河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

ìí x î
-
1 2
<
x
<
-
1 3
ü ý þ
，则不等式
x2
-
bx
-
a
³
0
的解
集为（ ）
A．{x | x £ -3 或 x ≥ -2}
B．{x | -3≤≤x -2}
C．{x | 2 £ x £ 3}
D．{x | x £ 2 或 x ³ 3}
4．若函数 f (x) = mx2 - 2x +1 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是（ ）
试卷第41 页，共33 页
(1)设 AD 的长为 x 米，试写出总造价 Q （单位：元）关于 x 的函数解析式； (2)问：当 x 取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 22．已知关于 x 的不等式 ax2 x 1 a 0 . （1）当 a = 2 时，解关于 x 的不等式； （2）当 a Î R 时，解关于 x 的不等式.
【详解】当 m = 0 时， f (x) =
-2x
+
1
的定义域为
æ çè
-¥,
1 2
ù úû
，不符合题意；
当
m
¹
0
时，依题意得
mx2
-
2x
+1
³
0
在
R
上恒成立，则
ìm > íîΔ4=
0 4-
m0£
，
解得 m ³ 1 . 故选：D 5．C 【分析】全称命题的否定是特称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集 关系. 【详解】全称命题的否定为特称命题，排除 BD 选项，
其中
x
1 -
2
<
0
可解得
x
<
2
，
x
<
2
的否定应是
x
³
2
，
A
选项中，
x
1 -
2
³
0
可解得
x
>
2
，故
A
选项错误，C
选项正确.
故选：C 6．C
【分析】先由函数 f ( x) 的定义域求出 f ( x - 3) 的定义域，再由 x>4 可得答案.
【详解】因为函数 f ( x) 的定义域为 (0, 2) ，所以 f ( x - 3) 满足 0 < x - 3 < 2 ，即 3 < x < 5 ，
A．9
B．8
C．7
D．6
2．设全集 U 是实数集 R，M={x|x>2 或 x<-2}，N={x|x≥3 或 x<1}都是 U 的子集，则图
中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x|-2≤x<1} C．{x|1<x≤2}
B．{x|-2≤x≤2} D．{x|x<2}
3．已知不等式
ax2
+
bx
-1
>
0 的解集为
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11．取整函数：[x] = 不超过 x 的最大整数，如[1.2] = 1,[3.9] = 3,[-1.5] = -2 ，取整函数
在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数” 进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ）
A． "x Î R,[2x] = 2[x]
=
´
æ çè
-
1 3
ö ÷ø
=
-
b a
-1
a
，解得
a
=
-6, b
=
-5
.
所以不等式 x2 - bx - a ³ 0 可化为 x2 + 5x + 6 ³ 0 ，其解集为{x | x £ -3 或 x ≥ -2}. 故选：A
答案第11 页，共22 页
4．D 【分析】当 m = 0 时，不符合题意；当 m ¹ 0 时，根据二次函数的图象列式可得结果.
B．若 M = (-1,3) ，则关于 x 的不等式 -cx2 - bx - b > cx + 4a 的解集为
(-¥,
-2)
U
æ çè
1 3
,
+¥
ö ÷ø
C．若 M = {x | x ¹ x0, x0 为常数} ，且 a < b ，则 a + 4c 的最小值为 2 + 2 2 b-a
D．若 a < 0, ax2 + bx + c < 0 的解集 M 一定不为 Æ
三、填空题 13．若“ x< - 2 ”是“ x £ a ”的必要不充分条件，则 a 的取值范围是 ．
14．已知集合
A
=
ìía, î
a b
,
-3a
+
büý þ
，
B
=
ìíb, î
b 2a
,
-1üý þ
，若1Î
A
I
B
，
2
Î
(ðR A)
I
B
，则
a+b= .
15．已知 -1 £ a + b £ 1, -1 £ a - b £ 1 ，求 2a + 3b 的取值范围
（2）若 2x2 - ax +1 ³ 0 对任意的 x Î(0, +¥) 恒成立，求实数 a 的最大值．
21．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花 园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成面积为 200 米 2 的 十字形区域，且计划在正方形 MNPK 上建一座花坛，其造价为 4200 元/米 2，在四个相 同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为 210 元/米 2，并在四个三角形 空地上铺草坪，其造价为 80 元/米 2.
故选：B． 2．A 【分析】根据图中阴影部分表示 x∈N 且 x∉M，得到 x∈N∩∁UM．再利用集合的基本运算 求解. 【详解】∵图中阴影部分表示：x∈N 且 x∉M， ∴x∈N∩∁UM． ∴ ∁ UM={x|-2≤x≤2}， ∴N∩∁UM={x|-2≤x<1}． 故选：A． 【点睛】本题主要考查 Ven 图以及集合的基本运算，属于基础题. 3．A
因为 t ³ 1，所以 x +1 ³ 1 ，即 x ³ 0 ，
所以 f ( x +1) = x2 + 3 ( x ³ 0) .
