名师讲义高三数学A班三角函数(学生版)

教学内容
一、知识要点
1、若)2
,0(π
α∈，则αααtan sin <<；角的终边越“靠近”y 轴时，角的正弦、正切的
绝对值就较大，角的终边“靠近”x 轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.
［举例1］已知],0[πα∈，若0|cos |sin >-αα，则α的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.
［举例2］方程sin x x =的解的个数为＿＿＿＿个.
2、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由βαtg tg >未必有βα>；由βα>同样未必有βαtg tg >；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如βαsin sin =；则βπα+=k 2；或Z k k ∈-+=,2βππα；若
βαcos cos =，则Z k k ∈±=,2βπα；若βαtg tg =，则Z k k ∈+=,βπα.
［举例1］已知βα,都是第一象限的角，则“βα<”是“βαsin sin <”的――（ ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件. ［举例2］已知0,0,αβαβπ>>+<，则“βα<”是“βαs i n s i n <”的―――（ ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.
3、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tan α的值求ααcos ,sin 的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.
［举例1］已知α是第二象限的角，且a =αcos ，利用a 表示tan α=＿＿＿＿＿；
［举例2］已知),2
(,0cos 2cos sin sin 62
2
ππ
ααααα∈=-+，求)3
2sin(π
α+
的值.
【举一反三】
1、（2013闸北二模）已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且
528||=
+b a ，求θsin 与⎪⎭
⎫
⎝⎛+82cos πθ的值．
2、已知sin 2()sin 2n αγβ+=，则
tan()
tan()
αβγαβγ++=-+（ ）
（A ）
11n n -+ （B ）1n n + （C ）1n n - （D ）1
1
n n +-
4、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：)2cos 1(2
1cos ),2cos 1(21sin 22
x x x x +=-=
；引入辅助角（特别注意3π，
6π经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为
B x A y ++=)sin(ϕω的形式.函数|)sin(|ϕω+=x A y 的周期是函数)sin(ϕω+=x A y 周
期的一半.
［举例］函数1cos sin 32cos 2)(2
--=x x x x f 的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在区间]2,0[π上，方程1)(=x f 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
注意：辅助角ϕ的应用：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a .其中tan b
a
φ=
，且角ϕ所在的象限与点),(b a 所在象限一致.
5、当自变量x 的取值受限制时，求函数)sin(ϕω+=x A y 的值域，应先确定ϕω+x 的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定)sin(ϕω+x 的取值范围，并注意A 的正负；千万不能把x 取值范围的两端点代入表达式求得.
［举例］已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求)(x f 的最大值与最小值.
6、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关c b a ,,的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC 三边c b a ,,平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为2sin sin sin a b c R A B C
===（其中R 是△ABC 外接圆半径.
［举例］在△ABC 中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,对边的长.已知c b a ,,成等比数列，且
bc ac c a -=-22，求A ∠的大小及
c
B
b sin 的值.
7、在△ABC 中：B A B A b a sin sin >⇔>⇔>；A C B sin )sin(=+，=+)cos(C B
A cos -，2sin 2cos
A C
B =+，2
cos 2sin A
C B =+等常用的结论须记住.三角形三内角A 、B 、C 成等差数列，当且仅当3
π
=
B .
［举例1］（1）已知△ABC 三边c b a ,,成等差数列，求B 的范围；（2）已知△ABC 三边c b a ,,成等比数列，求角B 的取值范围.
［举例2］在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=，则△ABC 的形状一定是――――（ ） A 、等腰直角三角形； B 、直角三角形； C 、等腰三角形； D 、等边三角形.
［举例3］△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知c b a ,,成等比数列，且
4
3cos =
B . （1）求cot cot A
C +的值；（2）设2
3
=⋅BC BA ，求c a +的值.
【举一反三】
（2013杨浦二模）如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于
3
π
，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．
（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；
（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．
8、x x x x x x cos sin ,cos sin ,cos sin -+这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：
2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.
［举例1］已知关于x 的方程02)cos (sin 2sin =+++x x a x 有实数根，求实数a 的取值范围.
［举例2］已知),,0(πα∈且5
1
cos sin -
=+αα，则tan α=＿＿＿＿＿. 9、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y 轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.
函数tan ,cot y x y x ==的图像没有对称轴，它们的对称中心为Z k k ∈),0,2
(π
.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.
［举例1］已知函数x x f 2sin )(=，且)(t x f +是偶函数，则满足条件的最小正数=t ＿＿；
［举例2］若函数x x a x f cos sin )(+=的图像关于点)0,3
(π
-成中心对称，则=a ＿＿＿.
二、实战演练
1、（建平中学周练）已知βαtan ,tan 是方程x 2
+33x +4=0的两个根，且βα,∈(-2,
2π
π),
则βα+的值是_____________.
2、在ABC ∆中，若三边长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，则最大边是 _______。

