MEMS振动陀螺闭环自激驱动的理论分析及数值仿真
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求解出了 M EMS 振动陀螺闭环自激驱动系统的起振条件以及幅度稳定条件的解析表达式 ,并进行了数值仿真验证 。在该闭 环驱动系统中 ,通过引入 PI 控制器消除了振动幅度控制的稳态误差 。仿真结果很好地吻合了理论分析 ,理论分析结果可用于 指导自激驱动系统的硬件实现 。
关键词 : 自激振荡 ;M EMS 陀螺 ;A GC ; PI 控制 中图分类号 :V241. 5 文献标识码 :A 文章编号 :100421699( 2008) 0821337206 M EMS 振动陀螺的基本工作原理是建立在科 氏效应的基础上的[ 1 ] 。陀螺的一个重要的性能指标 就是标度因子 ,也就是每单位角速度输入变化量对 应的陀螺输出信号大小 。由相关的理论分析
X′ ( t) = - a( t) ω ( t) ) + a ′ ( t) co s (ω d sin (ω dt + < dt +
<( t) ) - a(t) < ′ ( t) sin (ω ( t) ) dt + < 为[5 , 7 ] ω ω a′ ( t) cos ( ( t) ) - a( t) < ′ ( t) sin ( ( t) ) = 0 dt + < dt + < 结合式 ( 5) 对式 ( 4) 进行微分 X″ ( t) = - a ′ ( t) ω ( t) ) d sin (ω dt + < a( t) ω ′ ( t) ) co s (ω ( t) ) d (ω d + < dt + <
ωd t + <( t) ) = 0 ( t) ) - < ( t) a ( t) sin ( a′ ′ ( t) co s ( w d t + <
图1 陀螺闭环自激驱动系统结构
Md ( X
n ( t)
+
ωd
Qd
ωd t + <( t) ) = a′ ( t) ) + < ′ ( t) a ( t) co s ( dt + < ( t) sin (ω - a( t) B sin (ωd t + <( t) ) 2 ωd t + <( t) ) a′ ( t) = - a( t) B sin ( ωd t + <( t) ) co s (ωd t + <( t) ) < ′ ( t) = - B sin (
基金项目 : 电子预研项目资助 ( 微型陀螺信号读出与处理电路) ( 51308050201) 收稿日期 :2008201225 修改日期 :2008203215
1338
传 感 技 术 学 报
( t) + M d ( X″
2008 年
( t) + ω ( t) X′ d X ( t) ) = K( V ref - A ) X′
当反馈驱动力 F 的频率与驱动轴谐振频率不等或是 陀螺参数发生变化时 , 驱动轴振动速度的幅度和相 位就会发生变化 , 我们定义 X ( t) = a( t) co s (ω ( t) ) dt + <
( 3)
其中 a( t) 和 <( t) 分别表示振动位移的幅度和相位 , 相 对于振动速度 X ( t) 是两个缓变参数 。 对式 ( 3) 进行 微分
1 sin (ω t ) co s (ω t ) d t = 0 ∫ 1 1 sin (ω t ) d t = co s (ω t ) d t = T∫ T∫ 1 2 | sin (ω t ) | d t = π T∫
T
0
d d T T
的增益与增益控制电压之比 ( 在这里假定 V GA 的 增益与控制电压成线性比例关系 ) ,τ为振动速度 的幅度检测电路中低通滤波器的时间常数 , K P 和
MEMS 振动陀螺闭环自激驱动的理论分析及数值仿真 3
王展飞 ,鲁文高 ,李 峰 ,李志宏 3
( 北京大学微电子学研究院微米/ 纳米加工技术国家重点实验室 ,北京 100871)
摘 要 : 对采用 A GC ( auto matic gain cont rol) 控制实现的陀螺闭环自激驱动系统进行了理论分析 ,利用平均技术和相平面法
a( t) 1 = ( V ref -
1339
( 13)
方程组 ( 9) 描述的是一个非线性系统 ( 系统变 量为 a( t) 和 A ) , 要讨论该系统的稳定性 , 首先求解 出系统平衡点 ( 也即相平面上的奇点) ω K(V ref - A ) d 1 1 ) =0 ( t) = a ′ a( t) B = a( t) ( 2 2 Qd Md
K I 分别为 PI 控制器中比例放大器的增益和积分
2
T
0
d
2
0
d
1 2
