2023-2024学年上海华二附中高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)

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华师大二附中2023学年第一学期高一年级数学期末
2024.01
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第14题每题4分,第7~12题每题5分) 1.已知2m 10=,lg 3n =,则10m n +=______.(用数字作答)
2.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是2,则扇形的弧长为______. 3.若一个幂函数的图像经过点13,9
,则它的单调减区间是______.
4.已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2P y
,则()cos π+α=______.
5.记1A 239=×××⋅⋅⋅×,那么2349111
log log log log 1A A A A
+++⋅⋅⋅+=______.
6
.若sin cos α+αtan cot α+α=______. 7.若函数()x
f x x a
=
+的图像关于直线y x =对称,则a 的值是______. 8.已知定义在[]21,4m m −+上的奇函数()f x ,当0x >时,()31x f x =−,则()f m 的值为______.
9.已知对于实数x ,y ,满足21x y +≤,2x y −≤,则45x y +的最大值为______. 10.已知0a >,关于x 的不等式()()2620ax a x −−⋅−<的解集为M ,设N M Z = ,当
a 变化时,集合N 中的元素个数最少时的集合N 为______.
11.已知集合M 是具有以下性质的函数()f x 的全体:对于任意s ,0t >都有()0f s >,()0f t >,且()()()f s f t f s t +<+.给出下列四个结论:
①函数()21x g x =−属于M ; ②函数()2log 1h x x =−属于M ; ③若()f x M ∈,则()f x 在区间()0,+∞上是严格增函数;
④若()f x M ∈,则对任意给定的正数s ,一定存在某个正数t ,使得当(]0,x t ∈时,恒有()f x s <.其中所有正确结论的序号是______.
2
12.记()()ln 0f x x ax b a =++>在区间[],2t t +(t 为正数)上的最大值为(),t M a b ,若(){},ln 2t
b M a b a R ≥+=
,则实数t 的最大值为______. 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分第15~16题每题5分) 13.已知点()sin ,tan P θθ是第二象限的点,则θ的终边位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 14.若a ,b R ∈,则“
1a
b
>”是“21a b −>”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 15.函数()()2
12
x f x e
−=的图像大致为( )
A .
B .
C .
D .
16.定义在R 上且图像连续不断的函数()x ϕ,若存在函数()m m R ∈使得()()0m x x m ϕ+ϕ+=任意实数x 都成立,我们称()x ϕ是R 上“m 相伴函数”.下列关于“m 相伴函数”的描述正确的是( )
A .存在唯一的常数函数是“m 相伴函数”
B .()2x x ϕ=是“m 相伴函数”
C .“2023相伴函数”至少有一个零点
D .“-2023相伴函数”至少有一个零点 三、解答题(本大题共有4题,满分78分)
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
3
已知全集U R =,集合302x A x x
−=> +
,{}23B x x 5=
+≤.
(1)求A ;(2)求A B .
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某新能源公司投资320万元用于新能源汽车充电桩项目,n (16n ≤且*n N ∈年内的总维修保养费用为()()240C n kn n k R =+∈万元,该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n (16n ≤且*n N ∈)年年底,该项目的纯利润(纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本)为()L n 万元.已知到第3年年底,该项目的纯利润为88万元. (1)求实数k 的值;
(2)到第几年年底,该项目年平均利润(平均利润=纯利润÷年数)较大?并求出最大值.
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 若不等式()21460a x x −−+>的解集是{}31x x −<<. (1)求实数a 的值:
(2)当()()2212140b x b x a −−−+−>的解集为∅时,求b 的取值范围.
4
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数()()220,0g x mx mx n m n =−+>>,在[]1,2x ∈时最大值为1,最小值为0.设()()g x f x x
=

