四川中考仿真模拟考试《数学试卷》含答案解析

四川数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一．选择题(共10小题)
1.下列各数中，比﹣2小的数是( )
A. 3
B. 1
C. ﹣1
D. ﹣3
2. 如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是( )
A. B. C. D. 3.据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为( )
A. 30.210-⨯
B. 40.210-⨯
C. 3210-⨯
D. 4210-⨯ 4.将A (﹣4，1)向右平移5个单位，再向下平移2个单位，平移后点的坐标是( )
A. (﹣9，3)
B. (1，﹣1)
C. (﹣9，1)
D. (1，3) 5.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( ).
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 85° 6.下列计算正确的是( ).
A. (x+y)2=x 2+y 2
B. (－12xy 2)3=－16 x 3y 6
C. x 6÷x 3=x 2
D. 2(2)-7.方程22111
x x x x -=-+的解是( )
A. x ＝12
B. x ＝15
C. x ＝14
D. x ＝14
8.成都市某小区5月1日至5日每天用水量(单位：吨)分别是：30，32，36，28，34，则这组数据的中位数是( )
A. 32吨
B. 36吨
C. 34吨
D. 30吨
9.如图，正方形ABCD 四个顶点都在O 上，点是在弧AB 上的一点，则CPD ∠的度数是( )
A 35 B. 40 C. 45 D. 60
10.对于二次函数y ＝2(x+1)(x ﹣3)，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下
B. 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线x ＝﹣1
D. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小
二．填空题(共9小题)
11.已知2|2|(1)0a b ++-=，则+a b 的值为________.
12.若一次函数y=(1-m )x+2，函数值y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是___________．
13.如图，在等边△ABC 中，D 是BC 边上的一点，延长AD 至E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ，则∠E ＝_____．
14.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12
CD 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ;②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则BE 的值为_____．
15.已知m 是方程x 2﹣3x+1＝0的一个根，则(m ﹣3)2+(m+2)(m ﹣2)的值是_____．
16.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，
(3,0)
A ，(4,0)
B，边AD长为5. 现固定边AB，”推”矩形使点D落在y轴的正半轴上(落点记为)，相应地，点C的对应点的坐标为_______.
17.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值_____
18.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝3
5
，则AC＝
_____，CD＝_____．
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE 的长为_____．
三．解答题(共9小题)
20.计算：
(1)计算：(π﹣314)0+(1
3
)﹣2﹣|12|+4cos30°
(2)解不等式组：()3242113x x x x ⎧-->⎪⎨+≥-⎪⎩
21.先化简，再求值：2211x x y
x y y x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x ＝2，y ＝2﹣2． 22.”树德之声”结束后，王老师和李老师整理了所有参赛选手的比赛成绩(单位：分)，绘制成如图频数直方图和扇形统计图：
(1)求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图;
(2)求扇形统计图中扇形D 的圆心角度数;
(3)成绩在D 区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机抽取两人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
23.如图是小花在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A 处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成30°角，线段AA 1表示小花身高1.5米，当她从点A 跑动92米到达点B 处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E 处，风筝的水平移动距离CF ＝103米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C 1D ．
24.如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝2x ﹣2与双曲线y 2＝
k x
交于A 、C 两点，AB ⊥OA 交x 轴于点B ，且AB ＝OA ．
(1)求双曲线的解析式;
(2)连接OC ，求△AOC 的面积．
25.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．
(1)求DE是⊙O的切线;
(2)设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值;
(3)在(2)的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．
26.铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元?
(3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大?最大利润是多少元?
27.如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
(1)证明：四边形CEGF正方形;
(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数
量关系，并说明理由;
(3)拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝22，求BC的长．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值;
(3)在(2)的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
答案与解析
一．选择题(共10小题)
1.下列各数中，比﹣2小的数是( )
A. 3
B. 1
C. ﹣1
D. ﹣3
【答案】D
【解析】
分析】
根据正数都大于0、负数都小于0，再根据两个负数、绝对值大的反而小即可解答．
【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2
故答案为D ．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法为①负数<0<正数;②两个负数，绝对值大的反而小．
2. 如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是( ) A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上. 故选C.
