中考数学三轮冲刺-真题集训：知识点47 几何最值(pdf版,含答案)

一、选择题
1．（2019·长沙）如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +5
的最小值是
【 】
A
．
．
．D ．10
【答案】B
二、填空题
1．（2019·黄冈）如图，AC ，BD 在AB 的同侧，AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点.若∠CMD ＝120°，则CD 的最大值是（
）
【解析】将△CAM 沿CM 翻折到△CA ′M ，将△DBM 沿DM 翻折至△DB ′M ， 则A ′M ＝B ′M ，∠AMC ＝∠A ′MC ，∠DMB ＝∠DMB ′， ∵∠CMD ＝120°，
∴∠AMC +∠DMB ＝∠A ′MC +∠DMB ′＝60°，
∴∠A ′MB ′＝180°-（∠AMC +∠DMB +∠A ′MC +∠DMB ′）＝60°， ∴△A ′MB ′是等边三角形，
又∵AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点，
知识点47——
几何最值
∴A ′B ′＝A ′M ＝B ′M ＝AM ＝1
2AB ＝4，CA ′＝AC ＝2，DB ′＝DB ＝8，
又CD ≤CA ′+A ′B ′+DB ′＝2+4+8＝14.
三、解答题
1．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止，设△BEF 的面积为ycm 2，E 点的运动时间为x 秒．
（1）求证：CE ＝EF ；
（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值．
【解析】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，
∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM .， ∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF .
∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF .
（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD
， ∴0≤
x ≤.由题意，得
BE ＝2x ，∴BN ＝EN x .
由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10
x，
如图（1
）
，当0
≤
x
∴BF＝FN－BN＝10x x＝10－x. ∴y＝
1
2
BF·EN＝
1(10
2
−＝－2x2＋（0≤x；
如图（2）x≤
∴BF＝BN－FN x－（10x）＝x－10，
∴y＝
1
2
BF·EN＝
1
2
−＝2x2－x≤.
∴
2
2
2(0
2
x x
y
x x
−+≤≤
=
−<≤
（1）（2）
（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x2＋
25
4，
∵－2＜0，∴当x y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；
x≤y＝2x2－＝2
2(x－
25
4，
此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x
∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x
＝y 最大值＝50.
∴当x
＝BEF 面积的最大值是50.
25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择
如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC ，求证：BD ＝AD ＋CD . 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.
（2）类比探究
【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论.
【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.
图①
图②
B
图③
B
图④
B
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.
【思路分析】
（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD
（2）【探究1】数量关系为：BD
AD ＋CD
如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴ND
，由旋转全
等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BN
AD ＋CD
【探究2】数量关系为：BD ＝2AD
CD
如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP
，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD
CD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝
a
b
AD ＋c b CD
如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得
=BQ AB c CD AC b =，
=DQ BC a
AD AC b
=， ∴BQ ＝c
b CD ，BQ ＝
a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a
b
AD ＋c b CD
【解析】
（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD
（2）【探究1】数量关系为：BD
AD ＋CD
如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴ND
AD ，∠BAN ＝
答案图①
答案图②
B
∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BN
AD ＋CD
【探究2】数量关系为：BD ＝2AD
CD
如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，
∴
=tan 30AP AB
AD AC
=°，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BP
CD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD
（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝
a b AD ＋c b
CD 如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC a
AD AC b
=， ∴BQ ＝c
b CD ，BQ ＝
a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a b AD ＋c b
CD 2．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系x O y 中，矩形ABCD 的边AB =4，BC =6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.
(1)当∠O AD =30°时，求点C 的坐标；
(2)设AD 的中点为M ，连接O M 、MC ，当四边形 O MCD 的面积为
2
21
时，求O A 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时c os ∠O AD 的值.
答案图③
B
答案图④
B
第2题图 第2题备用图
第2题答图1 第2题答图2
【解析】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E .∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，∴∠CDE +∠AD O=90°，又∵∠O AD +∠AD O=90°，∴∠CDE =∠O AD =30°.
在R t △CED 中，CE =
2
1CD =2，∴DE =32242
222=−=−CE CD ; 在R t △O AD 中，∠O AD =30°，∴O D =2
1
AD =3.∴点C 的坐标为(2，323+).
(2)∵M 为AD 的中点，∴DM =3，6=DCM S △. 又∵2
21
=
OMCD S 四边形，∴29=ODM S △，∴9=OAD S △.
设O A =x ，O D =y ，则 ==+92
136
22xy y x ，∴xy y x 22
2=+，即0)(2=−y x ，∴x =y .