器的系数 。 由于方程组 ( 1 ) 所描述的系统是一个非线性 系统 , 要求解出解析解非常困难 。 为了简化分析 , 首先我们假定 K p = 1 , K I = 0 , 也即不考虑 PI 控 制器 , 则图 1 所示的系统可以用下面的方程组描 述:
1 ( ( t) ) | - A ) A′= | - K1 a( t) ωd sin (ω dt + <
X′ ( t) + ω ( t) d X ( t) ) = KV C X ′
2
V′ KPA ′ + Kl ( V ref - A ) C = A′=
( 1)
1 ( ( t) | - A ) | K1 X′ τ
T
0
d
a′ ( t) = ( t) = 0 < ′
ω K ( V ref - A ) d 1 1 a( t) B = a( t) ( 2 2 Qd Md
( 9)
A′=
1 (2 K1 a( t) ω d - A) τ π
第8期
王展飞 ,鲁文高等 :M EMS 振动陀螺闭环自激驱动的理论分析及数值仿真
术 学 报
CHIN ES E J OU RNAL O F S ENSORS AND ACTUA TORS
Vol . 21 No. 8 Aug . 2008
Theoretical Analysis and Numerical Simulation of Closed2Loop Self2Oscillation System f or MEMS Vibratory Gyroscopes 3
( 4)
由于 a( t) 和 <( t) 为缓变参数 , 因此我们可以近似认
( 5)
( 6)
将式 ( 3) 、 式 ( 4) 和式 ( 6) 代入方程组 ( 2) 可以得到 ωd K ( V ref - A ) ) ] sin (ω [ - a′ ( t) ω a( t) ω d d ( dt +
Qd Md ( 7) <( t) ) + ( - a( t) ωd <′ ( t) ) co s (ω ( t) ) = 0 dt + < ωd K ( V ref - A ) 令B = , 联立式 ( 5 ) 和式 ( 7 ) Qd Md
可
知 ,陀螺的标度因子与其驱动轴振动速度的幅度成 正比 ,因此保持陀螺驱动轴振动速度幅度的稳定性 对于提高陀螺整体性能非常重要 。 为了保证陀螺驱动轴的振幅稳定 , 需要对陀螺 进行闭环控制
[3 ]
。闭环驱动控制的主要目的有两
个 : 保证陀螺始终能够在其在驱动轴的谐振频率上 振动 ; 保证陀螺振动幅度的稳定 。常见的陀螺闭环 驱动系统大致可以分为两类 : 双闭环驱动[ 425 ] ( 幅度 控制环路和相位控制环路) 和单闭环驱动 ( A GC 非
]
( 8)
其 中 : K = K1 3 K3 3 KV GA , KV GA ( V c ) = KV GA 3 V c ,
V C 为 V GA 的增益控制电压 , K1 为振动速度检测
τ
电路的输出与陀螺驱动轴振动速度的幅度之比 ,
K3 为静电反馈力与反馈电压之比 , KV GA 为 V GA
因为 a( t) 和 <( t) 相对于 X ( t) 来说是两个缓变参数 , 在 2π 一个周期 ( ) 内可近似认为 a( t) 和 <( t) 为常量 , 所以 ωd 在这里可以采用周期平均的方法对式 ( 8) 进行化简
[2 ]
线性控制环路 ) [ 627 ] 。两者的主要区别在于 , 单闭环 驱动的唯一输入为系统的噪声 , 陀螺在噪声干扰的 作用下自激起振 ,而双闭环驱动的驱动源为锁相环 的输出信号 。单闭环自激驱动具有起振速度快 、 系 统结构简单 、 有利于硬件实现等优点 ,因此本文主要 研究单闭环自激驱动系统 。 文献 [ 5 ] 和 [ 7 ] 采用微扰理论 , 并利用周期平均 和相平面技术对单闭环自激驱动系统进行了理论分 析 ,但是为了简化分析 , 文献 [ 7 ] 中没有考虑比例积 分控制器 ( PI : p roportio nal and integral ) 对整个闭 环系统稳定性的影响 。本文将采用与文献 [ 5 ] 和 [ 7 ] 类似的分析方法并考虑 PI 控制器的影响 ,对振动陀 螺闭环自激驱动系统进行理论分析 , 得到了系统能