考点：三视图
3.据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为( )
A. 30.210-⨯
B. 40.210-⨯
C. 3210-⨯
D. 4210-⨯
【答案】D
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示形式写出即可．
【详解】解：将数0.0002用科学记数法表示为4210-⨯.
故选D ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.将A (﹣4，1)向右平移5个单位，再向下平移2个单位，平移后点的坐标是( )
A. (﹣9，3)
B. (1，﹣1)
C. (﹣9，1)
D. (1，3)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减即可解答．
【详解】解：∵点A (﹣4，1)向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴平移后点的横坐标为﹣4+5＝1，纵坐标为1﹣2＝﹣1，
即平移后点的坐标为(1，﹣1)．
故答案为B ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，其平移规律为：横坐标右移加，左移减;纵坐标上移加，下移减． 5.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( ).
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
【答案】C
【解析】 分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB 可得答案．
详解：如图，
∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选C．
点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．6.下列计算正确的是().
A. (x+y)2=x2+y2
B. (－1
2
xy2)3=－
1
6
x3y6
C. x6÷x3=x2=2
【答案】D
【解析】
分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可．详解：(x+y)2=x2+2xy+y2，A错误;
(-1
2
xy2)3=-
1
8
x3y6，B错误;
x6÷x3=x3，C错误;
，D正确;
故选D．
点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键．
7.方程
221
11
x x
x x
-
=
-+
的解是( )
A. x＝1
2
B. x＝
1
5
C. x＝
1
4
D. x＝
1
4
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2x2+2x＝2x2﹣3x+1，
解得：x＝1
5
，
经检验x＝1
5
是分式方程的解，
故选B．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8.成都市某小区5月1日至5日每天用水量(单位：吨)分别是：30，32，36，28，34，则这组数据的中位数是( )
A. 32吨
B. 36吨
C. 34吨
D. 30吨
【答案】A
【解析】
【分析】
先将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为：28，30，32，34，36，最中间的数是32吨，
则这5天用水量的中位数是32吨;
故答案为A．
【点睛】本题考查了中位数，掌握确定中位数的方法是解答本题的关键．
的度数是( )
9.如图，正方形ABCD四个顶点都在O上，点是在弧AB上的一点，则CPD
A. 35
B. 40
C. 45
D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】
连AC，由四边形ABCD为正方形，得到∠CAD=45°，由∠CPD=∠CAD=45°．
【详解】连接AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°．
又∵∠CPD=∠CAD，∴∠CPD=45°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质．
10.对于二次函数y＝2(x+1)(x﹣3)，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下
B. 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线x ＝﹣1
D. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】 先将二次函数化为顶点式，然后再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：二次函数y ＝2(x+1)(x ﹣3)可化为y ＝2(x ﹣1)2﹣8的形式，
∵二次函数的解析式为y ＝2(x ﹣1)2﹣8，
∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，
∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大;当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．
故答案为D ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答本题的关键．
二．填空题(共9小题)
11.已知2|2|(1)0a b ++-=，则+a b 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质得到关于a,b 的方程，解出a,b 的值代入计算即可.
【详解】解：由已知得20a +=，10b -=，
解得2a =-，1b =.
则1a b +=-.
故答案为-1
【点睛】本题考查了非负数的性质和一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解题关键.