将x =y 代入362
2
=+y x 得182=x ，解得23=x (23−不合题意，舍去)，∴O A 的长为23.
（3）O C 的最大值为8.理由如下：如图2，
∵M 为AD 的中点，∴O M =3，52
2=+=DM
CD CM .
∴O C ≤O M +CM =8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，O C 有最大值8. 连接O C ，则此时O C 与AD 的交点为M ，过点O 作O N ⊥AD ，垂足为N . ∵∠CDM =∠O NM =90°，∠CMD =∠O MN ，∴△CMD ∽△O MN ，
∴
OM
CM
MN DM ON CD =
=，即3534==MN ON ， 解得59=MN ，5
12
=
ON ，∴56=−=MN AM AN . 在R t △O AN 中，∵55622=
+=
AN ON OA ，∴5
5cos ==∠OA OAD AN .3．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．
（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；
（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．
【解析】：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∵BP ⊥PQ ，∴2BP ＝BQ 即2（6－t ）＝6＋t ，解得t ＝2．∴当t 为2时，△BPQ 为直角三角形；
（2）存在．作射线BF ，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝0.5t ．∵四边形CQFE 是平行四边形，∴FQ ＝EC ＝6－0.5t ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBQ ＋∠BQF ＝90°．∵BQ ＝2FQ ，BQ ＝6＋t ，∴6＋t ＝2（6－0.5t ），解得t ＝3．
（3）过点P 作PG ∥CQ 交AC 于点G ，则△APG 是等边三角形．∵BP ⊥PQ ，∴EG ＝
1
2
AG ．∵PG ∥CQ ，∴∠PGD ＝∠QCD ，∵∠PDG ＝∠QDC ，PG ＝PA ＝CG ＝t ，∴△PGD ≌△QCD ．∴GD ＝1
2
GC ．∴
DE＝1
2
AC＝3．
（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝
．由
折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝
3.
过点B′作B′H⊥AP于点H，则c os30°＝AH
AB′
,
，解得t＝9－
．
∴t为9－
时，AB′的值最小，最小值为
－3．
4.（2019·重庆A卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交与点A，B（点A 在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一
动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋1
3
PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF＋FP＋1
3
PC取得小值时，把点P
单位得到点
Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ
′′，其中边A Q′′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得OG
Q
Q'
'∠
=
∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)，直线BD：y＝2x－6．
如答图1，连接DN、BN，则S△BDN＝1
2
BD•MN，而BD为定值，故当MN最大时，S△BDN取最大值．此
Q
时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝
12EH •FN ＋12BH •FN ＝1
2
BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)．
在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a x 轴
上取点K (，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－x －3．
如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得
1
33
PR OK a PC KC a ===
，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知
MN 取得最大值时，HF ＋FP ＋13
PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－x －3中，当y ＝－2，x ，
于是FT ＝2．在R t △FTR 中，由FR FT =，得FR FT (2)＝13，
故HF ＋FP ＋1
3
PC 最小值＝2＋13．
（2）(，(，，．
5.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线242
y ++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .
（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，
HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HK 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1
）∵2y x ++与x 轴交于A ，B 两点，
∴当y =0
时，即20+，∴122,4x x =−=，即A （－2，0）
，B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0
，），B （4，0），
∴40b k b =
+=
，∴b k = = ，∴直线BC
的解析式为y +
设点2(,4),P m m ++<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC
上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，
∴2
(04),PE m +<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ， 设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则
12l PE
l BC
=，∵B （4，0），C （0
，），∴BC
=
2
4l =+，
∴2
1
)(04),l m +<< ∴当m=2时，1l
此时点P 的坐标为（2
，）
， ∵A （－2，0），C （0
，）
，∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， 备用图
图1
图2
∵BG∥AC，∴.∠BGD=30°，∠OBG=60°，∴G（0
，−，
直线B G
解析式为y
=−PM
解析式为y=，
过点G作GN⊥BG，过点P作PM⊥GN于点M，
如图1，此时，点H为PM与对称轴的交点，K为PM与y轴的交点，点K与点O重合，
则KM=OM
KG，PH+HK
KG的最小值为线段PM的长.（此问题是胡不归问题）.
解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P作PQ∥x轴交对称轴于点T，过点M作MQ⊥y轴交PT于点Q，过点G作GJ⊥MQ交MQ于点J.
设点Q（n
，），∴J（n
，−，∴PQ=2－n，M
2－n），
∵GJ=－n，∴MJ
=，∴MQ+MJ=CG
=(−−，
2－n）
+()
=，∴n=-3，∴Q（－3
，），∴PQ=5，
∴PM=2PQ=10，∴PH+HK
KG的最小值为10，
∵∠OGM=60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT=1，∴HT
H（1
.
