北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结(超级详细)

北师大版九年级数学
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题
知识点：
1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c
（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、30°、45°、60
A 90
B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得由B A
对边
邻边 C
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，
解直角三角形的定义
1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角水平线
视线
视线俯角
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h
i l
α=
=。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：
北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

例1：已知在Rt ABC △中，3
90sin 5
C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）
A ．43
B ．45
C ．54
D ．
34
【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =
，tan b
B a
=和222a b c +=；由3sin 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44
tan 33
b x B a x ===，
所以选A ．
:i h l =h
l
α
例2
：104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．
【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，
104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--
=13412222
⎛⎫⨯
⨯+--= ⎪⎝⎭， 故填3
2．
1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A ．8米
B
．
C
D
米
2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ）
A ．5sin 40°
B ．5cos 40°
C ．5tan 40°
D ．5
cos 40°
3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ） A
m B ．4 m C
．．8 m
4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是
铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）
A
． 米 B ． 10米 C ．15米 D
．
5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2
2
5
D
6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）. （参考数据：2 1.414≈ 3 1.732≈）
7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.
解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为点D .
则90CDA ∠=°，60CAD ∠=°，30BAD ∠=°，CD =240米.
在Rt ACD △中，tan CD
CAD AD
∠=， 240
80 3.tan 603
CD AD ∴=
==°
在Rt ABD △中，tan BD
BAD AD
∠=
， 3
tan 30803803
BD AD ∴==⨯
=·°. ∴BC CD BD =-=240-80=160. 答：这栋大楼的高为160米.
B
C
8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）
解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC=45°
∴AC=BC=AB ·sin45°=222
2
4=⨯
在Rt △ADC 中，∠ADC=30°
∴AD= 2421
2230sin =÷=o
AC
∴AD-AB=66.1424≈-
∴改善后滑滑板会加长约1.66米.
（2）这样改造能行，理由如下： ∵989.46233
2230
tan ≈=÷==
o
AC CD ∴07.22262≈-=-=BC CD BD ∴6-2.07≈3.93＞3
∴这样改造能行.
练一练
9．求值1
01|32|20093tan 303-⎛⎫
-+--+ ⎪⎝⎭°
2009
12sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭°°
原式=． 解：原式=。