12.若一次函数y=(1-m )x+2，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________．
【答案】m ＞1．
【解析】
【分析】
对于一次函数y=kx+b(k ，b 为常数，且k≠0)，当k ＞0时，y 随着x 的增大而增大;当k ＜0时，y 随着x 的增大而减小．
【详解】解：∵函数值y 随着x 的增大而减小， ∴1－m ＜0，解得：m ＞1．
故答案为：m ＞1．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质，属于基础题型．理解k 与增减性的关系是解题的关键． 13.如图，在等边△ABC 中，D 是BC 边上的一点，延长AD 至E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ，则∠E ＝_____．
【答案】30°
【解析】
【分析】
先证△ABO ≌△AEO ，可得∠ABO=∠AEO ，再根据等边三角形的性质可得∠ABF=30°，进而得到∠AEO=30°即可解答．
详解】解：∵OA 平分∠BAE ，
∴∠BAO ＝∠EAO ，
∵三角形ABC 是等边三角形，AE ＝AC ，
∴AE ＝AC=AB ，
在△ABO 和△AEO 中
AB AE BAO AEO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABO ≌△AEO ，
∴∠ABO ＝∠AEO ，
∵BF 为等边△ABC 的高，
∴BF 平分∠ABC ，
∴∠ABF ＝30°，
∴∠AEO ＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形，证明三角形全等是解答本题的关键． 14.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12
CD 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ;②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则BE 的值
为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】
利用基本作法得到得MN 垂直平分CD ，即CE ＝DE ，AE ⊥CD ，再利用菱形的性质得到AD ＝CD ＝AB ＝4，CD ∥AB ，则利用勾股定理先计算出AE ，然后计算出BE ．
【详解】解：由作法得MN 垂直平分CD ，即CE ＝DE ，AE ⊥CD ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ＝CD ＝AB ＝4，CD ∥AB ，
∴DE ＝2，AE ⊥AB ，
在Rt △ADE 中，AE 224-2=23
在Rt △ABE 中，BE ()22423+7．
故答案为7
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)．
15.已知m 是方程x 2﹣3x+1＝0的一个根，则(m ﹣3)2+(m+2)(m ﹣2)的值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
将x=m 代入原方程得m 2-3m=-1，然后将原式进行化简，再整体代入即可解答．
【详解】解：由题意可知：m 2﹣3m+1＝0，
∴m 2﹣3m ＝-1，
∴原式＝m 2﹣6m+9+m 2﹣4
＝2m 2﹣6m+5
＝2(m 2﹣3m )+5
＝-2+5
＝3
故答案为3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和整式的化简求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义并灵活应用．
16.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，
B，边AD长为5. 现固定边AB，”推”矩形使点D落在y轴的正半轴上(落点记为)，相(3,0)
A-，(4,0)
应地，点C的对应点的坐标为_______.
7,4
【答案】()
【解析】
分析：根据勾股定理，可得OD',根据平行四边形的性质，可得答案.
详解：由勾股定理得：OD'=224
'-=,即(0,4).
D A AO
矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形ABC D''是平行四边形，
A=B, =AB=4-(-3)=7,与的纵坐标相等，∴ (7,4)，故答案为(7,4).
点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解题的关键.
17.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值_____
【答案】3．
【解析】
【分析】
由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到
DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论．
【详解】∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE=60°，DC=EC，
∴△CDE是等边三角形，
由旋转的性质得，BE=AD，
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C△DBE=CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD=23，
∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4，
故答案23+4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝3
5
，则AC＝
_____，CD＝_____．
【答案】10(2). 90 13
【解析】
【分析】
连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．再解直角三角形得到BH和CH，再由三角形的中位线定理求出OT，然后再利用勾股定理求出AC，最后根据相似三角形的性质构建方程组并解答即可．
【详解】解：连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．
∵BH 是直径，
∴∠BCH ＝90°，
∵∠BAC ＝∠BHC ，
