高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意

• (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
1．计算：(1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2)．
解析： (1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i] ＝－ 2－( 3－ 2)＋[ 3－( 3＋ 2)]i ＝－ 3－ 2i.
这两个复数的差 z1－z2 与向量O→Z1－O→Z2(等于Z→2Z1)对应．作 O→Z＝Z→2Z1，则点 Z 对应复数 z1－z2(如图(2))，即复数(a－c)＋(b －d)i.
• 1．复数加法运算的理解 • (1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚
部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形．
合作探究 课堂互动
复数的加、减运算
•
计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
• (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
• (3)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．
• [思路点拨] 按照复数加、减运算的运算法则进行计算．
•
(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
2．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1－8i，
－2－3i，则B→C对应的复数为( )
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．－3＋11i
D．1－5i
解析： B→C＝A→C－A→B＝(－2－3i)－(－1－8i)＝－1＋5i.
• 答案： B
• 3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为 纯虚数，则实数a＝________，b＝________.
数如何加、减？
• [提示] 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部 分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．如图O→Z1，O→Z2分别与复数 a＋bi，c＋di 对应．
[问题 1] 试写出O→Z1，O→Z2及O→Z1＋O→Z2的坐标． [提示 1] O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)， O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． [问题 2] 向量O→Z1＋O→Z2对应复数是什么？
•3．2 复数代数形式的四则运算 •3.2.1 复数代数形式的加、减运算
•及其几何意义
自主学习 新知突破
• 1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． • 2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
• 1．已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． • [问题] 多项式的加、减实质是合并同类项，类比想一想复
• 1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2所对应的点在实轴 上，则a为( )
• A．3
B．2
• C．1
D．－1
• 解析： z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i， • ∵z1＋z2所对应的点在实轴上， • ∴1＋a＝0.∴a＝－1.
• 答案： D
(2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝(a＋b)－(a－b)＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2) ＝(－1＋i)＋ －12＋ 32＋(－2＋i) ＝－1＋i＋2－2＋i ＝－1＋2i.
复数加、减运算的几何意义
• 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__________， • (z1＋z2)＋z3＝_____________． z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
• 3．复数加、减法的几何意义
若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为两邻边的_平__行__四__边__形___的对角线O→Z所对应的 ___复__数___，即复数的加法可以按照向量的____加__法____来进行， 如图(1)这就是复数加法的几何意义．
• (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
• (3)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
•
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复数的加、减法运算
• (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并， 虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
• (2)复数的加、减运算结果仍是复数；
• (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减) 的混合运算；
• 解析： z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i， • z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i， • 由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4.
• 答案： －3 －4
• 4．计算：(1)(－1＋i)＋|i|＋(1＋i)； • (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； • (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． • 解析： (1)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i) • ＝(－1＋i)＋1＋(1＋i) • ＝1＋2i. • (2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. • (3)原式＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
• (2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则一 致．
• (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
• 2．复数减法的几何定义的实质
• (1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对 应的复数就是这两个复数的差．
• (2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向 被减”的方法确定．
•
如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分
别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)A→O 表示的复数； (2)对角线 C→A 表示的复数； (3)对角线 O→B 表示的复数．
[提示 2] a＋c＋(b＋d)i，也就是 z1＋z2.
复数的加、减法法则
• 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
• 则z1＋z2＝___(_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i ，
• •
z21．－加z2＝法_运__算_(a_律－__：c_)_＋__(_b_－__d_)i.