七年级(下)数学 第11讲 全等三角形的概念和性质及判定

本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲
解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．
一、全等形、全等三角形及其相关的概念 （1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.
（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶
点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 如下图所示：
已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ． 对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．
全等三角形的概念性质和判定
内容分析
知识结构
模块一 全等三角形的概念和性质
知识精讲
A
B
C
D
E
F
- 2 -
二、全等三角形的数学语言：
三角形ABC 与三角形A′B′C′全等，记作△ABC ≌△A′B′C′，读作“三角形ABC 全等于三角形A′B′C′ ”． 三、全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等；
（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 四、全等三角形中应注意的问题：
（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； 五、画三角形：
确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素： ①两角及其夹边； ②两边及其夹角； ③三边.
【例1】 下列说法正确的是（ ）
A ．全等三角形是指形状相同的三角形
B ．全等三角形是指面积相等的三角形
C ．全等三角形的周长和面积都相等
D ．所有的等边三角形都全等
【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）
A ．形状相同
B ．周长相等
C ．面积相等
D ．全等
【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC
例题解析
2
1A
B
C
D
【例4】 下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是 （ ）
A ．已知两边和夹角
B ．已知两角和夹边
C ．已知两边和其中一边的对角
D ．已知三边
【例5】 练习画出下列条件的三角形：
（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=；
（2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；
（3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒；
（4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒．
【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等
三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【例7】 下列说法中错误的是（
）
A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角
B ．全等三角形的公共边也是对应边
C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点
D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边
- 4 -
【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，
若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为 （ ） A ．80° B ．100° C ．60° D ．45°
【例9】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，
14CD cm DF cm ==，．求：
（1）1∠的度数；（2）AC 的长．
【例10】 如图，在△ABC 中，∠ A ：∠B ：∠ACB =2：5：11，若将△ABC 绕点C 逆时
针旋转，使旋转前后的△A′B′C′中的顶点B′在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA′的度数．
【例11】 如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，
∠ACB =105°，∠CAD =10°，∠ADE =25°，求∠DFB 和∠AGB 的度数．
α3
21
A
B C
D
E
P
1
A
B
C
D
E
F
A
B
C
A′
B′
A B
C
D E
F G
本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应
相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．
【例12】 如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．
【例13】 如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD
相等吗?为什么?
【例14】 如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．
模块二 全等三角形的判定
知识精讲
例题解析
A
B
C
D
E
F
2
1
A
B C D
E
A
B
C
D
E
- 6 -
【例15】 如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．
【例16】 如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，
说明△ADE 与△CDF 全等的理由．
【例17】 如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；
（2）说明EO =FO 的理由．
【例18】 如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．
【例19】 如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．
（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2） 说明AB =CD 的理由； （3） 图中有哪几对全等三角形?
A
B
C
D
A
B
C D E
F
A
B
C
D E
F
O A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
F
【例20】 如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．
【例21】 如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理
由．
【例22】 如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．
【例23】 如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形
ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．
（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由； （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状．
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E A
B
C D
E
O
2
1
21
A B
C
D
E
Q
P A
B
C
D
E
M
N P
Q
- 8 -
【例24】 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连
接AF 、BD ．
（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．
【习题1】 下列命题中正确的是 （ ）
A ．全等三角形的高相等
B ．全等三角形的中线相等
C ．全等三角形的角平分线相等
D ．全等三角形对应角的平分线相等
【习题2】 如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘
米，DM =5厘米，∠DAM =39°，则AN = 厘米，NM =_________厘米，∠NAB = ．
随堂检测
A B
C
D
M
N
A
B
C
D E
F
【习题3】 如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，
（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据____________； （2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据____________； （3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_____________； （4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据_______．
【习题4】 如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =15°，∠DFB =90°，∠B =25°．
求∠E 和∠DGB 的度数．
【习题5】 如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、
DF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ．
【习题6】 已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC
于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ． 试说明：△AGE ≌△DAC ．
A
B
C
E
D
F
A
B
C D E
F
G A
B
C
D
E F
G
A
B
C
D
E F
G
- 10 -
【习题7】 在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．
（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由； （2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由．
【作业1】 如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，
则AD 的长为_________cm ．
【作业2】 如图，给出下列四组条件：
①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．
其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有 （ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A ．已知两边和夹角
B ．已知两角和夹边
C ．已知两边和其中一边的对角
D ．已知三边
【作业4】 已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，则DE =_______，
DF =_______，EF = _______．
课后作业
A
B
C D
E
F
A
B
C
D
P
O
A
B C
D
P O
A
B
C
D
【作业5】 如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．
（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由．
【作业6】 如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ， ∠D -∠E =20°，∠BAC =60°，
求∠C 的度数．
【作业7】 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别
与CD 、 CE 交于点M 、 N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；② CM =CN ；③ AC =DN ．其中正确的结论是 ，证明正确的结论．
【作业8】 如图，AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ．
试说明：DC ＝BE ，DC ⊥BE ．
A
B
C
D
E
A
B
C
D E
M N
A
B
C D
E
G
A
B
C
D
E
F。