故选：D. 8．A
【分析】由题意，利用基本不等式求出
x
+
y 4
的最小值，问题等价于
m2
-
3m
<
(x
+
y 4
)min
，
求出不等式的解集即可．
【详解】若两个正实数
x
，
y
满足
4
x
+
（1）若 A È B = A ，求实数 a 的值； （2）若 A Ç C = C ，求实数 m 的取值范围. 19．已知函数 y = x2 - 2x 的定义域为集合 A，函数 y = x2 + 2x + m(x Î[-2, 2)) 的值域为 集合 B. (1)若 m = -3 ，求集合 A，B 及 A Ç B ； (2)若“ xÎ A ”是“ xÎ B ”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 20．已知关于 x 的函数 y= 2x2 - ax +1 ．(x∈R) （1）当 a = 3 时，求不等式 2x2 - ax +1 ³ 0 的解集；
B． $x Î R,[2x] = 2[x]
C． "x, y Î R,[x] = [ y], 则 x - y < 1
D． "x, y Î R,[x + y] £ [x] + [ y]
12．已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集为 M ，则下列说法错误的是（ ）
A． M = Æ ，则 a < 0, D < 0
试卷第51 页，共33 页
1．B
参考答案：
【分析】由条件分析集合 A 的元素的特征，确定满足条件的结合 A 即可.
【详解】因为{1, 2} Í A Í {1, 2,3, 4,5} ，所以 A = {1, 2} 或{1, 2,3} 或{1, 2, 4} 或{1, 2,5} 或
{1, 2,3, 4} 或{1, 2,3,5} 或{1, 2, 4,5} 或{1, 2,3, 4,5} ，即满足条件的集合 A 的个数为 8，
B．{m | m < -1或 m > 4}
C．{m -4 < m < 1}
D．{m | m < 0 或 m > 3}
二、多选题 9．下列四组函数，表示相同函数的一组是（ ）
A．
f
(x)
=
x2 x
x
，
g(x)
=
x
-1（
x
¹
0
）
B． f (x) = x2 ， g(x) = ( x)2
C． f (x) =x2 -2 ， g (t ) = t2 - 2
6．已知函数
f
( x) 的定义域为(0, 2) ，则函数 g ( x) =
f
( x - 3) 的定义域为（
x-4
）
A．(3, +¥)
B．{2, 4}
C． ( 4, 5)
D． {-2, 3}
( ) 7．已知 f x +1 = x + 3 ，则 f ( x +1) 的解析式为（ ）
A． f ( x +1) = x + 4( x ³ 0)
( ) 【详解】因为 f x +1 = x + 3 ，所以令 t = x +1, t ³ 1 ，则 x = (t -1)2 ，
所以 f (t ) = (t -1)2 + 3 = t2 - 2t + 4 (t ³ 1) ，
所以 f ( x +1) = ( x +1)2 - 2( x +1) + 4 = x2 + 3 ，
又函数 g ( x) =
f
(x - 3)
x-4
有意义，得
ì3 íî x
< -
x 4
< >
5 0
，解得
4
<
x < 5，
所以函数 g ( x) =
f
( x - 3) 的定义域为(4,5) .
x-4
故选：C
答案第21 页，共22 页
7．D
【分析】令 t = x +1,t ³ 1 ，利用换元法求出函数 f (t ) = t 2 - 2t + 4 (t ³ 1) ，从而直接代入即 可求出 f ( x +1) 的解析式.
D． f (x) = x + 1 × x - 1 ， g(x) = x2 -1 10．下列说法中正确的是（ ）
A．若 a > b ， c > 0 ，则 ac > bc -5 < a - b < 3
B．若 -2 < a < 4 ，1 < b < 3 ，则
C．若 a
>
b
>
0
，
m
<
0
，则
m a
<
m b
D．若 a > b ， c > d ，则 ac > bd
y
=
xy
，则
1 x
+
4 y
=
1
，
x
+
y 4
=
(
x
+
y 4
)(
1 x
+
4 y
)
=
2
+
y 4x
+
4x y
…2
+
2
y ·44x 4x y
=
，当且仅当 4x = y = 8 时取得等号，
不等式
x
+
y 4
>
m2
- 3m 恒成立，等价为 m2
- 3m
<
(x
+
y 4
)min
，
则 m2 - 3m < 4 ，解得 -1 < m < 4 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转
【分析】由
ax2
+
bx
-
1
=
0
的两根为
-
1 2
,
-
1 3
，得出
a, b
，再由一元二次不等式的解法得出答
案.
【详解】因为不等式
ax2
+
bx
-1
>
0
的解集为
ì í
x
î
-
1 2
<
x
<
-
1ü
3
ý þ
，
所以
ax 2
+
bx
-1
=
0
的两根为
-
1 2
,
-
1 3
，即
ìïïí ïïî-
1 2 1 2
+
æ èç
-
1 3
ö ø÷
．
16．已知
y
=
f
(x)
=
ì(1- a)x + 2a，x
í î
x
2，x
³
1
< 1的值域为 R，那么 a 的取值范围是
．
四、解答题
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17．已知函数 f ( x) = 2 + x + 1 的定义域为集合 A，集合
16 - x2
B = {x | m - 2 £ x £ 2m -1} ．
A． (0,1)
B．(1, +¥)
C．[0, +¥ )
D．[1, +¥)
5．若命题 p : "x ÎR,
1
Øp <0 ，则 ห้องสมุดไป่ตู้述准确的是（
）
x -2
A．
$x
Î
R,
x
1 -
2
³
0
B．
"x
Î
R,
x
1 -
2
³
0
C．
$x ÎR,
x
1 -2
>0
或
x
=
2
D． "x
Î
R,
x
1 -
2
>
0
或
x
=
2
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B． f ( x +1) = x2 + 3( x ³ 1)
C． f ( x +1) = x2 - 2x + 4( x ³ 1)
D． f ( x +1) = x2 + 3( x ³ 0)
8．若两个正实数
x,
y
满足 4x +
y
=
xy
，且不等式
x
+
y 4
>
m2
- 3m
m 恒成立，则实数
的
取值范围是（ ）