计算方法各习题及参考答案

计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析
2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：
试构造⼀多项式()q x 通过下列点：
答案：54313
()()()3122
q x p x r x x x x x =-=-
++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：
表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．
答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．
2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．
2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数x
e 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过
61
102
-?．答案：需要143个插值节点．
2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()
3()h H x 是()f x 关于等距节点
01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n
-=
．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．
答案：()
4
43||()()||384
h M f x H x h ∞-≤．
第三章函数逼近
3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2
{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给
出平⽅误差．
答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为
-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，
⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为
0.1
22-1220
(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．
3.2 确定参数,a b c 和，使得积分
2
1
2
1
(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．
答案：810, 0, 33a b c ππ
=-
== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式
()p x ．
答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为3
2
3
()74
p x x x =++
． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．
答案：
236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤
3.5 求() (11)x
f x e x =-≤≤上的关于权函数
()x ρ=
的三次最佳平⽅逼近
多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．
答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，
32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．
第四章数值积分与数值微分
4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1
(1,2,3,4)n x dx n =?
，并与
精确值⽐较．
答案：计算结果如下表所⽰
4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++?
（２）
1
121
1
()[(1)2()3()]3
f x dx f f x f x -≈-++? （３）2
0()[(0)()][(0)()]2
h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?
答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．
4.3 设10h x x =-，确定求积公式
1
2300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?
中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．
答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6
()[]1440
f R f h η=，其中01(,)x x η∈．
4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分
30()h
I f x dx =?
的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453
(0)()8
h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4
h h I p x dx h f f h ==+?．
4.5 给定积分1
0sin x
I dx x =
（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过
31
102
-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？
（３）要求的截断误差不超过6
10-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111
|[]||()|()0.271102880288045
n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．
4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分1
0sin x
I dx x =?．要
求⽤事后误差估计法时，截断误不超过
31102-?和61
102
-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，
40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．
4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式
2
()()[()()][()()][]212b
a b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，
其中余项为 5(4)
()[](), (,)4!30
b a R f f a b ηη-=
∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式
02
0()[()()]12N
x N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，
其中 0121[()2()2()2()()]2
N N N h
T f x f x f x f x f x -=+++++ ，
⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．
4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2
214
x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．
4.9
确定⾼斯型求积公式
0011()()()x dx A f x A f x ≈+?
的节点0x ，1x 及系数0A ，
1A ．
答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式
00110
()()()x e f x dx A f x A f x +∞
-≈+?
的系数及节点分别为
0001 2 2A A x x =
=
=-=+
第五章解线性⽅程组的直接法
5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?
= ? ?-??
．答案： 11103312
03321133A -?? ? ?
=-
--
5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组
1234102050101312431701037x x x x
= ? ? ? ? ? ? ? ? ??
答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．
5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组
12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．
5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组
123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．
第六章解线性代数⽅程组的迭代法
６.１对⽅程12121
23879897
x x x x x x x -+=??
-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任
意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)
k x
+，使
(1)()3||||10
k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]T
x =．
６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组
121232
343163420412
x x x x x x x +=??
+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)
[0 0 0]T x
=迭代求解，使(1)()41
||||102
k k x x +-∞-<
．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*
3 2.16667x =-．
６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中
11122111221112
2A ?? ? ?
=
，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．
６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?
= ??? ? ??? ?-??????
，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅
法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．
答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．
６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n n
A a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯
－赛得尔⽅法求解⽅程组112
2
D AD x b -
-
=时对任意初始向量都收敛．
第七章⾮线性⽅程求根
例７.４对⽅程230x
x e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭
代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：
若取2
()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法
12
1, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，
*70.458960903x x ≈=-．
取
2
()x x ?=
，在[0,1上
满⾜收敛性条件，迭代序
列12
1, 0,1,2,k x k x k +=
= 在[0,1]中有惟⼀解．
取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为2
3x
e x =，取对数得2
ln(3)()x x x ?==．
满⾜收敛性条件，则迭代序列2
1ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取
0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．
例７.６对于迭代函数2
()(3)x x c x ?=+-，试讨论：
（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x
（２）c 取何值时收敛最快？
（３）取1,2
c =-()x ?
5
1||10k k x x -+-<．
答案：
（１）(c ∈时迭代收敛．
（２）c =时收敛最快．
（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰
表７.７
例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*
x 是()x ?的不
动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x
+==
=-?=-?-+?
⼆阶
收敛于*
x ．
例7.15 设2
()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解
()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．
答案：1()()p x f x =
'，3
1()
()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*
(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且
⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111
lim
2k k
k k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．
第⼋章矩阵特征值
8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知
5500 5.51031A -?? ?
=- ? ?-??
，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．
答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T
-；25λ≈-，对应的特征向量为
[5,10,5]
T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??
=-- -
的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈
(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为
(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．
8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21
()2
n p λλ=
+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．
答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．
8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]T
e =平⾏的向量．
答案：20
3/2/00001010/0T ??
- ?
=
--?
0.324 442 8400.486 664 262
00.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 9220010
0.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??
--
= ? ?
--
8.6 若532644445A -??
=- -
，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．
第九章微分⽅程初值问题的数值解法
9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题
0, 0<0.2(0)1
y y x y '+=≤??
=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过5
10-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==
9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2
, 0<0.4
(0)1
dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取
步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．
答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得
0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得
0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式
1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-
求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留
８位．
答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22
n n n n n n h h
y y hf x y f x y +=++
+，求解初值问题 , (0)y y y a
λλ'=-??
=?为实常数
绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2
h λ
≤．
9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式
(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,n
n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??
==
，
求解初值问题sin(), 01
(0)1
x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭
代收敛．答案：2
h e
<
时上述格式关于k 的迭代是收敛的．
9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为14
2,,33
a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．
9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dy
xy z y dx
x dz x y z z dx
=-≤
=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．
答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得
110.800 000z 2.050 000y =??
=? ， 11(0.1)0.801 500
(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659
(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??
≈=?。