Abstract :We analyze self2o scillatio n system wit h A GC ( auto matic gain co nt rol ) for M EMS vibratory gyro2 scopes using averaging and p hase2plane techniques , and p resent analytical equatio ns for system design. Numerical simulatio ns are implemented , and t he simulatio n result s show a good agreement wit h t he analyt 2 ical result s. In o ur self2Oscillatio n drive system , t he stable error of t he o scillatio n amplit ude is eliminated by t he PI co nt roller . The analytical equatio ns can be used to direct t he design of t he clo sed2loop drive sys2 tem in hardware. Key words :Self2Oscillatio n , M EMS Gyro scope , A GC ; PI co nt roller EEACC :7630
W A N G Z han2f ei , L U W en2g ao , L I Fen g , L I Z hi2hon g
3
( I nstit ute of Microelect ronics , N ational Key L aboratory of M icro/ N ano Fabrication Technolog y , Peki n g Uni versit y , B ei j i ng 100871 , Chi na)
够稳定自激起振的条件 , 并对系统进行了数值仿真 验证 。
ω d
Qd
2
1 闭环自激驱动的系统结构及其理论
1 ( A′= | K1 X′ ( t) | - A )
(2)
τ
分析
陀螺闭环自激驱动系统的结构如图 1 所示 , 系 统组成一个 A GC 环路 。首先检测驱动轴输出的振 动速度 ,然后经过可变增益放大器 V GA ( Variable Gain A mplifier ) 和电压/ 静电力转换器 ( F/ V ) 两级 放大后反馈到驱动轴的输入 , 形成一个正反馈以保 证系统起振 。为了对振动幅度进行控制 , 在闭环系 统中引入了一个由振动速度幅度检测 、 PI 控制器和 V GA 组成的负反馈机制 : 当振动速度的幅度 ( 转换 成电压后的幅度值) 大于参考值电压 V ref 时 , 减小正 反馈环路中 V GA 的增益以减小反馈的静电驱动力 Ff ,从而减小振动速度的幅度 ; 反之增加 V GA 的增 益 ,以增加振动速度的幅度 ,最终振动速度的幅度稳 定在 V ref 。 图 1 所示的系统在时域可以用下面一组方程进 行描述 。
关键词 : 自激振荡 ;M EMS 陀螺 ;A GC ; PI 控制 中图分类号 :V241. 5 文献标识码 :A 文章编号 :100421699( 2008) 0821337206 M EMS 振动陀螺的基本工作原理是建立在科 氏效应的基础上的[ 1 ] 。陀螺的一个重要的性能指标 就是标度因子 ,也就是每单位角速度输入变化量对 应的陀螺输出信号大小 。由相关的理论分析
X′ ( t) = - a( t) ω ( t) ) + a ′ ( t) co s (ω d sin (ω dt + < dt +
<( t) ) - a(t) < ′ ( t) sin (ω ( t) ) dt + < 为[5 , 7 ] ω ω a′ ( t) cos ( ( t) ) - a( t) < ′ ( t) sin ( ( t) ) = 0 dt + < dt + < 结合式 ( 5) 对式 ( 4) 进行微分 X″ ( t) = - a ′ ( t) ω ( t) ) d sin (ω dt + < a( t) ω ′ ( t) ) co s (ω ( t) ) d (ω d + < dt + <
ωd t + <( t) ) = 0 ( t) ) - < ( t) a ( t) sin ( a′ ′ ( t) co s ( w d t + <
图1 陀螺闭环自激驱动系统结构
Md ( X
n ( t)
+
ωd
Qd
ωd t + <( t) ) = a′ ( t) ) + < ′ ( t) a ( t) co s ( dt + < ( t) sin (ω - a( t) B sin (ωd t + <( t) ) 2 ωd t + <( t) ) a′ ( t) = - a( t) B sin ( ωd t + <( t) ) co s (ωd t + <( t) ) < ′ ( t) = - B sin (
基金项目 : 电子预研项目资助 ( 微型陀螺信号读出与处理电路) ( 51308050201) 收稿日期 :2008201225 修改日期 :2008203215
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传 感 技 术 学 报
