《复变函数》(西安交大)习题解答--第1章习题

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22
z ( 3 )2 ( 5 )2 34 ，z 位于第四象限，故
2
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arg z arctg 5 , ••Argz arctg 5 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
3） z 26 7i 7 13i
2i
2
•Re(z) 7 , ••Im(z) 13, •• z 7 13i,
13
a r gz a r c t2g, ••A r g z a r c t2g 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
2） z i 3i(1 i) 3 5 i
2
22
Re(z) 3 , ••Im(z) 5 , •• z 3 5 i,
4) i 8 4i 21 i .
解：1） 1 3 2i 3 2 i 3 2i 13 13 13
Re(z) 3 , ••Im(z) 2 , z 3 2 i ,
13
13
13 13
z
( 3 )2 ( 2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
,
z 位于第四象限，故
13 13
4. 证明
1） z 2 z z ;
2) z1 z2 z1 z2 ;
3) z1 z2 z1 z2 ;
4)

z1 z2


z1 z2
•, •z 2
0;
5) z z ;
6) Re(z) 1 (z z) , Im(z) 1 (z z ) .
2
2i
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第一章习题
1. 求下列复数 z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
1） 1 ; 3 2i
2） 1 3i ; i 1i
3） (3 4i)(2 5i) ; 2i
解：等式化简为 x 1 i( y 3) (1 i)(5 3i)
即 x 1 i( y 3) 2 8i 所以 x 1 2, ••y 3 8 ，解得 x=1 , y=11 .
3. 证明虚单位 i 有这样的性质， i i 1 i 。
证明： i i i i 1 , i 0 i 0 i i 证毕 1 i2
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z ( 7 )2 (13)2 5 29, z 在第三象限，故
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arg z arctg 26 , ••Argz arctg 26 (2k 1)••••(k 0,1,2,)
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7
4）因为 i 8 1, •i 21 i 所以 z 1 4i i 1 3i
Re(z) 1, ••Im(z) 3, ••• z 1 3i ，
z 12 (3)2 10 ， z 在第四象限，故 arg z arctg3, ••Argz arctg3 2k••••(k 0,1,2,)
2．当 x，y 等于什么实数时，等式 x 1 i( y 3) 1 i 成立？ 5 3i