高三数学解析式试题答案及解析

高三数学解析式试题答案及解析
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，
f(x)＝________.
【答案】－x(x＋1)
【解析】当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的
最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
【考点】1、函数的解析式；2、二次函数的最值.
3.运货卡车以每小时x千米的匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米／小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（）升，司机的工资是每小时14元.
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） km/h时，最低费用的值为.【解析】（Ⅰ）行车总费用包括两部分：一部分是油耗；另一部分是司机工资，首先表示出行车
时间为，故司机工资为（元）,耗油为（元），故行车总费用为二部分
的和；（Ⅱ），由基本不等式可求最小值，注意等号成
立的条件（时取等号），如果等号取不到，可考虑利用对号函数的图象，通过单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）设所用时间为，.
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
（或，）
（Ⅱ）
仅当，即时，上述不等式中等号成立
答：当km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元
【考点】1、函数的解析式；2、基本不等式.
4.已知若则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D．
【解析】.
【考点】函数的解析式.
5.若定义在R上的函数满足，且当时，，函数
，则函数在区间内的零点个数为（）
A．9B．7C．5D．4
【答案】C
【解析】∵，∴，当时，，，
∴，∴，通过画图找两个图像的交点个数，即零点个数.
【考点】1.求函数解析式；2.分段函数图像.
6.若，则的表达式为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，所以，所以，选D.
【考点】求函数的解析式.
7.已知函数，则满足方程的所有的的值为；
【答案】0或3
【解析】试题分析若，则或，解得a=3或a="0."
【考点】1.分段函数；2.对数方程和指数方程.
8.对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若函数f （x ）逆时针旋转角后所得曲线仍是一函数，
则函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点 A 中函数与直线y=x 有两个交点，不满足要求； B 中函数y=lnx 与直线y=x-1有两个交点，不满足要求； C 中函数
与直线y=x+b 均有且只有一个交点，满足要求；
D 中函数y=x 2与直线y=x 有两个交点，不满足要求；故选C. 【考点】旋转变换
点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点，是解答本题的关键．
9. 已知函数在点处的切线方程为 (1)求函数
的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值都有
求实数c 的最小值．
【答案】(1) f(x)＝x 3－3x. (2) c 的最小值为4. 【解析】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3. 根据题意，得
即
解得
所以f(x)＝x 3－3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.
(－2，－
，f(1)＝－2，
所以当x ∈[－2,2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. （ 需列表格或者说明单调性，否则扣2分）
则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4， 所以c≥4.即c 的最小值为4.
【考点】本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，待定系数法。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先利用待定系数法，求得函数解析式，为进一步解题奠定了基础。

利用“表解法”写出函数单调性、极值，直观明了。

10. 已知函数若
在
上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】因为函数
若
在
上单调递增，
所以，所以实数的取值范围为。

【考点】分段函数的单调性；对数函数的单调性；一次函数的单调性。

点评：此题是典型的易错题。

错误的主要原因是忘记限制。

属于中档题。

11.(满分14分)设函数.若方程的根为0和2,且.
(1). 求函数的解析式;
(2) 已知各项均不为零的数列满足:为该数列的前n项和),求该数列的通项;
(3)如果数列满足.求证:当时,恒有成立.
【答案】(1)；(2) ；
(3) .
【解析】(1)根据的根为0和2,借助韦达定理可建立关于a,b的方程，再根据，
可确定出c值，从而求出a,b 的值，确定f(x)的解析式.
(2) 由得然后两个式子作差可得到,再根据条件
排除,从而确定为等差数列，问题得解.
（3）解本小题的关键是由,
.然后再分两种情况讨论求解.
解：(1)设…2分
,又
……4分
(2)由已知得……5分
两式相减得,……6分
当.若
……8分
(3) 由,……10分
.……11分
若……13分
可知,. ……14分
12.已知函数的定义域为，部分对应值如下表．为的导函数，函数
的图像如图所示：若两正数满足，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由图知函数f（x）在[-2，0]上，f′（x）＜0，函数f（x）单减；
函数f（x）在[0，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单增； a＞0，b＞0 2a+b＜0 2a+b＞-2 或 a
＞0，b＞0 2a+b＞0 2a+b＜4 ，表示点（a，b）与点（-3，-3）连线斜率，故的取值
范围为（3 /5 ，7 /3 ）．选B
13.已知函数，．
（1）设是函数的一个零点，求的值；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1）（2）函数的单调递增区间是（）
【解析】第一问利用题设知．因为是函数的一个零点，所
以即（
所以
第二问
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）
14.设函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【答案】2
【解析】，令，则为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即，而，
，所以.
15.已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）时，的最大值为
【解析】（1）
令得：
得：
在上单调递增
得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
16.定义在上的函数同时满足以下条件：
①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③在处的切线与直线垂直.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若存在，使，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)要确定a,b,c的值，关键是建立关于a,b,c的三个方程.一是,二是是偶函数;三是.
（2）令，本题可转化为在上的最小值小于零即可.
解：（I），
∵在上是减函数，在上是增函数，
∴， ()
由是偶函数得：，
又在处的切线与直线垂直，，
代入()得：即. 5分
（II）由已知得：若存在，使，即存在，使.
设，
则，
令＝0，∵，∴，
当时，，∴在上为减函数，
当时，，∴在上为增函数，
∴在上有最大值.
又，∴最小值为.
于是有为所求. 12分
17.已知，则一个符合条件的函数表达式为______
【答案】
【解析】解：因为已知，则一个符合条件的函数表达式为y=x3,故答案为
18.已知函数f（x）=2x满足f（m）·f（n）=2，则m n的最大值为______
【答案】
【解析】
19.若函数同时具备以下三个性质：①是奇函数；②的最小正周期为；③在
上为增函数，则的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】为偶函数，A不符合；
为奇函数且最小正周期为，当时，，此时单调递减，B不符合；
，则，C不符合；
为奇函数且最小正周期为，当时，，此时单调递增，D符合，故选D
20.对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
21.下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是 ( )
A．(x+1)B．x+C．2x D．2-x
【答案】D
【解析】分析：分别对各选项函数求出函数值f（x+1）和f(x)，找出满足条件f(x+1)= f(x)的函数．
解答：解：对于A，f（x+1）=，f(x)=不满足条件．
对于B，f(x+1)=x+，f(x)=x+不满足条件
对于C，f（x+1）=2x+1，f(x)=2x不满足条件
对于D， f（x+1）=2-x-1，f(x)=2-x-1满足条件
故选D．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数解析式求函数的函数值，同时考查了计算能力，属于基础题．
22.(本题满分12分) 已知函数的图象与函数的图象关于点A
（0，1）对称.（1）求函数的解析式（2）若=+，且在区间（0，
上的值不小于，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）设图象上任一点坐标为，点关于点A（0，1）
的对称点在的图象上………… 3分
即…… 6分
（2）由题意，且
∵（0，∴，即，………… 9分
令，（0，，，
∴（0，时，…11′∴……………… 12分
方法二：，
（0，时，
即在（0，2上递增，∴（0，2时，∴
【解析】略
23.(12分)(2010·徐州模拟)已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．
【答案】解设g(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[g(x)]＝(ax＋b)2－2(ax＋b)＋1
＝a2x2＋(2ab－2a)x＋b2－2b＋1＝4x2.
∴g(x)＝2x＋1或g(x)＝－2x＋1.
【解析】略
24.已知偶函数的图像关于直线对称，且时，, 则
时，函数的解析式为__________.
【答案】
【解析】略
25.设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，
（1）求函数，的解析式；
（2）求的极小值；
（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。

