2023-2024学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．
C．D．
2．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．33°C．30°D．27°
3．（2分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．x＝3
4．（2分）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
5．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40°B．70°C．80°D．75°
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝x2﹣2ax+4．若A（a﹣1，y1），B （a，y2），C（a+2，y3）为抛物线上三点，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2分）在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a1，a2，a3．我们规定该实验的“最佳实验数据”a是这样一个数值：a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小．依此规定，则a＝（ ）
A．a1+a2+a3B．
C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图，AB为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是 ．
10．（2分）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 ．11．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O 的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 ．
12．（2分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
13．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 ．
14．（2分）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为 ．
15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 ．
①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1．
16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）
17．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）x2﹣1＝2（x+1）．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C （﹣3，3）．
（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．
19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连
接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求线段DE的长度．
21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为r．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；
②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；
③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；
④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；
⑤以AE为边作正方形AEFG．
正方形AEFG即为所求．
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 ．
（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝ ，MA＝　（用含r的代数式表示）．
（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝ （用含r的代数式表示）．
由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B （3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围；
（3）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．23．（5分）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA交CA 延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC＝，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．
24．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”
模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”
模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．
通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1 直发式
x（dm）024********…
y（dm） 3.84 3.964 3.96m 3.64 2.56 1.44…
表2 间发式
x（dm）024681012141618…
y（dm） 3.36n 1.680.840 1.40 2.403 3.203…
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中m＝ ，n＝ ；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”
模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”
“＝”或“＜”）．
25．（6分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重
合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进
行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9
CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0
FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B．
（1）若AB∥x轴，求抛物线的解析式；
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x P，y P），都有y P≥﹣3，求a的取值范围．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB上一点．过点D作DE⊥AC 于点E，过点D作DF⊥BC于点F，G为直线BC上一点，连接GE，M为线段GE的中点．连接MD，MF，将线段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为D'．（1）①在图1中将图形补充完整；
②求∠FMD'的度数．
（2）如图2所示，，当点G，M，D′在一条直线上时，请直接写出∠GFM 的度数．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”．
（1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O 的“近心点”有 ；
（2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围；
（3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围．
2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选：A．
3．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x＝＝1．
故选：B．
4．【解答】解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0，
∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1，
∵有实数根，
∴8m+1≥0，
∴，
∴最小整数值为0．
故选：B．
5．【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250m，BD＝AC＝250m，
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
6．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，
∴∠DAB＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠ADE＝70°，
故选：B．
7．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∴A（a﹣1，y1）到对称轴的距离为1，B（a，y2）点为顶点，C（a+2，y3）点到对称轴的距离为2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
8．【解答】解：根据题意：要使a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小，这M应是方差；根据方差的定义，a应该为a1，a2，a3的平均数；故a＝．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠ABO＝32°，
∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°，
故答案为：29°．
10．【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCD是正六边形，
∴∠OAD＝60°，
∴OD＝OA•sin∠OAB＝4×＝2．
故答案为：2．
11．【解答】解：由切线长定理得，BF＝BG，CM＝CG，DF＝DN，EN＝EM，∴BF+CM＝BG+GC＝BC＝9，
∴AF+AM＝25﹣9﹣9＝7，
△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EM＝AF+AM＝7，
故答案为：7．
12．【解答】解：设圆的半径为r m，
由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，
所以+r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
13．【解答】解：由勾股定理得，，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，
，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
14．【解答】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，
∴种植花卉的部分可合成长为（20﹣2x）米，宽为（18﹣x）米的矩形．
根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．
故答案为：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．
15．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x＝﹣＜0，
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故①错误，不符合题意；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故②正确，符合题意；
③∵对称轴直线x＝﹣＞﹣1，a＞0，
∴2a＞b，
