2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形教师用书(PDF,含解析)

( ａ＋ｂ＋ｃ)
.
４.实际问题中的常用角
( １) 仰角和俯角
与目标视线 在 同 一 铅 垂 平 面 内 的 水 平 线 和 目 标 视 线 的 夹
角ꎬ目标视线在水平线上方的角叫仰角ꎬ目标视线在水平线下方
的角叫俯角(如图 ａ).
( ２)北方向顺时针转到目标方向线的水
平角ꎬ如 Ｂ 点的方位角为 α( 如图 ｂ) .
三角形内角和等于 １８０° 知ꎬｃｏｓ Ａ、ｃｏｓ Ｂ、ｃｏｓ Ｃ 中两个是正数ꎬ一
个是负数ꎬ故 Ａ、Ｂ、Ｃ 中两个是锐角ꎬ一个是钝角ꎬ故③正确.
④若 ｃｏｓ( Ａ－Ｂ) ������ｃｏｓ( Ｂ－Ｃ) ������ｃｏｓ( Ｃ－Ａ) ＝ １ꎬ则由三角形各
个内角的范围及三角形内角和等于 １８０° 知ꎬｃｏｓ( Ａ－Ｂ) ＝ ｃｏｓ( Ｂ－
ａｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ａ
ｃｏｓ
Ａ
＝
ｂ
２
＋ｃ２ －ａ２ ２ｂｃ
ꎻ
ｃｏｓ
Ｂ
＝
ａ２
＋ｃ２ － ２ａｃ
ｂ
２
ꎻ
ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２ ２ａｂ
解决 的问
题
已知两角和任一边ꎬ求另一角 和其他两条边ꎻ 已知两边和其中一边的对角ꎬ 求另一边和其他两角
已知三边ꎬ求各角ꎻ 已知两边和它们的夹角ꎬ求第 三边和其他两个角
ａ≥ｂ
ａ>ｂ
解的个数 一解
两解
一解
一解
上表中 Ａ 为锐角时ꎬａ<ｂｓｉｎ Ａ 无解ꎻＡ 为钝角时ꎬａ ＝ ｂꎬａ<ｂ 均
无解.
(３) 已知三边ꎬ用余弦定理ꎬ有解时ꎬ只有一解.
(４) 已知两边及夹角ꎬ用余弦定理ꎬ必有一解.
３.三角形的面积
设△ＡＢＣ 的三边为 ａꎬｂꎬｃꎬ所对的三个内角为 ＡꎬＢꎬＣꎬ其面
考 点 用正、余弦定理解三角形 高频考点
１.正、余弦定理
定理
正弦定理
内容
ａ ｓｉｎ
Ａ
＝
ｂ ｓｉｎ
Ｂ
＝
ｃ ｓｉｎ
Ｃ
＝
２Ｒ
( Ｒ 为△ＡＢＣ 外接圆半径)
余弦定理
ａ２ ＝ ｂ２ ＋ｃ２ －２ｂｃｃｏｓ Ａꎻ ｂ２ ＝ ａ２ ＋ｃ２ －２ａｃｃｏｓ Ｂꎻ ｃ２ ＝ ａ２ ＋ｂ２ －２ａｂｃｏｓ Ｃ
(３) 坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.
对应学生用书起始页码 Ｐ７６
一、三角形形状的判断方法
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要判断三角形的形状ꎬ应围绕三角形的边角关系进行思考. 依据已知条件中的边角关系判断时ꎬ主要有以下两种途径:
Ｃ) ＝ ｃｏｓ( Ｃ－Ａ)＝ １ꎬ 故有 Ａ ＝ Ｂ ＝ Ｃꎬ 故 △ＡＢＣ 是 等 边 三 角 形ꎬ 故
④正确.
