大学微积分考试题及答案

大学微积分考试题及答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：
A. 增函数
B. 减函数
C. 先减后增函数
D. 先增后减函数
答案：A
2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无穷大
答案：B
3. 下列哪个函数是奇函数？
A. f(x) = x^2
B. f(x) = |x|
C. f(x) = x^3
D. f(x) = cos(x)
答案：C
4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：
A. 0
B. 1/2
C. 1/3
D. 1
答案：C
6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：
A. y = x^3 + C
B. y = e^x + C
C. y = sin(x) + C
D. y = ln(x) + C
答案：A
7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：
A. 0
B. 1
C. 2
D. e
答案：B
8. 以下哪个级数是收敛的？
A. ∑(-1)^n / n
B. ∑n^2
C. ∑(1/n)
D. ∑(1/n^2)
答案：D
9. 曲线y = ln(x)的拐点是：
A. x = 1
B. x = e
C. x = 0
D. 没有拐点
答案：D
10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？
A. e^x = ∑x^n
B. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!
C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / n
D. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!
答案：D
二、填空题（每题4分，共20分）
11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。

答案：x = 0, x = 3
12. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。

答案：e
13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是
______。

答案：e^e - e
14. 微分方程d^2y/dx^2 + y = 0的通解形式是______。

答案：y = C1 * cos(x) + C2 * sin(x)
15. 函数f(x) = x / (x^2 + 1)的最大值是______。

答案：1/2
三、解答题（共50分）
16. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，解得x = -1, x = 1。

由于f'(x)在x < -1和x > 1时为正，在-1 < x < 1时为负，所以f(x)在x = -1处取得最大值，在x = 1处取得最小值。

计算得f(-1) = 2，f(1) = -2。

17. （15分）计算定积分。