(1)求实数m ,n 的值;
(2)若存在[]1,1x ∈−,使得不等式()2410x x g k −⋅+<成立,求实数k 的取值范围; (3)若关于x 的方程()332log 310log a
f x a x
+−−=有四个不同的实数解,求实数a 的取值范围.
5
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 设函数()f x 的定义域为D ,对于区间[](),,I a b a b I D =<⊆,若满足以下两条性质之一,
则称I 为()f x 的一个“Ω区间”. 性质1:对任意x I ∈,有()f x I ∈; 性质2:对任意x I ∈,有()f x I ∈/.
(1)分别判断区间[]1,2是否为下列两函数的“Ω区间”(直接写出结论.) ①3y x =−;②3
y x
=
(2)若[]()0,0m m >是函数()22f x x x =−+的“Ω区间”
,求m 的取值范围: (3)已知定义在R 上,且图像连续不断的函数()f x 满足:对任意a ,12,x x R ∈,且12x x ≠,有
()()2121
1f x f x x x −<−−.求证:()f x 存在“Ω区间”
,且存在0x R ∈,使得0x 不属于()f x 的任意一个“Ω区间”.
6
参考答案
一、填空题
1.6;
2.()0,+∞; 4.1
2
−; 5.1; 6.8; 7.1−; 8.2−;
9.7; 10.{}3,4; 11. ①③④ 12.
23
12.记()()ln 0f x x ax b a =++>在区间[],2t t +(t 为正数)上的最大值为(),t M a b ,若(){},ln 2t
b M a b a R ≥+=
,则实数t 的最大值为______. 【答案】
2
3
【解析】由()g x lnx ax b =++在()0,+∞上是增函数, 则()()()1
12222222厖?t t M a lnt at b ln t a t b ln a ln a t +
+++++++++
恒成立,于是24…t t +,即23…t .故答案为2
3
二、选择题
13.C 14. D 15.B 16.C
16.定义在R 上且图像连续不断的函数()x ϕ,若存在函数()m m R ∈使得()()0m x x m ϕ+ϕ+=任意实数x 都成立,我们称()x ϕ是R 上“m 相伴函数”.下列关于“m 相伴函数”的描述正确的是( )
A .存在唯一的常数函数是“m 相伴函数”
B .()2x x ϕ=是“m 相伴函数”
C .“2023相伴函数”至少有一个零点
D .“-2023相伴函数”至少有一个零点 【答案】C
【解析】对于A ,令()x a x R ϕ∈,,则(),x m a ϕ+=
所以0ma a +=,解得1m a R =−∈,,函数()x ϕ有无数个,故A 错误;
对于()2
20B mx x m ++=,对x R ∀∈恒成立,化简得()22120m x mx m +++=
对x R ∀∈
7
恒成立,则210200m m m +=
= =
无解,则()2x x ϕ=不是"m 相伴函数",故B 错误;
对于C ,()()202320230x x ϕ+ϕ+=,令()()020*******x =ϕ=−ϕ,,
当()00ϕ=时,()0x ϕ=有实根0,当()00ϕ≠时,()()()2020232023[0]0ϕ⋅ϕ=−ϕ<, 因为函数()x ϕ在R 上的图象连续不断,则函数()x ϕ在()02023,上必有实根, 所以“2023相伴函数"至少有一个零点,故C 正确;
对于D,()()202320230x x −ϕ+ϕ−+=当()()20232023x b R b b =∈ϕ−=ϕ,,
若()0b ϕ≠,()()()2
202320230b b b ϕ⋅ϕ−=ϕ> ,不能判定此区间[)2023b ,b −内是否有根,由于b 的任意性,则不能确定()x ϕ在R 上有无零点,故D 错误;故选:C. 三.解答题 17.(1){}|32A
x x x =><−或(2){}|21A B
x x ∩=−≤≤ 18.(1)8
(2)第6年底最大为1763
万元
19.(1)3 (2)[]0,1
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数()()220,0g x mx mx n m n =−+>>,在[]1,2x ∈时最大值为1,最小值为0.设()()g x f x x
=

(1)求实数m ,n 的值;
(2)若存在[]1,1x ∈−,使得不等式()2410x x g k −⋅+<成立,求实数k 的取值范围; (3)若关于x 的方程()332log 310log a
f x a x
+−−=
有四个不同的实数解,求实数a 的取值范围.
8
【答案】()11,1m n ==
(2)12, +∞
(3)12,
−+∞
【解析】(1)由()()2
221g x mx mx n m x n m =−+=−+−可知, 函数()g x 关于1x =对称,又0m >.所以函数()g x 在[]12,单调递增, 可得()()1021g g =
=
,即01n m n −= = ,解得1,1m n == (2)由(1)可知()221g x x x =−+,
则不等式()2410x x g k −⋅+<可化为()2
2221410x x x k −⋅+−⋅+<,
所以()
2
22224x
x
x
k −⋅+<⋅,即2
1122122x x k
>−⋅+
,