∴sin ∠BAC ＝sin ∠BHC ＝
35BC BH = ∵BC ＝6，
∴BH ＝10，CH 2222106BH BC --8，
∵AB ＝AC ，
∴AB AC =，
∴AT ⊥BC ，
∴BT ＝CT ＝3，
∵BO ＝OH ，BT ＝TC ，
∴OT ＝12
CH ＝4， ∴AT ＝AO+OT ＝5+4＝9，
∴AC 222293310AT TC +=+=∵AB ＝AC ，AT ⊥BC ，
∴∠DAO ＝∠CAO ，
∵OA ＝OC ，
∴∠CAO ＝∠OCA ，
∴∠DAO ＝∠OCA ，
∵∠ADO ＝∠CDA ，
∴△DAO ∽△DCA ， ∴AD AO OD DC CA AD
==， ∴5310y x x y
==+ ，
解得x＝25
13
，
∴CD＝OD+OC＝25
13
+5＝
90
13
，
故答案为310，90 13
．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题是解答本题的关键．
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE 的长为_____．
【答案】3或14 5
【解析】【分析】
由∠C＝90°，BC＝3AC＝2可得tanB＝
3
3
23
AC
BC
==，即∠B=30°，再根据直角三角形的性质
可得AB＝2AC＝4;再由翻折的性质可得DB＝DC3EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°;设AE＝x，
则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x．当∠AFB′＝90°时，解直角三角形可得EF＝x﹣5
2
;又由在Rt△B′EF中，
∠EB′F＝30°，可得EB′＝2EF;再用x表示出来，然后解关于x的方程即可;②当∠AB′F＝90°时，即B′不落在C点处时，在进行求解即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，
∴tanB＝
3
3
23
AC
BC
==，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F
∴DB＝DC＝3，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，
当∠AFB′＝90°时，
在Rt△BDF中，cosB＝BF BD
，
∴BF＝3cos30°＝3
2
，
∴EF＝3
2
﹣(4﹣x)＝x﹣
5
2
，
在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF，
即4﹣x＝2(x﹣5
2
)，解得x＝3，此时AE为3;
②当∠AB′F＝90°时，即B′不落在C点处时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝1
2
B′E＝
1
2
(4﹣x)，EH＝3B′H＝
3
2
(4﹣x)，
在Rt△AEH中，
∵EH2+AH2＝AE2，
∴3
4
(4﹣x)2+[
1
2
(4﹣x)+2]2＝x2，解得x＝
14
5
，此时AE为
14
5
．
综上所述，AE的长为3或14
5
．
故答案为3或14
5
．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾殷定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，学会用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．
三．解答题(共9小题)
20.计算：
(1)计算：(π﹣3.14)0+(13
)﹣2﹣|
|+4cos30° (2)解不等式组：()3242113x x x x ⎧-->⎪⎨+≥-⎪⎩
【答案】(1)10;(2)1＜x ≤4．
【解析】
【分析】
(1)先用零次幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简，最后计算即可;
(2)先分别解出两个不等式的解集，最后求两个解集的公共部分即可．
【详解】(1)原式＝1+9﹣
+4
＝1+9﹣
＝10; (2)3(2)42113x x x x -->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩
①② ， 由①得：x ＞1，
由②得：x ≤4，
则不等式组的解集为1＜x ≤4．
【点睛】本题主要考查了零指数幂、解一元一次不等式组等知识点，掌握好基础知识和解不等式组的方法是解答本题的关键．
21.先化简，再求值：2211x x y x y y x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭
，其中x
，y ＝2
． 【答案】y x y -
+
【解析】
【分析】
先根据分式的四则混合运算法则对原式进行化简，然后将x、y的值代入即可解．
【详解】解：原式＝﹣
()
()()
x x y
x y x y
--
+-
•(x﹣y)
＝﹣
y
x+y
，
当x＝2，y＝2﹣2时，
原式＝
22
222
-
-
+-
＝22
2
-
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和良好的计算能力是解答本题的关键．
22.”树德之声”结束后，王老师和李老师整理了所有参赛选手的比赛成绩(单位：分)，绘制成如图频数直方图和扇形统计图：
(1)求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图;
(2)求扇形统计图中扇形D的圆心角度数;
(3)成绩在D区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机抽取两人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)本次比赛参赛选手总人数36人，补图见解析;(2)50°;(3)3
5
．
【解析】
【分析】
(1)先求出C区域的人数和所占的百分比，然后用C区域的人数除以其所占的百分比，即可求得总人数，再用总人数乘以每个区域所占的百分比求出每个区域的人数，最后完成直方图即可;
(2)用360°乘以D区域的人数所占的百分比即可;
(3)先求出D区域男生、女生的人数，再画树状图求出等可能的结果数和所求的结果数，最后根据概率公式
求解即可．
【详解】解：(1)本次比赛参赛选手总人数是9÷90
360
︒
︒
＝36(人)，
80≤x＜90的人数有：36×50%＝18(人)，
则80≤x＜85的人数有18﹣11＝7(人)，