图1 N
解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG
的解析式为：y x −
如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2
，）， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PM
PR
（
）=10， ∴PH +HK
KG 的最小值为10，同理可求H （1
.
（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N
有：1N
,2N
，3N
,4N
,5N .
【提示】由（1）可知∠AC O=30°，∠O AC =60°,
图2
N
N
又∵221)y x x ++−+D （1，
∵抛物线按射线AC 的方向平移，设平移后顶点'(D a ++，
平移后的抛物线解析式为21)y x a =−−++
该抛物线经过原点，则201)a =−−+
∴2280a a −−=，∴a =4或a =－2（舍去）
，即D .
设点N （1，b ）'CD ==
CN =
，'ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况：
①当'CD CN =，可得1N ,2N ；
②当''CD D N =3N ,4N ,
③当'CN D N =可得5N ,
∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N 有：1N ,2N ，
3N ,4N ,5N .
6.（2019·天津）已知抛物线y =x 2-bx +c (b ,c 为常数，b >0)经过点A （-1,0），点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，
（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点D (b ,y D )在抛物线上，当AM =AD ,m =5时，求b 的值；（3）点Q(1,2b +
y Q)
2QM +
b 的值. 【解析】(1)∵抛物线y =x 2-bx +
c 经过点A （-1,0），∴1+b +c =0，∴c =-1-b 当b =2时，c =-3，∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c =-1-b ，∵点D (b ,y D )在抛物线上，∴y D =-b -1， ∵b >0,∴b 02b >
>，-b -1<0,∴D (b ,-b -1)在第四象限，且在抛物线对称轴2
b
x =的右侧.
如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE =b +1=DE ,所以AD 1)b +，
∵m =5，∴AM =5-（-1）=6，∴1)b +，∴b =
（3）∵点Q(1
b ,2
+
y Q )在抛物线上，∴y Q=
2113)()12224b b b b b +−+−−=−−（， ∴点Q （1b ,2+3
-24
b −）在第四象限，且在直线x =b 的右侧，
2QM +，A (-1，0)
，∴取点N (0，1)，如图， 过点Q 作Q H ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，
则H （1b ,2+
0），∠G AM =45°，∴G M AM ， ∵M （m ,0),∴AM =m +1,MH =1
b 2m +
−,Q H =324
b +,
∵MH =Q H ,∴1
b 2m +−=324
b +，∴m =1-24b ，∴AM =13-12424b b +=
+，Q M 3
)24
b +（
2QM +33
)))24244
（b ++b +b =4.7.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2
+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；
（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；
（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =17
4的
距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得�aa−2+cc=0
4aa+4+cc=3解得，�aa=−1cc=3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.
（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，
设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，�−kk+bb=0
2kk+bb=3解得，�kk=1bb=1.
∴直线AB的解析式为y=x+1.
设M为（m，-m2+2m+3）,则H（m，m+1）
∴MH=y M-Y H=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.
∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=12·MH·（x B-x A）=12·(-m2+m+2)·(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278. ∵四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，
∴△ABM≌△BAN.∴S四边形MANB=2 S△ABM=-3(m-12)2+274，
∵a=-3＜0且开口向下，∴当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：
过P作直线y=174的垂线，垂足为T，
∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,4）.
当P为顶点，即P（1.4）时，
设F点坐标为（1，t），
此时PF=4-t，PT=174-4=14.
∵P到F的距离等于到直线y=174的距离，
∴4-t=14，
即t=154.
∴F为（1，154）
设P点为（a，-a2+2a+3）,
由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2
=a4-4a3+132a2-5a+2516.
又∵PT2=[174-(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+132a2-5a+2516.
∴PF2=PT2，即PF=PT.
∴当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离. 8．（2019·淮安）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.
①∠BEP= ；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.
(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.
(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.
【解析】（1）①由题意得，PE =PB ，∠BPE =80°，∴∠BEP =
°=°
−°502
80180； ②如图所示，
∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∠BAC =100°，∴∠ABC =
°=°
−°402
100180，
∵∠BEP =50°，∴∠BCE =∠CBE =40°，∴∠ABC =∠BCE ，∴CE ∥AB . 答案：①50°；②平行
（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BF A =∠CF A =40°，总有△BPE ∽△BFC . 又∵△BPF ∽△BEC ，∴∠BCE =∠BFP =40°，∴∠BCE =∠ABC =40°，∴CE ∥AB .
当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB =PE =PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：
∴AE 的最小值为AC =3.
