2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 Word版含答案

第六节正弦定理、余弦定理
[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理正弦定理余弦定理
内容
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R.
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝c2＋a2－2ca cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，
c＝2R sin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin
C；
(3)
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝
a
sin A＝
2R.
cos A＝
b2＋c2－a2
2bc；
cos B＝
c2＋a2－b2
2ac；
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab
(1)S＝1
2a·h a(h a表示边a上的高)；
(2)S＝1
2ab sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A；
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[常用结论]
1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；
c＝b cos A＋a cos B.
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C.
4．角平分线定理：
在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则AB
AC ＝BD DC.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. ()
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．
()
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)×
二、教材改编
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π
6，B＝π4，
a＝1，则b＝()
A．2B．1
C. 3
D. 2
D[由
a
sin A
＝b
sin B
得b＝a sin B
sin A
＝
sin
π
4
sin
π
6
＝2
2×2＝ 2.]
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，
∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b.
∴此三角形有两解．]
3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为．
等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝π
2
，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于．23[因为
23
sin 60°
＝4
sin B
，所以sin B＝1，所以B＝90°，
所以AB＝2，
所以S△ABC＝1
2×2×23＝2 3.]
考点1利用正、余弦定理解三角形问题
解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及
a
sin A
＝b
sin B
＝c
sin C
，可先求
出角C 及b ，再求出c .
(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C .
(3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C .
(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝b
sin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c
sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝b
sin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．
(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已
知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b
c ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .
①求A ；
②若2a ＋b ＝2c ，求sin C . (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，
∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴
b c ＝6. 故选A.]
(2)[解] ①由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即
62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.
解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角
变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
[教师备选例题]
(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫B －π6.
(1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B ， 可得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B －π6，
得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B －π6，
即sin B ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B －π6，
可得tan B ＝ 3.
又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π
3.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π
3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.
由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.
因为a ＜c ，故cos A ＝
2
7
. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝43
7， cos 2A ＝2cos 2
A －1＝1
7，
所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝33
14.
1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝ .
3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b －cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.]
2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝7
2，则BC ＝ . 9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，
在△ADC 中，72
＝x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
722
－2x ×72cos α， ① 在△ABD 中，42
＝x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
722
－2x ×72cos(π－α)， ②
①＋②得x ＝9
2，∴BC ＝9.]
3．(2019·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.
(1)求边长a ；
(2)求AB 边上的高CD 的长． [解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，
由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)2
2a (a ＋2)，即a 2－a
－6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.
(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，
所以CD ＝ab sin ∠ACB c ＝3×5×3
2
7＝
153
14， 即AB 边上的高CD ＝153
14. 法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3
sin A ＝7sin ∠ACB
＝7
sin 120°，
即sin A ＝33
14，
在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝153
14， 即AB 边上的高CD ＝153
14.
考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A
＝0
，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解](1)由已知条件可得tan A＝－3，A∈(0，π)，所以A＝
2π
3
，在△ABC中，
由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos 2π
3
，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝π2，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π
6
，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为1
2AB·AD·sin
π
6
1
2AC·AD
＝1，又△ABC的面积为
1
2×4×2sin∠BAC＝23，
所以△ABD的面积为 3.
法二：由余弦定理得cos C＝2
7，
在Rt△ACD中，cos C＝AC
CD
，
所以CD＝7，所以AD＝3，DB＝CD＝7，
所以S△ABD＝S△ACD＝1
2×2×7×sin C＝7×3
7
＝ 3.
法三：∠BAD＝π
6，由余弦定理得cos C＝2
7
，
所以CD ＝7，所以AD ＝3， 所以S △ABD ＝1
2×4×3×sin ∠DAB ＝ 3.
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意
求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
[教师备选例题]
已知△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°.
(1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．
[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin ∠ACB ＝33，所以sin ∠ACB ＝1
2，∠ACB ＝30°或150°，
又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.
(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝105°，
由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝AC sin ∠ADC ，
所以CD ＝3＋3，
又∠ACD ＝180°－150°＝30°，
所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝3(3＋1)2
.
1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π
3，则△ABC 的面积为 ．
63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π
3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π
3＝6 3.
法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π
3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝1
2×23×6＝6 3.]
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；
(2)若△ABC 的面积S ＝a 2
4，求角A 的大小．
[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )
＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．
又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 2
4，
故有sin B sin C ＝12sin A ＝1
2sin 2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .
又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B .
当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；
当C －B ＝π2时，A ＝π4.
综上，A ＝π2或A ＝π4.
考点3 判断三角形的形状
判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
B [由正弦定理得sin B cos
C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，
∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，
即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .
∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，
即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．]
[母题探究]
1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．
[解] ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )，
∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．
[解]∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝1
2
，
又0＜C＜π，∴C＝π
3
，
又由2cos A sin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A
sin B＝
a
c，(b
＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是()
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
C[因为sin A
sin B
＝a
c
，所以a
b
＝a
c.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以
b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝bc
2bc
＝1
2.因为A∈(0，π)，所以A＝
π
3.所
以△ABC是等边三角形．]
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
a
sin B＋
b
sin A＝2c，
则△ABC的形状是()
A．等边三角形B．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而
sin A sin B ＋sin B
sin A ≥2sin A sin B ·sin B
sin A ＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin
C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．故选C.]。