故③错误，不符合题意；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又∵a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故④正确，符合题意；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故答案为：②④．
16．【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为：3.5．
三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）
17．【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝8＞0，
∴x＝＝±，
所以x1＝+，x2＝﹣；
（2）x2﹣1＝2（x+1）．
（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，
x+1＝0或x﹣1﹣2＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝3．
18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，交于点P，
∴旋转中心的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
19．【解答】（1）证明：
∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，
∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：△ABC为等腰三角形，
∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，
①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，
∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，
当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
还可采取以下方法：
由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，
解得x＝2k或k+1，
当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；
当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；
当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）
∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
20．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝6．
∵AB＝3AD，
∴AD＝2，BD＝4．
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2，
∴DE＝＝2．
21．【解答】解：（1）∵l⊥OA于点A，OA为⊙O的半径，
∴直线l为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）∵以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C，
∴AC＝r．
∵纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处，∴AB'＝＝πr，
∴CB′＝CA+AB′＝r+πr＝（π+1）r．
∵M为CB′的中点，
∴MC＝CB′＝．
∴MA＝MC﹣AC＝﹣r＝．
故答案为：；；
（3）连接ME，如图，
则ME＝MC＝．
在Rt△AME中，
∵AM2+AE2＝EM2，
∴AE2＝EM2﹣AM2
＝﹣
＝[][]
＝πr×r
＝πr2．
∴S正方形AEFG＝S⊙O．
故答案为：πr2．
22．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）﹣1≤y≤3．
理由如下：当x＝0时，y＝3；
当x＝3时，y＝0；
又y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
即x＝2时，y有最小值﹣1，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1≤y≤3；
（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
又∵B（3，0），
∴，
解得，
所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；
抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x＝＝＝2，
当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1），画出函数图象如图，
∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴y1＝y2，
∴x1+x2＝4．
令y＝﹣1，代入BC的解析式y＝﹣x+3，得x＝4．
∵x1＜x2＜x3，
∴3＜x3＜4，
∴7＜x1+x2+x3＜8．
23．【解答】（1）证明：连接OB，如图．
∵OA＝OB，∠OAB＝45°，
∴∠1＝∠OAB＝45°，
∵AO∥DB，
∴∠2＝∠OAB＝45°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴BD⊥OB于B，
又∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：作OE⊥AC于点E．
∵OE⊥AC，AC＝4，
∴AE＝＝2．
∵∠BAC＝75°，∠OAB＝45°，
∴∠3＝∠BAC﹣∠OAB＝30°．
∴在Rt△OAE中，OA＝＝＝4．
24．【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.84；
在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，3.36）、（8，0）代入，得，
解得：，
∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+3.36，
当x＝2时，y＝﹣0.42×2+3.36＝2.52，
表格2中，n＝2.52；
故答案为：3.84，2.52；
（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：
“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4），
∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a＜0），
把（0，3.84）代入，得3.84＝a（0﹣4）2+4，
解得：α＝﹣0.01，
∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+4；
（3）当y＝0时，0＝﹣0.01（x﹣4）2+4，
解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，
∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1＝24；
“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，3.20），
∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+3.2 （m＜0），
把（8，0）代入，得0＝m（8﹣16）2+3.2，
解得：m＝﹣0.05，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，
当y＝0时，0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，
解得：x1＝8，x2＝24，
∴d2＝24dm，
∴d1＝d2，
故答案为：＝．
25．【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．
（2）函数图象如图所示：
（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．
故答案为：3.5cm＜x＜5cm．
26．【解答】解：（1）若AB∥x轴，则A、B关于抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）的对称轴对称，
∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B，
∴A（0，3），
∴B（﹣4，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
∴a＝＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣3；
（2）当x＝﹣4时，y＝8a2+16a﹣3，
∵y P≥﹣3，
∴8a2+16a﹣3≥﹣3，
a2+2a≥0，
a（a+2）≥0，
∴或，
解得：a＞0或a≤﹣2；
综上所述：a的取值范围是a＞0或a≤﹣2．
27．【解答】（1）①补全图形如图1.1；
②延长FM、DE，相交于H，如图1.2，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠D'DF＝135°，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠C＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE∥FC，
∴∠H＝∠MFG，
∵M为EG中点，
∴EM＝GM，
∵∠FMG＝∠HME，
∴△FMG≌△HME（AAS），
∴HM＝FM，
∵△FDH是直角三角形，
∴DM＝HM＝FM，
由题意得：MD＝MD′，
∴DM＝D′M＝FM，
∴∠MDD′＝∠MD′D，∠MDF＝∠MFD，
∴∠FMD′＝360°﹣∠MDD′﹣∠MD′D﹣∠MDF﹣∠MFD＝360°﹣2∠D′DF＝360°﹣2×135°＝90°，
即∠FMD'＝90°；
（2）∠GFM的度数为15°或75°．理由如下：
分两种情况讨论：
①如图2.1，连接EF，
∵DE＝DF，
在Rt△DEF中，tan∠DEF＝＝，
∴∠DEF＝30°，
∴∠EFC＝30°，
由（1）得：∠FMD'＝90°，
∴FM⊥EG，
∵M为线段GE的中点，
∴FM垂直平分EG，
∴∠GFM＝∠EFC＝15°；
②如图2.2，
同①可得：∠GFM＝∠EFC＝（180°﹣30°）＝75°．综上，∠GFM的度数为15°或75°．
28．【解答】解：（1）如下图，观察图形可知，
∴⊙O的“近心点”有F，G，
故答案为：F，G；
（2）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），
根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，
当O．B，C在同一直线上，即C也位于x轴上时，
点O与⊙O的“远心点“C之间的距离最大，
此时OC＝OB+BC＝+1；
当A'C'⊥x轴时，点O与⊙O的“远心点”C之间的距离最小，
设A'C'与x轴交于点K，
∵BC'＝BA'，
∴A'K＝C'K＝A'C'＝，
∴BK＝＝＝，
∴OK＝OB﹣BK＝＝，
∴OC'＝＝＝1，
综上所述，点O与⊙O的“远心点“之间的距离d的取值范围为：1≤d≤+1；（3）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），
根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大，
设AC与x轴交于点G，
∵BC＝BA，
∴AG＝CG＝AC＝，
∴BG＝＝＝，
∴OG＝OB+BG＝+＝，
∴OA＝＝＝，
当O．，A'，C'在同一直线上，即C也位于x轴上时，
点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最小，
此时OA'＝OB+A'B＝﹣1，
点O与⊙O的“近心点”之间的距离d的取值范围为﹣l≤d≤；对于直线y＝﹣x+b，
令x＝0，则y＝b，即N（0，b），
令y＝0，则有0＝﹣+6，解得x＝b，
M（b，0）；
如下图，
当b取最大值时，有b＝，解得b＝，当b取最小值时，过点O作OH⊥MN，垂足为H，此时OH＝﹣1，
∵M（b，0），N（0，b），
∴OM＝b，ON＝b，
∴MN＝＝2b，
∵S△OMN＝OM•ON＝MN•OH，
∴，
解得b＝2﹣，
∴b的取值范围为2﹣≤b≤．。