与圆有关的最值范围问题

x
x
与圆有关的最值（范围）问题
圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．
解：如图1，圆心C
到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，
故P
Q P C r ≥-=
变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22
(3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 .
【分析】本题要求QAB S V 的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解：如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，
则1
1)42
QAB Q Q S AB h =
⋅===+V
图1 图2
变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：2
2
(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解．因为
222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．
解：如图3，22221PA PC r PC =
-=-，∵min
PC =min PA =变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2
2
(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．
【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．
解：如图4，∵APB APC ∠=∠，
1
sin APC PC
∠=
,
∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．
图3 图4
变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2
2
(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．
解：如图4，1
222
PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯
⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，
min PA =PACB
【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另：和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点，构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．
例2已知圆C ：22
2430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．
【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222
PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．
解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=， 即2
2
2
2
(1)(2)2x y x y ++--=+，化简得：2430x y -+=． ∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=
到原点O (0,0)的最小距离．
d
=
=
PM 类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值
x
例3若实数x 、y 满足22
240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．
【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．
解：2
2
(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θ
θθ
⎧=-+⎪∈⎨
=+⎪⎩， 则25
5cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-（其中cos 55
ϕϕ=
=
） ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-
=，故x-2y 的最大值为0．
【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．
类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值
值．比如例2中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x
y z -=,
则11
22
y x z =
-小时，z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离 d =故010z =-或，由题意，max
0z =，即x-2y 的最大值为0．
除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12
y x --，22
(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，则可以分别用如下方法求解： 对
1
2
y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值，可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离 d =
=，可得
122k =-或，故1
[2,)(,2
k ∈+∞⋃-∞-．
对22
(2)(1)x y -+-，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围，由例1
易得[PA CA CA ∈-，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+ 对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为，故圆上任一点P (x,y )
到直线10
x y --=
，
即1[4x y --∈.
【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化． 类型四：向函数问题转化
平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．
例4（ 2010年高考全国卷I 理科11）已知圆O ：2
2
1x y +=，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为
【分析】本题中，由于A 、B 都是动点，故将PA PB ⋅转化为坐标形
式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APB α∠=，cos 2PA PB PA PB α⋅=， 而切线段PA=PB 也可用α表示，故所求式可转化为关于α的三角函数求解． 解：令2((0,))2APB πα
α∠=∈，cos 2PA PB PA PB α⋅=，1
tan PA PB α
==，
∴222222
cos 2cos cos 2(1sin )(12sin )
tan sin sin PA PB αααααααα
⋅--⋅===， 令2
sin (0)t t α=>，则(1)(12)1
233t t PA PB t t t
--⋅=
=+-≥
（当且仅当2t =
2sin 2
α=时取等号） 【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为
三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题． 类型五：向基本不等式问题转化
例5已知圆C ：
2
2+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，
（1）EF +GH 的最大值．
(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．
【分析】由于EF 和GH 都是圆的弦长，因此可利用2
2
2
=+半径半弦长弦心距将EF +GH 转化，用基本不等式的相关知识点．
解：（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ，则
EF +GH =，又222
121d d CA +==，
2
≤==
（当且仅当122
d d ==
取等号）
故EF +GH ≤=（2）∵EF GH ⊥，
∴22128()12722
d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH
（当且仅当122
d d ==
取等号）
【解题回顾】本题（1）是利用2a b +≤
（22a b +≤．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．
由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。