答案 ③④
１－１ 设△ＡＢＣ 的内角 ＡꎬＢꎬＣ 所对的边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ若
ｂｃｏｓ Ｃ＋ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ａｓｉｎ Ａꎬ则△ＡＢＣ 的形状为
( )
Ａ.锐角三角形
在△ＡＢＣ 中ꎬ给出下列四个命题: ①若 ｓｉｎ ２Ａ ＝ ｓｉｎ ２Ｂꎬ则△ＡＢＣ 为等腰三角形ꎻ
②若 ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ｂꎬ则△ＡＢＣ 是直角三角形ꎻ
③若 ｃｏｓ Ａ������ｃｏｓ Ｂ������ｃｏｓ Ｃ<０ꎬ则△ＡＢＣ 是钝角三角形ꎻ
④若 ｃｏｓ( Ａ－Ｂ) ������ｃｏｓ( Ｂ－Ｃ) ������ｃｏｓ( Ｃ－Ａ) ＝ １ꎬ则△ＡＢＣ 是等
(１) 化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含 边的关系ꎬ通过因式分解、配方等得出边的相应关系ꎬ从而判断 三角形的形状.
(２) 化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含 内角的三角函数间的关系ꎬ通过三角恒等变换得出内角的关系ꎬ 从而判断出三角形的形状ꎬ此时要注意应用“ △ＡＢＣ 中ꎬＡ＋Ｂ ＋Ｃ ＝ π”.
４ ２ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版( 教师用书)
§ ４.４ 解三角形
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积为 Ｓꎬ外接圆半径为 Ｒ.
(１)Ｓ ＝
１ ２
ａｈ( ｈ
为
ＢＣ
边上的高) ꎻ
(２)Ｓ ＝
１ ２
ａｂｓｉｎ
Ｃ＝
１ ２
ａｃｓｉｎ
Ｂ＝
１ ２
ｂｃｓｉｎ
Ａꎻ
(３) Ｓ ＝ ２Ｒ２ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃꎻ
(４) Ｓ ＝ ａ４ｂＲｃꎻ
( ) (５)Ｓ ＝
ｐ( ｐ－ａ) ( ｐ－ｂ) ( ｐ－ｃ)
ｐ＝
１ ２
边三角形.
以上命题正确的是 (填序号).
解析 ①若 ｓｉｎ ２Ａ ＝ ｓｉｎ ２Ｂꎬ则 ２Ａ ＝ ２Ｂ 或 ２Ａ＋ ２Ｂ ＝ πꎬ即 Ａ
＝Ｂ
或
Ｃ＝
π ２
ꎬ 故 △ＡＢＣ
为等腰三角形或直角三角形ꎬ故① 不
正确.
②例如∠Ａ ＝ １００° 和∠Ｂ ＝ １０°ꎬ满足 ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ｂꎬ但△ＡＢＣ
不是直角三角形ꎬ故②不正确.
第四章 三角函数 ４ ３
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③若 ｃｏｓ Ａ������ｃｏｓ Ｂ������ｃｏｓ Ｃ<０ꎬ则由三角形各个内角的范围及
Ｂ.直角三角形
２.解三角形的类型 ( １) 已知两角及一边ꎬ用正弦定理ꎬ有解时ꎬ只有一解. ( ２) 已知两边及其中一边的对角ꎬ用正 弦定理ꎬ有 解时可 分
为几种情况.在△ＡＢＣ 中ꎬ已知 ａ、ｂ 和角 Ａ 时ꎬ解的情况如下:
Ａ 为锐角
Ａ 为钝角
对应学生用书起始页码 Ｐ７５
续表
Ａ 为锐角
Ａ 为钝角
关系式 ａ ＝ ｂｓｉｎ Ａ ｂｓｉｎ Ａ<ａ<ｂ
变形 形式
ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａꎬ
ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂꎬ
ｃ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｃꎻ
ｓｉｎ
Ａ＝
ａ ꎬ ｓｉｎ ２Ｒ
Ｂ＝
ｂ ꎬ ｓｉｎ ２Ｒ
Ｃ＝
ｃ ２Ｒ
(
其中
Ｒ
是△ＡＢＣ
的外接圆
半径) ꎻ
ａ ∶ ｂ ∶ ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ ∶ ｓｉｎ Ｂ ∶ ｓｉｎ Ｃꎻ
ａｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａꎬｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ｂꎬ