9.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2
+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题知 ==++=+−30390c c b a c b a ，解得
==−=321
c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2
+2x +3；
（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2
2
31+=10；在Rt △OBC 中，BC =2
2
33+=32.∵点P 在线段AB 的垂直
平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；
（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =
21
×4×3-21×4×2=2.设：
AP :y =mx +n ，则
=+=+−20n m n m ，
解得
==11n m ，∴AP :y =x +1.
①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由
++−=+=3232
x x y x y 解得 ==30
1
1y x ，
==4
1
22y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =
2
1
×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由 ++−=−=3212
x x y x y 解得
−−=−=217
1217111y x （舍），
+−=+=217
1217
122y x ，∴M （
2171+,2171+−）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（
2171+,2
17
1+−）
. 10．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝cm ．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为
cm /s ，BC 的长度为
cm
；
（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm /s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围； ②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请
说明理由．
图① 图② 图③ 第27题答图 【解析】（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为
5
2.5
=2cm /s ，
∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；
（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v
52
7.53=
（cm /s ），当在点B 相遇时，v 510
2.5
+=6（cm /s ）
，∴动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围为23cm /s ＜v ≤6cm /s ； AB ，交CD EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF AP
AB AC
=
，∵AC
∴
5AF =
解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF 4，
∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12
=×4×21
2+（4+2x ﹣5）
×312−×5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=×2×61
2
+（6+15﹣2x ）×312−×5×（15
﹣2x ）＝2x ，
∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154−）22254+，∵2.515
4
＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=
时，S 1•S 2的最大值为2254
．
11.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ,经过B ,C 两点的直线为y ＝x +n .①求抛物线的解析式;
②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.
③过点A 作AM ⊥BC 与点M ,过抛物线上一动点N (不与点B ,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.
分析:①由点A 和直线y ＝x +n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于N Q,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.
【解析】①因为点B ,C 在y ＝x +n 上,所以B (－n ,0),C (0,n ),
因为点A (1,0)在抛物线上,所以250
505
a b an bn n ì+-=ïï
--=íï=-ïî,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5.
②由题意得:PB ＝4－t ,，BE ＝2t ，
由①可知:∠O BC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BP s in 45
(4－t
),
所以S △PBE ＝12BE h 鬃＝)2
2t --+当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B (5,0), 因为A (1,0),所以AB ＝4,
在R t △ABM 中,∠ABM ＝45°,AM AB ＝M (3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H , 设N (m ,－m 2+6m －5),则H (m ,0),P (m ,m －5),
易证△P Q N 为等腰直角三角形,即N Q ＝P Q ＝所以PN ＝4.当NH +HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4,解之得,m 1＝1,m 2＝4. 当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;
当NH +HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4,解得,m 1,m 2
因为m >5,所以m
当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4,解得,m 1,m 2
因为m <0,所以m
综上所述,要使点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:4
12.（2019·淄博）顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．
【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式,得
9330
30
a b
a b
++=
−+=
,解得
1
2
a
b
=−
=
.
∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)假设存在点P，使△P AM是直角三角形.
当点M为直角顶点，过M作CD⊥y轴，过A作AD⊥x轴，交CD于D，CD交y轴于C，∵∠AMP＝90°，
∴∠CMP＋∠AMD＝90，∴∠CMP＝∠MAD，又∵∠DM＝∠PCM，∴△CPM∽△DMA,∴CM
AD＝
PC
MD，
∴1
4
＝
2
PC
，∴PC＝
1
2
，∴P1(0,
7
2
);
当点A为直角顶点，过A作CD⊥x轴，过M作MD⊥y轴交AD于D，过P作PC⊥y轴交CD于C，
同上△CP A∽△DAM，∴PC
AD＝
AC
MD，∴
3
4
＝
2
AC
，∴AC＝
3
2
，∴P2(0,－
3
2
);
当点P为直角顶点，过M作CM⊥y轴于C，∴△CPM∽△OAP，
∴PC
AO＝
CM
PO，∴3
PC
＝
1
4-PC
，∴PC＝1或3，∴P3(0,3)，P4(0,1).
综上所述，使△P AM是直角三角形的点P的是P1(0,7
2
)，P2(0,－3
2
)，P3(0,3)，P4(0,1).
（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x
由两点距离公式可得()2
222339DA x y =−+==①
由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +−−−==
2
y x
−② ∴()()2
2
23CI x r r =++−③
由①②③得
22
2
312CI x y =−+−+
2
CI
在312x y =−
−最小，此时CI 也最小，
min 32CI =
（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T
的圆周上运动，且半径R T 为(32,32
)，
∴CI 在△CIA 中，CI ≥CT
－IT
＝
3
2
，当C 、I 、
T
三点一线时，min 3=
2
CI .
