi
)，但在已给点{xi
(1 2)(1 3)
(2 1)(2 3)
(3 1)(3 2)
0.05x 2 0.55x 0.2.
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(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)
ln(1
x), 求出f