( t) + M d ( X″
2008 年
( t) + ω ( t) X′ d X ( t) ) = K( V ref - A ) X′
当反馈驱动力 F 的频率与驱动轴谐振频率不等或是 陀螺参数发生变化时 , 驱动轴振动速度的幅度和相 位就会发生变化 , 我们定义 X ( t) = a( t) co s (ω ( t) ) dt + <
( 3)
其中 a( t) 和 <( t) 分别表示振动位移的幅度和相位 , 相 对于振动速度 X ( t) 是两个缓变参数 。 对式 ( 3) 进行 微分
1 sin (ω t ) co s (ω t ) d t = 0 ∫ 1 1 sin (ω t ) d t = co s (ω t ) d t = T∫ T∫ 1 2 | sin (ω t ) | d t = π T∫
T
0
d d T T
的增益与增益控制电压之比 ( 在这里假定 V GA 的 增益与控制电压成线性比例关系 ) ,τ为振动速度 的幅度检测电路中低通滤波器的时间常数 , K P 和
MEMS 振动陀螺闭环自激驱动的理论分析及数值仿真 3
王展飞 ,鲁文高 ,李 峰 ,李志宏 3
( 北京大学微电子学研究院微米/ 纳米加工技术国家重点实验室 ,北京 100871)
摘 要 : 对采用 A GC ( auto matic gain cont rol) 控制实现的陀螺闭环自激驱动系统进行了理论分析 ,利用平均技术和相平面法
a( t) 1 = ( V ref -
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( 13)
方程组 ( 9) 描述的是一个非线性系统 ( 系统变 量为 a( t) 和 A ) , 要讨论该系统的稳定性 , 首先求解 出系统平衡点 ( 也即相平面上的奇点) ω K(V ref - A ) d 1 1 ) =0 ( t) = a ′ a( t) B = a( t) ( 2 2 Qd Md
K I 分别为 PI 控制器中比例放大器的增益和积分
2
T
0
d
2
0
d
1 2
器的系数 。 由于方程组 ( 1 ) 所描述的系统是一个非线性 系统 , 要求解出解析解非常困难 。 为了简化分析 , 首先我们假定 K p = 1 , K I = 0 , 也即不考虑 PI 控 制器 , 则图 1 所示的系统可以用下面的方程组描 述:
1 ( ( t) ) | - A ) A′= | - K1 a( t) ωd sin (ω dt + <
X′ ( t) + ω ( t) d X ( t) ) = KV C X ′
2
V′ KPA ′ + Kl ( V ref - A ) C = A′=
( 1)
1 ( ( t) | - A ) | K1 X′ τ
T
0
d
a′ ( t) = ( t) = 0 < ′
ω K ( V ref - A ) d 1 1 a( t) B = a( t) ( 2 2 Qd Md
( 9)
A′=
1 (2 K1 a( t) ω d - A) τ π
第8期
王展飞 ,鲁文高等 :M EMS 振动陀螺闭环自激驱动的理论分析及数值仿真
术 学 报
CHIN ES E J OU RNAL O F S ENSORS AND ACTUA TORS
Vol . 21 No. 8 Aug . 2008
Theoretical Analysis and Numerical Simulation of Closed2Loop Self2Oscillation System f or MEMS Vibratory Gyroscopes 3
( 4)
由于 a( t) 和 <( t) 为缓变参数 , 因此我们可以近似认
( 5)
( 6)
将式 ( 3) 、 式 ( 4) 和式 ( 6) 代入方程组 ( 2) 可以得到 ωd K ( V ref - A ) ) ] sin (ω [ - a′ ( t) ω a( t) ω d d ( dt +
Qd Md ( 7) <( t) ) + ( - a( t) ωd <′ ( t) ) co s (ω ( t) ) = 0 dt + < ωd K ( V ref - A ) 令B = , 联立式 ( 5 ) 和式 ( 7 ) Qd Md
可
知 ,陀螺的标度因子与其驱动轴振动速度的幅度成 正比 ,因此保持陀螺驱动轴振动速度幅度的稳定性 对于提高陀螺整体性能非常重要 。 为了保证陀螺驱动轴的振幅稳定 , 需要对陀螺 进行闭环控制
[3 ]
。闭环驱动控制的主要目的有两
个 : 保证陀螺始终能够在其在驱动轴的谐振频率上 振动 ; 保证陀螺振动幅度的稳定 。常见的陀螺闭环 驱动系统大致可以分为两类 : 双闭环驱动[ 425 ] ( 幅度 控制环路和相位控制环路) 和单闭环驱动 ( A GC 非
