课件8：§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

命题方向2 ⇨独立性检验的应用
典例 2 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他
们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作
比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的
前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.
未感冒
感冒
合计
使用血清 未使用血清
合计
258
242
500
216
『规律方法』 通过等高条形图可以粗略地直观判断两个分 类变量是否有关系，一般地，在等高条形图中，a＋a b与c＋c d 相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．
〔跟踪练习1〕 某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟 考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情 紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧 张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与 性格类别是否有关系．
握认为该种血清能起到预防感冒的作用．
『规律方法』 独立性检验的步骤： 第一步，确定分类变量，获取样本频数，得到列联表． 第二步，根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量 有关系”犯错误概率的上界 α，然后查表确定临界值 k0. 第三步，利用公式 K2＝(a＋b)(cn＋(add－)(ab＋c)c2)(b＋d)计算随机变 量 K2 的观测值 k0.
2.等高条形图
(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量
间是否__相__互___影__响___，常用等高条形图表示列联表数据的
_频__率__特___征_.
a
c
(2)观察等高条形图发现_a_＋__b__和__c_＋__d__相差很大，就判断
两个分类变量之间有关系．
3．独立性检验
定义 利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验 公式 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝__a_＋__b_＋__c_＋__d__
4．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为 了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部 门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查，发现其中经 常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格， 而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常 上网与学习成绩有关吗？
[解] 根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：
第四步，作出判断．如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这 种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概 率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本 数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
〔跟踪练习2〕
“十一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮，黄金周过后，
统计本地与外地来的游客人数，与去年同期相比，结果如下：
§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
情境导入
饮用水的质量是人类普遍关心的问 题．据统计，饮用优质水的 518 人中，身体 状况优秀的有 466 人，饮用一般水的 312 人 中，身体状况优秀的有 218 人，人的身体健康状况与饮 用水的质量之间有关系吗？
知识梳理 1．分类变量和列联表 (1)分类变量： 变量的不同“值”表示个体所属的_不__同__类__别____，像这样 的变量称为分类变量．
反证法不成功
接受原假设
3.独立性检验与反证法的异同 独立性检验的思想来自于统计中的假设检验思想，它与反证法类 似．假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推 出“矛盾”来断定结论是否成立．但二者“矛盾”的含义不同，反证法中 的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生，而假设检验中的“矛盾”是 指一种不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下， 推出有利于结论成立的小概率事件发生．我们知道小概率事件在一次 试验中通常是不会发生的，若在实际中这个事件发生了，说明保证这 个事件为小概率事件的条件有问题，即结论在很大的程度上应该成 立．其基本步骤如下：
〔跟踪练习3〕 调查者通过询问男女大学生在购买食品时是否看营养说明得 到的数据如下表所示．能否在犯错误的概率不超过0.10的前 提下认为是否看营养说明与性别有关系？
男大学生 女大学生
合计
看营养说明 23 9 32
不看营养说明 32 15 57
合计 55 34 89
[解] 根据 2×2 列联表中数据由公式计算得 K2＝89×(5253××3245×)3(－2×3527×9)2≈2.149<2.706， 所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下不能认为看营养 说明与男女性别有关．
可以通过P(k≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，计算出 k>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量 有关这一结论成立的可信度为99%，不合理的程度可查下表 得出：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
列联表
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？
[错解] 由公式得：K2＝90×17×107×3×7－453×5×45382＝56.86， 56．86＞6.635 所以有 99%的把握认为“成绩与班级有关系”．
[辨析] 由于对 2×2 列联表中 a，b，c，d 的位置不清楚， 在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误． [正解] K2＝90×17×107×3×384－5×7×45352＝0.653， 0．653＜2.706， 所以没有充分证据认为成绩与班级有关．
284
500
474
526
1 000
[解] 假设感冒与是否使用该种血清没有关系．
由列联表中的数据，求得 K2 的观测值为
k＝1
000×(258×284－242×216)2 474×526×500×500 ≈7.075.