95≤x＜100的人数有：36﹣4﹣18﹣9＝5(人)，补图如下：
(2)求扇形统计图中扇形D的圆心角度数是360°×5
36
＝50°;
(3)∵D区域的选手共有5人，其中男生比女生多一人，
∴男生有3人，女生有2人，
画图如下：
共有20种等情况数，其中选中一名男生和一名女生的有12种，
则恰好选中一名男生和一名女生的概率是123 205
=．
【点睛】本题考查了扇形统计图、直方图以及树状图法求概率，掌握树形图是解答本题的关键．
23.如图是小花在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成30°角，线段AA1表示小花身高1.5米，当她从点A跑动2米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝3米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．
【答案】风筝原来高度为2762⎛+
⎝米． 【解析】
【分析】 设AF ＝x ，则BF ＝AB+AF ＝9
2+x ，在Rt △BEF 中求得AD=BE=182cos BF x EBF =+∠，由cos ∠CAD=AC AD
，然后建立关于x 的方程，解之求得x 的值，确定AD 的长，最后由CD= A Dsin ∠CAD 即可求出C 1D ．
【详解】解：设AF ＝x ，则BF ＝AB+AF ＝2+x ，
在Rt △BEF 中，BE ＝182cos BF x EBF
=+∠， 由题意知AD ＝BE ＝2x ，
∵CF ＝3
∴AC ＝AF+CF ＝3+x ，
由cos ∠CAD ＝AC AD 3103182x x
+=+ ， 解得：x ＝2 3
则AD ＝2(23)＝6，
∴CD ＝ADsin ∠CAD ＝(6)×1
2
＝6，
则C 1D ＝CD+C 1C ＝6+32＝2726; 答：风筝原来的高度C 1D 为(2726)米 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，三角函数的定义以及根据题意找到两直角三角形间的关联是解答本题的关键．
24.如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝2x ﹣2与双曲线y 2＝k x
交于A 、C 两点，AB ⊥OA 交x 轴于点B ，
且AB ＝OA ．
(1)求双曲线的解析式;
(2)连接OC ，求△AOC 的面积．
【答案】(1)24y x
=
;(2)3． 【解析】
【分析】 (1)作AH ⊥OB 于H ，先证△OAB 为等腰直角三角形，可得OH=BH=AH ，设A (t,t )，把A (t,t )代入解析式即可求得t 的值，进一步可得A 的坐标，最后利用待定系数法即可求解;(2)先确定一次函数与y 轴的交点坐标为(0，-2)，再联立一次函数和反比例函数解析式求得C 的坐标，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】(1)作AH ⊥OB 于H ，如图，
∵AB ⊥OA 交x 轴于点B ，且AB ＝OA ．
∴△OAB 为等腰直角三角形，
∴OH ＝BH ＝AH ，
设A (t ，t )，把A (t ，t )代入y ＝2x ﹣2得2t ﹣2＝t ，解得t ＝2，
∴A (2，2)，
把A (2，2)代入y 2＝
k x
得k ＝2×2＝4， ∴双曲线的解析式为y 2＝k x ; (2)当x ＝0时，y ＝2x ﹣2＝﹣2，则一次函数与y 轴的交点坐标为(0，﹣2)， 解方程422
y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得22x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩，则C (﹣1，﹣4)， ∴△AOC 的面积＝12
×(2+1)×2＝3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键在于灵活运用一次函数和反比例函数知识以及数形结合思想．
25.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．
(1)求DE是⊙O的切线;
(2)设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值;
(3)在(2)的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析;(2)
2
2
;(3)32
【解析】
【分析】
(1)连接OD，由圆周角定理就可得∠ADB=90°和∠CDB=90°，又由E为BC的中点可以得出DE=BE，进一步得到∠EDO＝∠EBO，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°即可证明;
(2)由S2=5S1，即△ADB的面积是△CDE面积的4倍，可得AD:CD=2:1，AD:BD=2，则可求tan∠BAC;
(3)由(2)的关系即可知AD:BD=2，在Rt△AEB中，运用勾股定理解答即可．
【详解】(1)证明：连接OD，
∴OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB ＝90°．
∵E 为BC 的中点，
∴DE ＝BE ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，
∴∠ODB+∠EDB ＝∠OBD+∠EBD ，
即∠EDO ＝∠EBO ．
∵BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线，
∴AB ⊥BC ，
∴∠EBO ＝90°，
∴∠ODE ＝90°，
∴DE 是⊙O 的切线;
(2)解：∵S 2＝5S 1，
∴S △ADB ＝2S △CDB ， ∴AD DC ＝21
， ∵△BDC ∽△ADB ， ∴AD DB ＝DB DC
， ∴DB 2＝AD •DC ，
∴DB AD 2
= ，
∴tan ∠BAC ＝DB AD 2
=;
(3)解：∵tan ∠BAC ＝
DB AD 2=，
∴BC AB =BC AB ＝ ， ∵E 为BC 中点，
∴BE ＝
12BC ，
∴AE ==
【点睛】本题考查了圆周角定理的运用、直角三角形的性质的运用、等腰三角形的性质的运用、切线的判定定理的运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键．26.铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元?