3、设函数
)
52sin(2)(π
π+=x x f ，若对任意x R ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为______________； 4、将函数
tan(
3)
4
y x π
=-的图像上的各点经过怎样的平移_________________，可以得到函
数tan3y x =-的图像？
5、已知函数)sin(ϕω+=x y (0)ω>与直线21=
y 的交点中，距离最近的两点间距离为3π，
那么ω=________；
6、（2012浦东一模）函数),2,(cos sin )(*
R x n N n x x x f n n
∈≠∈+=的最小正周期为__________.
7、（交大附中）甲同学碰到一道缺失条件的问题：“在ΔABC 中，已知a =4，A =30º，试判断此三角形解的个数。

”察看标准答案发现该三角形有一解。

若条件中缺失边c ，那么根据答案可得所有可能的c 的取值范围是___________。

8、（复旦附中）（本题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点M （0,43π）对称，且在区间[0,2
π
]上是单调函数，求ϕ和ω的值。

9、（建平中学）若函数(,,)f x y z 满足(,,)(,,)(,,f a b c f b c a f c a b =
=，则称函数
(,,)f x y z 为轮换对称函数。

如(,,)f a b c abc =是轮换对称函数。

（1） 证明函数2
2
(,,)f x y z x y z =-+不是轮换对称函数。

（2） 判断函数2
(,,)2cos cos()cos f A B C C A B C =+--是否是轮换对称函数？ 对于函数2
(,,)2cos cos()cos f A B C a C A B a C =+--，（其中实数0a >，,,A B C 是
ABC ∆的内角），若存在实数[4,6]k ∈，能找到一个000A B C ∆，满足不等式
000(,,)k f A B C ≤；求a 的取值范围。

第 6 次课后作业
学生姓名：
1、（2012大境中学高三上期中）等比数列{}n a 中，1cos a x =，(0,)x π∈，公比sin q x =，若()12lim n n a a a →+∞
++⋅⋅⋅+3=
，则x =
2、（2012大境中学高三上期中）已知函数()1(1)x x f x a a a =-
>，当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
变化时， (sin )(1)0f m f m θ+-≥ 恒成立，则实数m 的取值范围是
3、（2012大境中学高三上期中）将函数1
2cos 1
1
sin 3
)(x x x f -=的图像向右平移)0(>a a 个单位，所得图像的函数为偶函数，则a 的最小值为 ( )
A 、
65π B 、
32π C 、3π D 、6π
4、（2012大同中学高三上期中）设函数.)(,3)(2
a x x g a ax x x f -=++-=若不存在．．．
R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是 .
5、（2012光明中学高三上期中）如右图，图中的实线是三段圆弧连接而成的一条封闭曲 线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在曲线C 上）．设第i 段弧所对的圆心角为i α()1,2,3i =，则
23
23
1
1
cos
cos
sin
sin
3
3
3
3
αααααα++-= ．
6、（2012光明中学高三上期中）设关于x 的方程
1
22
x a x =+-的解集为A ， 若A R -
=∅ ,则实数a 的取值范围是 ． 7、（2012敬业中学高三上期中）函数s i n co s 237,,sin cos 244x x y x x x ππ-+⎡⎤
=
∈⎢⎥++⎣⎦
的最小值
为 .
8、（2012敬业中学高三上期中）对于任意实数a ，要使函数
*215cos(
)()36
k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值5
4出现的次数不小于4次，
又不多于8次，则k 可以取……………………………（ ） A. 12和 B. 23和 C. 34和 D. 2
P
(第5题图)
9、（2012光明中学高三上期中）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2
cos 3
A =，sin 5cos
B
C =． (1) 求tan C 的值； (2) 若2a =，求ABC ∆的面积．
10、（2012敬业中学高三上期中）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105
方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120
方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
北
1
B 2B
1
A
2
A
120 105 乙
甲
2,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
6
π11、（2013上海高考）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>，
（1）若()y f x =在 上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令2ω=，将函数()y f x =向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像。

区间[,](,,)a b a b R a b ∈<且满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个
零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值。

12、（建平中学）求实数,(0,,0)Z ωφωωφπ≠∈<≤，使()2cos()f x x ωφ=+是奇函数，
且在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增。