高中数学：《三角函数在数学解题中的灵活运用》教学论文

三角函数在数学解题中的灵活运用
运用三角函数知识解题是一种重要的方法，有时会达到意想不到的效果，在解题的过程中要注意联想、类比，将题中的陌生的条件与结论与熟知的三角函数规律相类比，直接或间接进行三角代换，往往能达到启发思路，实现认知结构的迁移。

下面举几个例子说明： 例1：已知a,b,c 均为正数，且满足关系式2
2
2
a b c +=，又n 为不小于3的自然数。

求证：
n n n a b c +<。

解析：由条件联想勾股定理，a,b,c 可构成直角三角形的三边。

设a,b,c 所对的角分别为A ，B ，C ，则C 是直角，A 为锐角，于是，
a b sin A ,cos A c c
=
=且
0101
cos A ,cos A <<<<当
3
n ≥时有：
22n n sin A sin A,cos cos A <<
于是有：2
2
1n
n
sin cos sin A cos +<+=
即：1n n
a b c c ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
从而：n n n
a b c +<
例2：已知x,y,z R.x y z xyz.∈++= 求证：
()()()
222222
2228111111x y z xyz
x y z x y z ++=------ 证：表面上看这是一道代数证明题，用代数方法可以证出，但太繁，联想到三角函数知识，
()tan A tan B tanC tan A tan B tanC,A B C k π++=⋅⋅++=
作代换222
222111x y z
tan A ,tan B ,tanC x y z =
==--- 令x tan ,y tan ,z tan .αβγ===x y z xyz.++=即：
则tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅ ()k k Z αβγπ∴++== 则()22222A ,B ,C ,A B C k αβγαβγπ===∴++=++= 故：tan A tan B tanC tan A tan B tanC ++=⋅⋅
∴原式成立。

同理可证：已知x,y,z 均为实数且111xy ,yz ,zx .≠-≠-≠-
求证：
111111x y y z z y x y y z z y
xy yz xy xy yz xy
------++=⋅⋅++++++
例3：（1995数学冬令营试题5） 设012i x .i ,,,n >=且11n x x ++=
证明：1
112
n
i i
i n
x x x π
=-≤
≤
+
+⋅+
+
12n
a a a n
+++≤
证
()111111i i n i x x x x x x --+++⋅+=
++
+11122
n x x π
+++≤
== 1
1
1n
n i i i i n
x x x x ==∴≥=+
+⋅+
+∑
关于第二不等式证明：令102
i i i i ;sin x x ,.π
θθθ=++<≤
0120i ,,
,n..θ==
故有：012102
n n .π
θθθθθ-=<<<<<=
11i i n
x x x sin -=
+
+⋅+
++1
1
i i i sin sin cos θθθ---=
1
1
1
1
11
22
2
202
2
2
i i i i i i i i i i cos sin
sin
(
,y cos (,))
cos θθθθθθθθπ
θθθθ------++⋅-+=
<>=∈在上单调减 102
i i (sin ,(,
))π
θθααα-<-<∈
∴()111
1
12
n
n
i i i i i i i i n
x x x π
θθθθ--==-≤-=-=
+
+⋅+
+∑
故原式成立。

例4：（北京IMO 集训班试题，1990）
求满足方程组33
3434343y x x
z y y x z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩
的实数()x,y,z 。

分析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦式，故有三角法。

解：首先证明，1x .≤
否则1x .>则由(
)
2
43y x x =-推出y x >
同理：z y ,x z >>矛盾，因此，设0x cos ,θθπ=≤≤ 则3
433927y cos cos cos .z cos ,x cos .θθθθθ=-===
θ∴是方程270cos cos θθ-=的解。

即θ满足13140sin sin .θθ⋅=
θ∴在[]0,π上有27个解，即：0121313
k
,k ,,,,.θπ==
()()39x,y,z cos ,cos ,cos .θθθ∴=其中13k πθ=
或0121314
k ,k ,,,,.π= 例5：已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>,A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴
相交于一点()00P x ,.，证明：2222
0a b a b x .a a
---<< 分析：证明变量0x 的范围,0x 是由A ，B 坐标确定的，问题相当于确立函数的值域，故设法求出0x 的表达式。

解：设A ()acos ,bsin ,αα()B acos ,bcos .ββ由条件有PA PB .= 即：()()()()2
2
2
2
0000acos x acos acos x b sin ααββ-+-=-+-
()()()222202cos cos ax a b cos cos .αβαβ⇒-=--
()0cos cos .AB x .αβ-≠⊥否则轴，无交点
()22
02a b x cos cos a
αβ-∴=+
又
22cos cos .αβ-<+<
∴2222
0a b a b x .a a
---<< 总之，在解决问题的过程中，我们既应善于对未知结论或已知条件进行变形，又应善于
对整个问题进行变形，一言蔽之，就是应当用变化的观点，而不要用静止的眼光来看待问题。