(3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)y＝10x+100;(2)这种干果每千克应降价9元;(3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【解析】
【分析】
(1)由待定系数法即可得到函数的解析式;
(2)根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可;
(3)根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可．
【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
把(2，120)和(4，140)代入得，
2120 4140 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
10
100 k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100;
(2)根据题意得，(60﹣40﹣x)(10x+100)＝2090，
解得：x ＝1或x ＝9，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴x ＝9，
答：这种干果每千克应降价9元;
(3)该干果每千克降价x 元，商贸公司获得利润是w 元，
根据题意得，w ＝(60﹣40﹣x)(10x+100)＝﹣10x 2+100x+2000，
∴w ＝﹣10(x ﹣5)2+2250，
∵a=-100<，∴当x ＝5时，w 2250=最大
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生”用数学”的意识．
27.如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．
(1)证明：四边形CEGF 是正方形;
(2)探究与证明：
将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由;
(3)拓展与运用：
正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图3所示，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，延长CG 交AD 于点H ，若AG ＝6，GH ＝22，求BC 的长．
【答案】(1)证明见解析;(2)AG 2BE ，理由见解析;(3)5
【解析】
【分析】
(1)先说明GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF 是矩形，再由∠ECG=45°即可证明;
(2)连接CG ，证明△ACG ∽△BCE ，再应用相似三角形的性质解答即可;
(3)先证△AHG ∽△CHA 可得AG GH AH AC AH CH ==，设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC ＝2a ，求出AH=23a ，DH=13a ，CH=103a ，最后代入AG AH AC CH =即可求得a 的值． 【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°，
∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，
∴∠CEG ＝∠CFG ＝∠ECF ＝90°，
∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG ＝45°，
∴EG ＝EC ，
∴四边形CEGF 是正方形．
(2)结论：AG ＝2BE ;
理由：连接CG ，
由旋转性质知∠BCE ＝∠ACG ＝α，
在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG ＝cos45°＝22
，2cos 452CB CA ︒== ， ∴2CE CA CG CB
==， ∴△ACG ∽△BCE ， ∴
2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG 2BE ;
(3)∵∠CEF ＝45°，点B 、E 、F 三点共线，
∴∠BEC ＝135°，
∵△ACG ∽△BCE ，
∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴AG GH AH AC AH CH
==，
设BC＝CD＝AD＝a ，则AC＝2a，
则由AG GH
AC AH
=，得
622
2AH
a
=，
∴AH＝2
3 a，
则DH＝AD﹣AH＝1
3
a，22
10
CH CD DH
3
a
=+=，
∴AG AH
AC CH
=，得
2
63
210
3
a
a
=，
解得：a＝35，即BC＝35．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值;
(3)在(2)的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1;(2)t的值为1或0;(3)满足条件的Q点坐标为：(0，2)、(﹣1，3)、(3
5
，
19
5
)、
(4
5
，
12
5
)．
【解析】
【分析】
(1)用待定系数法即可确定函数解析式;
(2)根据图形分∠ANM=90°和∠AMN=90°两种情况解答即可;
(3)根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用勾股定理进行计算．
【详解】(1)∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)
∴
1421 11
a b
a b
=--⎧
⎨
-=--⎩
解得：
a=1 b=1⎧
⎨
⎩
∴抛物线C1：解析式为y＝x2+x﹣1
(2)∵动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN＝(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)＝t2+2
①当∠ANM＝90°，AN＝MN时，由已知N(t，t2+t﹣1)，A(﹣2，1) ∴AN＝t﹣(﹣2)＝t+2
∵MN＝t2+2
∴t2+2＝t+2
∴t1＝0(舍去)，t2＝1
∴t＝1
②当∠AMN＝90°，AM＝MN时，由已知M(t，2t2+t+1)，A(﹣2，1) ∴AM＝t﹣(﹣2)＝t+2，
∵MN＝t2+2
∴t2+2＝t+2
∴t1＝0，t2＝1(舍去)
∴t＝0
故t的值为1或0;。