13.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+3
2x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的
右侧)，与y 轴交于点C .
(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；
(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形
D
I
G
x
y O
1
2412
3
4
PB O C 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PB O C 面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.
解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴为:x ＝3
3
2224b a a a
−
=−=−＝3,∴a ＝14−,∴抛物线的解析式为:y ＝14−x 2+32x +4,令y ＝0,得14
−x 2+3
2x +4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A (－2,0),B (8,0);
(2)连接BC ,在抛物线y ＝14−x 2+3
2
x +4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C (0,4),∴O C ＝4,O B ＝8,∴S △O BC ＝16,∵
B (8,0),
C (0,4),设l BC ：y ＝kx +b ，得0＝8k +b ，4＝b ，∴k ＝1
2
−,b ＝4,l BC ：y ＝12−x +4,∴过点P 作PD ∥y
轴交BC 于点D ,过点C 作CE 垂直PD 于点E ,过点B 作BF ⊥PD 于点F ,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝1
2
PD
×CE +12PD ×BF ＝1
2PD ×(CE +BF )＝12
PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD ,∵点P 在抛物线上,设点P (x ,
14
−
x 2+3
2x +4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D (x ,12−x +4),∵点P 在B ,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P
－y D ＝14−
x 2+3
2x +4－(12
−x +4)＝14−x 2+2x ,S △PBC ＝4PD ＝4(14−x 2+2x )＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，
当x ＝4时，S △PBC 最大16，∴S 四边形O BPC ＝S △O BC +S △PBC ＝32;
∵MN ∥y 轴,∴设M ,N 的横坐标为m ,∵点M 在抛物线上,设点M (m ,n ),其中n ＝14
−
m 2+3
2m +4,点N 在
直线BC 上,∴N (m ,1
2
−
m +4),∵点M 是抛物线上任意一点,∴点M 和点N 的上下位置关系不确定,∴MN ＝|14−
m 2+3
2
m +4－(12−m +4)|＝|14−x 2+2x |,∵MN ＝3,∴|14−x 2+2x |＝3,即14−x 2+2x ＝3或14−x 2+2x ＝－3,
解
这两个方程,得m 1＝2, m 2＝6, m 3＝4+m 4＝4－∴n 1＝6, n 2＝4, n 31, n 41,∴M 1(2,6), M 2(6,4), M 3(4+1), M 4(4－－1).
14.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (－2,0),点B (4,0),与y 轴交于点C (0,8),连接BC ,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ,沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点),且分别交抛物线,线段BC 以及x 轴于点P ,D ,E .(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC ,AP ,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△A O C 相似的点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ,垂足为F ,当直线l 运动时,求R t △PFD 面积的最大值.
解：(1)由已知,将C (0,8)代入y ＝ax 2+bx +c ,∴c ＝8,将点A (－2,0)和B (4,0)代人y ＝ax 2+bx +8,得
428016480a b a b −+= ++= ,解得1
2
a b =−
= ,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x +8; (2)∵A (－2,0),C (0,8),∴O A ＝2,O C ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠A O C ＝90°,∵∠P AE ≠∠CA O,只有当∠P AE ＝∠AC O 时,△PEA ∽△A O C .此时
AE PE
CO AO
=,∴AE ＝4PE .设点P 的纵坐标为k ,则PE ＝k ,AE ＝4k ,∴O E ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k ),将P (4k －2,k )代入y ＝－x 2+2x +8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k ,解得k 1＝0(
舍
去),k 2＝
2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316
). (3)在R t △PFD 中,∠PFD ＝∠C O B ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠O CB ,∴R t △PFD ∽R t △B O C ,∴
2
PFD
=S PD
S BC
△△BOC
,∴S △PFD ＝2
PD S BC ⋅
△BOC ,由B (4,0)知O B ＝4,又∵O C ＝8,∴BC ＝又S △B O C ＝
12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝21
5
PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B (4,0),C (0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x +8,设P (m ,－m 2+2m +8),则D (m ,－2m +8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝16
5
,为最大值.
15.（2019·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；
（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；
②当点P 到直线AD 的距离为
时，求s in ∠P AD 的值．
解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8， 则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ，
∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，
∴点D的坐标为（4，0）．
设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AD的函数解析式为y＝－x+4
（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，
设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），
∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t
∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．
作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，
∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，）
即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是
②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，
则t＝，
解得t1＝2，t2＝10，
则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．
当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，
∴s in∠P1AD＝＝
当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴s in∠P2AD＝＝；
由上可得，s in∠P AD的值是或。