【答案】（1）。

（2）
（3）存在这样的实常数和，且。

【解析】解：（1）由已知得，
则，从而，∴…………………………………………2分
∴，。

由得，解得。

………………………………4分
（2），
求导数得。

…………6分
在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为。

……8分
（3）因与有一个公共点(1,1),
而函数在点(1,1)的切线方程为……………………9分
下面验证都成立即可。

由，得，知恒成立。

设，即，
求导数得，
在(0,1)上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以恒成立。

故存在这样的实常数和，且。

…………………12分
26.已知有穷数列A：（）.定义如下操作过程T：从A中任取两项,将
的值添在A的最后，然后删除,这样得到一系列项的新数列A
1
(约定:一个数也视作
数列)；对A
1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列项的新数列A
2
，如此经过次操
作后得到的新数列记作A
k .设A：,则A
3
的可能结果是……………………………（）
A．0；B．；C．；D．.
【答案】B
【解析】因为是单选题，可用排除法，逐一试
验．
27.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=（x∈R），Ｐ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）是函数ｙ＝ｆ(x)图像上两
点，且线段Ｐ1Ｐ2中点Ｐ的横坐标为。

（１）求证Ｐ的纵坐标为定值；（4分）
（２）若数列｛｝的通项公式为＝ｆ()(ｍ∈Ｎ，ｎ＝１,２,３,…,ｍ），求数列｛｝的
前ｍ项和；（5分）
（３）若ｍ∈Ｎ时，不等式＜横成立，求实数a的取值范围。

（3分）
【答案】（1）略
（2）（３ｍ－１）
（3）
【解析】解答：（１）由＝，知ｘ＋ｘ＝１，
则ｙ＋ｙ＝＋＝…＝故＝。

-------4分
（２）已知Ｓ＝ｆ()+ｆ()+ｆ()+…+ｆ()+ｆ()
易证ｆ()+ｆ()＝，ｆ（１）＝ ----------------6分
前ｍ－１项逆序相加２Ｓ＝［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］+…+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］
＝（３ｍ－１） ------------9分
（３）＜ａ（－）＜０依题意知对任意ｍ∈Ｎ恒成立，显然ａ≠０，（Ⅰ）当ａ＜０时，显然－＞０，则ａ＜０，
当ｍ取偶数时，显然不成立，故此时不合题意 ---------10分
（Ⅱ）当ａ＞０时，ａ＞０，则需－＜０，解得ａ＞＝１＋，ｍ∈Ｎ时，单调递减，故１＋≤，故此时ａ＞．
综上所述：ａ＞。

-----------12 分
28.（本小题满分15分）
若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且f(x)极小值＝f(－)＝－．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）f(x)＝－x3＋x
（2）f(x)max＝
（3）实数k的取值范围是(0，)]
【解析】解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
∴f /(x)＝3ax2＋c，则
故f(x)＝－x3＋x；………………………………5分
（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，
如图所示，
当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；
当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，
当m≥时，f(x)max＝f()＝．
故f(x)max＝．………………10分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，则0＜t≤k2，
故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2]
当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合
当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，
必须，
故实数k的取值范围是(0，)]．………………15分
29.已知函数，则（）
A．8B．9C．11D．10
【答案】C
【解析】略
30.已知映射．设点，，点是线段上一动点，
．当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点从开始运动，直到点结束，的方程，由于，则，由点在线段可得，按照映射得，，
，，，
，，故，
点对应的点所经过的路线长度为弧长．
【考点】映射的概念和函数的性质．。