]
( 8)
其 中 : K = K1 3 K3 3 KV GA , KV GA ( V c ) = KV GA 3 V c ,
V C 为 V GA 的增益控制电压 , K1 为振动速度检测
τ
电路的输出与陀螺驱动轴振动速度的幅度之比 ,
K3 为静电反馈力与反馈电压之比 , KV GA 为 V GA
因为 a( t) 和 <( t) 相对于 X ( t) 来说是两个缓变参数 , 在 2π 一个周期 ( ) 内可近似认为 a( t) 和 <( t) 为常量 , 所以 ωd 在这里可以采用周期平均的方法对式 ( 8) 进行化简
[2 ]
线性控制环路 ) [ 627 ] 。两者的主要区别在于 , 单闭环 驱动的唯一输入为系统的噪声 , 陀螺在噪声干扰的 作用下自激起振 ,而双闭环驱动的驱动源为锁相环 的输出信号 。单闭环自激驱动具有起振速度快 、 系 统结构简单 、 有利于硬件实现等优点 ,因此本文主要 研究单闭环自激驱动系统 。 文献 [ 5 ] 和 [ 7 ] 采用微扰理论 , 并利用周期平均 和相平面技术对单闭环自激驱动系统进行了理论分 析 ,但是为了简化分析 , 文献 [ 7 ] 中没有考虑比例积 分控制器 ( PI : p roportio nal and integral ) 对整个闭 环系统稳定性的影响 。本文将采用与文献 [ 5 ] 和 [ 7 ] 类似的分析方法并考虑 PI 控制器的影响 ,对振动陀 螺闭环自激驱动系统进行理论分析 , 得到了系统能
Abstract :We analyze self2o scillatio n system wit h A GC ( auto matic gain co nt rol ) for M EMS vibratory gyro2 scopes using averaging and p hase2plane techniques , and p resent analytical equatio ns for system design. Numerical simulatio ns are implemented , and t he simulatio n result s show a good agreement wit h t he analyt 2 ical result s. In o ur self2Oscillatio n drive system , t he stable error of t he o scillatio n amplit ude is eliminated by t he PI co nt roller . The analytical equatio ns can be used to direct t he design of t he clo sed2loop drive sys2 tem in hardware. Key words :Self2Oscillatio n , M EMS Gyro scope , A GC ; PI co nt roller EEACC :7630
W A N G Z han2f ei , L U W en2g ao , L I Fen g , L I Z hi2hon g
3
( I nstit ute of Microelect ronics , N ational Key L aboratory of M icro/ N ano Fabrication Technolog y , Peki n g Uni versit y , B ei j i ng 100871 , Chi na)
够稳定自激起振的条件 , 并对系统进行了数值仿真 验证 。
ω d
Qd
2
1 闭环自激驱动的系统结构及其理论
1 ( A′= | K1 X′ ( t) | - A )
(2)
τ
分析
陀螺闭环自激驱动系统的结构如图 1 所示 , 系 统组成一个 A GC 环路 。首先检测驱动轴输出的振 动速度 ,然后经过可变增益放大器 V GA ( Variable Gain A mplifier ) 和电压/ 静电力转换器 ( F/ V ) 两级 放大后反馈到驱动轴的输入 , 形成一个正反馈以保 证系统起振 。为了对振动幅度进行控制 , 在闭环系 统中引入了一个由振动速度幅度检测 、 PI 控制器和 V GA 组成的负反馈机制 : 当振动速度的幅度 ( 转换 成电压后的幅度值) 大于参考值电压 V ref 时 , 减小正 反馈环路中 V GA 的增益以减小反馈的静电驱动力 Ff ,从而减小振动速度的幅度 ; 反之增加 V GA 的增 益 ,以增加振动速度的幅度 ,最终振动速度的幅度稳 定在 V ref 。 图 1 所示的系统在时域可以用下面一组方程进 行描述 。