12x
t =,又[]11x ,∈−,可得11222x t ,
=∈
,即2221k t t >−+, 显然函数2221y t t =−+在122t ,

上单调递增,
由题意可得()2
1221,,22k t t t
>−+∈
即可,所以2
111221222k >×−×+= ,
所以实数k 的取值范围为12,
+∞
;
(3)易知()()1
2g x f x x x
x
=
=+
−, 所以()332310a f log x a log x +
−−=即为333122310a log x a log x log x
+−+−−=, 可化为()2
3331210log x a log x a −+++=,
令()30log x ,=λ∈+∞,即()231210a a λ−+λ++=; 则关于x 的方程()332310a
f lo
g x a log x
+
−−=有四个不同的实数解等价为于 关于λ的一元二次方程()231210a a λ−+λ++=有两个不相等的正实数根12,λλ
9
需满足()()212
129(1)4210
310210a a a a ∆ +−+>λ+λ=+>= λλ>
+,解得12a >−;所以实数a 的取值范围为12,
−+∞ . 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 设函数()f x 的定义域为D ,对于区间[](),,I a b a b I D =<⊆,若满足以下两条性质之一,
则称I 为()f x 的一个“Ω区间”
. 性质1:对任意x I ∈,有()f x I ∈;性质2:对任意x I ∈,有()f x I ∈/. (1)分别判断区间[]1,2是否为下列两函数的“Ω区间”(直接写出结论.) ①3y x =−;②3
y x
=
(2)若[]()0,0m m >是函数()22f x x x =−+的“Ω区间”
,求m 的取值范围: (3)已知定义在R 上,且图像连续不断的函数()f x 满足:对任意a ,12,x x R ∈,且12x x ≠,有
()()2121
1f x f x x x −<−−.求证:()f x 存在“Ω区间”
,且存在0x R ∈,使得0x 不属于()f x 的任意一个“Ω区间”.
【答案】(1)①是,②不是; (2)[]12m ,∈
(3)见解析
【解析】(1)①是,②不是; (2)记[](){}0,I
,m S f x x I =
∈∣,易知()[]000f ,m =∈,
故若I 为()f x 的“Ω区间”,则不满足性质(2),必满足性质(1),即S I ⊆; ()()2
2211,
f x x x x =−+=−−+
当01m <<时,()f x 在[]0,m 上单调递增,且()()10f m m m m −=−−>, 所以()0S ,f m = 不包含于[]0I ,m =,不合题意;
当12剟m 时,()()[][]01010S f ,f ,,m I ==
⊆= ,符合题意;
10
当2m >时,()()()200f m f f <==,所以()f m I ∉,不合题意;综上可知,[]12m ,∈; (3)证明:对于任意区间[],()I
a b a b <,记(){}S f x x I =
∈∣, 由已知得()f x 在I 上单调递减,故()()S f b ,f a = ,因为
()()1f b f a b a
−<−−,
故()()f a f b b a −>−,即S 的长度大于I 的长度,故不满足性质(1), 所以若I 为()f x 的“Ω区间”,必须满足性质(2),即S I ∩=∅, 即只存在a R ∈使得()f a a <,或存在b R ∈,使得()f b b >,
因为()f x x =不恒成立,所以上述条件满足,所以()f x 一定存在“Ω区间“; 记()
()g x f x x =−,先证明()g x 有唯一零点,
因为()f x 在R 上是减函数,所以()g x 在R 上是减函数, 则若()00f =,则00x =是()g x 的唯一零点,
若()00f t =>,则()()0f t f t <=,即()()00,0g g t ><,
由零点存在性定理,结合()g x 的单调性,可知存在唯一()00x ,t ∈,使得()00g x =, 综上可知,()g x 有唯一零点0x ,即()00f x x =,
所以()f x 的所有“Ω区间”I 都满足性质(2),故0x I ∉.。

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