∵k＝7.075≥6.635，
查表得 P(K2≥6.635)＝0.01，
故我们在犯错误的概率不超过 1%的前提下，即有 99%的把
A．0.25
B．0.75
C．0.025
D．0.975
[解析] 通过查表确定临界值k.当k＞k0＝5.024时，推 断“X与Y”有关系这种推断犯错误的概率不超过0.025.
3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开．某市通过随机询问 100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下表格：
பைடு நூலகம்
做不到“光盘”
k＝7
645×(1 407×2 065－2 842×1 331)2 4 249×3 396×2 738×4 907
≈30.35>6.635.
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为票价上浮
后游客人数与所处地区有关系．
准确掌握公式中的参数含义
典例 3 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考 试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩
[解] 作列联表如下：
性格内向
考前心情紧张
332
考前心情不紧张
94
总计
426
性格外向 213 381 594
总计 545 475 1 020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中 性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内 向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高， 可以认为考前紧张与性格类型有关．
①确定 a，根据实际问题的需要，确定容许推断“两个分类变量有关系” 犯错误概率的上界 α，然后查表确定_临__界__值__K_0__. ②计算 K2，利用公式计算随机变量 K2 的_观__测__值__k__. 具体 ③下结论，如果__k≥__K__0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯__错__误__的__概__率__ 步骤 不超过 α；否则，就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中__没__有__发__现__足__够__证__据___支持结论“X 与 Y 有关系”
不及格 及格 总计
经常上网 80 120 200
不经常上网 120 680 800
总计 200 800 1000
得出等高条形图如图所示：
比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于不 经常上网不及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．
互动探究
命题方向1⇨等高条形图的应用
• 典例 1 从发生交通事故的司机中抽取2 000名司机作随 机样本，根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事
(2)列联表： ①定义：列出的两个分类变量的_频__数__表__称为列联表．
②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值
分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称 为2×2列联表)为
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
2.反证法与假设检验的对照表
反证法
假设检验
要证明结论 A 在 A 不成立的前提下进行推理
备选假设 H1 在 H1 不成立，即 H0 成立的条件下进行推
理
推出矛盾，意味着结论 A 成立
推出有利于 H1 成立的小概率事件发生，意 味着 H1 成立的可能性
没有找到矛盾，不能对 A 下任何结论，即 推出有利于 H1 成立的小概率事件不发生，
本地
外地
合计
去年
1 407
2 842
4 249
今年 合计
1 331 2 738
2 065 4 907
3 396 7 645
能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为票价上浮后 游客人数与所处地区有关系？
[解] 按照独立性检验的基本步骤，假设票价上浮后游客
人数与所处地区没有关系．
因为
K2
的观测值
能做到“光盘”
男
43
9
女
32
16
附： P(K2≥k) k
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d.
参照附表，得到的正确结论是__③____.(只填正确的序号)
①在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’ 与性别有关”；
故负有责任将数据整理如下：
有责任
有酒精
650
无酒精
700
总计
1 350
无责任 150 500 650
总计 800 1 200 2 000
试分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系．
[解] 作等高条形图如下，图中阴影部分表示有酒精负责 任与无酒精负责任的比例，从图中可以看出，两者差距较 大，由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精与对 事故负有责任”有关系．
独立性检验的基本思想
1．独立性检验的基本思想 独立性检验的基本思想是要确认“两个分类变量有关系”这一 结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两 个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变 量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很 大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含 义，
②在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’ 与性别无关”；
③有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”； ④有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”．
[解析] 由 2×2 列联表得到 a＝43，b＝9，c＝32，d＝16，则 a＋b ＝52，c＋d＝48，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝688，bc＝288，n＝100. 代入 K2＝(a＋b)(cn＋(add－)(ab＋c)c2)(b＋d)， 得 K2＝10502××(4688×87－5×22858)2≈3.419. 因为 2.706<3.419<3.841. 所以有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
预习自测
1．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法
正确的是( B )
A．k越大，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大 B．k越小，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大 C．k越接近于0，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越大 D．k越大，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越小
2．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有 关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系” 的可信度，如果k＞5.024，那么就推断“X和Y有关系”， 这种推断犯错误的概率不超过( C )