湖南省长沙市天心区长郡中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷版)

长郡中学2019-2020学年度高二第一学期期末考试数学
一､选择题(每小题3分,共45分)
1.命题“若α=4
π，则tanα=1”的逆否命题是( ) A. 若α≠4
π，则tanα≠1 B. 若α=4π，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠4π D. 若tanα≠1，则α=
4π 2.某单位有职工100人,30岁以下的有20人,30岁到40岁之间的有60人,40岁以上的有20人,今用分层抽样的方法从中抽取20人,则各年龄段分别抽取的人数为( )
A. 2,8,10
B. 4,12,4
C. 8,8,4
D. 6,7,7
3.设P 是椭圆22149
x y +=上的点,若1F ,2F 是椭圆的两个焦点,则12||||PF PF +=( ) A. 4 B. 8
C. 6
D. 18 4.已知抛物线的标准方程2y ax =,则其焦点坐标为( )
A. (,0)4
a
B. (0,)
4a C. (,0)4a - D. (0,)4a - 5.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a =+ ，其中11b =，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元
A. 60
B. 63
C. 65
D. 69 6.二项式1022)x 展开式中的常数项是( ) A. 180 B. 90 C. 45 D. 360
7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(
)
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种
8.已知条件p ：4 6x -≤；条件q ：22(1)0 (0)x m m --≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）
A. [)21,+∞
B. [)19,+∞
C. [)9,+∞
D. ()0,+∞ 9.若直线220x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A. 2215
x y += B. 22
145x y += C. 2215
x y +=或22145x y += D. 以上答案都不对 10.设12,F F 是双曲线22124
y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（ ）
A. 42
B. 83
C. 24
D. 48
11.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 5
12.函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）
A. ()1,1-
B. ()1,-+∞
C. (),1-∞-
D. (),-∞+∞
13.下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝
13
x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a∈R )的导函数y ＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A. 13
B. －
23 C. 73 D. －13或53
14.在区间()0,6中任取一个实数a ，使函数()()3,137,1x a x f x a x a x +⎧≤-⎪=⎨--+>-⎪⎩
，在R 上是增函数的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
15.已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为33
,则a 的值为( ) A. 31- B. 34 C. 43 D. 31+
二､填空题(每小题3分,共15分)
16.在复平面内,O 是原点,向量OA 对应的复数是2i +,若点A 关于实轴的对称点为B ,则向量OB 对应的复数是__________.
17.若()2,1,3a x =，()1,2,9b y =-且//a b ，则xy =_________.
18.椭圆22
1x y m n
+=的焦点在y 轴上，且{}1,2,3,4,5m ∈，{}1,2,3,4,5,6,7n ∈，则满足题意的椭圆的个数为______.
19.已知抛物线24y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)B ，则||||PB PF +的最小值为_____．
20.已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-,其中m 为参数,且满足5m ≤.若对任意1x ∈[4,+∞),存在2x ∈(-∞,4],使得12()()g x f x =成立,则实数m 的取值范围为________.
三､解答题 (每小题8分,共40分)
21.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，
[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.
（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
22.如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面
ABC ，3PC =，2ACB π∠=
．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====． (1)证明：DE ⊥平面PCD ；
(2)求二面角A PD C --的余弦值．
23.已知函数f (x )＝
13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
24.已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率5e =，直线l 交椭圆于M 、N 两点． （1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；
（2）如果BMN
∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 25.已知函数2()3,()91x f x e x g x x =+=-.
（1）讨论函数()ln ()(,0)x a x bg x a R b φ=-∈>在(1,)+∞上的单调性；
（2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.。