(word完整版)初中几何证明题库：菱形

8．如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（ ）
A ． 20°
B ． 25°
C ． 30°
D ． 35°
考点： 菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答： 解：∠AD ∠BC ， ∠∠AEB=∠DAE=∠B=80°， ∠AE=AB=AD ，
在三角形AED 中，AE=AD ，∠DAE=80°， ∠∠ADE=50°， 又∠∠B=80°， ∠∠ADC=80°，
∠∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=30°． 故选C ． 点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．
已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则
MC
AM
的值是 .
6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【 】
A 、3公里
B 、4公里
C 、5公里
D 、6公里
图1
M
E
D
B
C A
图2
M
E
D
B
C
A
7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．
2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。

求证：AE=AF。

【答案】证明：连接CE。

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。

又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。

∴AE=CF。

∴四边形AECF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。

∴AE=AF。

【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。

由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。

根据菱形四边相等的性质和AE=AF。

3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=4
3
，则菱形ABCD的面积为
▲ cm2．
例1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’
经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CF
FD
的值为【】
【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC 与A′D′，交于点M ，
∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。

∴∠D=180°-∠A=120°。

根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。

∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。

∴∠CBM=∠M。

∴BC=CM。

设CF=x ，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。

∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°=
D F y FM 2x y '==+x =。

∴
CF x FD y ==。

故选A 。

例2.如图，菱形ABCD 中，AB=AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200
，③AH+CH=DH，④AD 2
=OD·DH 中，正确的是【 】．
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②③④ 【答案】D 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。

【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。

∴∠B=∠EAC=600。

又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。

结论①正确。

∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。

∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。

结论②正确。

如图，在HD上截取HG=AH。

∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。

∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。

又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。

∴A，H，C，D四点共圆。

∴∠AHD=∠ACD =600。

∴△AHG是等边三角形。

∴AH=AG，∠GAH=600。

∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。

又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。

∴CH=DG。

∴AH+CH= HG+ DG =DH。

结论③正确。

∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。

∴AD HD OD AD。

∴AD 2=OD·DH。

结论④正确。

综上所述，正确的是①②③④。

故选D。

例5.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。

∴∠1=∠ACD。

∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。

∴MC=MD。

∵ME⊥CD，∴CD=2CE。

∵CE=1，∴CD=2。

∴BC=CD=2。

（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=1
2
BC。

∴CF=CE。

∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。

在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，
∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。

延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，∴∠G=∠2。

∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。

∴AM=MG。

在△CDF和△BGF中，
∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。

∴GF=DF。

由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。

【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可
得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。

（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS 证明△CDF和
△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。

例3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】
A． 1 B C． 2 D＋1
【答案】B。

【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接
P1Q，交BD于点K1。

由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。

由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。

∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。

（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。

因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB 时P1Q最短。

过点A作AQ1⊥DC于点Q1。

∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。

又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=2=
综上所述，PK+QK。

故选B。