2016-2017学年吉林省实验中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年吉林省实验中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）函数y＝cos（2x﹣）是（）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，﹣2），且⊥，则|+|＝（）A．5B．C．4D．
4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣4）]＝（）
A．﹣4B．4C．D．
5．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝2a1，则的值为（）A．B．C．D．
6．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝（）
A．3B．4C．5D．6
7．（5分）函数f（x）＝（x2﹣9）的单调递增区间为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）8．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
9．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）
A．8B．C．10D．
10．（5分）直线（m+1）x+（m﹣1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
11．（5分）设x，y满足条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）
A．B．C．D．4
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f（）＞f（﹣1）＞0，则函数f（x）的零点个数是（）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）要从165个人中抽取15人进行身体检查，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这165人中老年人的人数为22人，则老年人中被抽到参加健康检查的人数是．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣，3sin A ＝2sin B，则c＝．
15．（5分）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上是减函数．若f（1﹣m）
＜f（m），则实数m的取值范围是．
16．（5分）如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以
上四个命题中，正确命题的序号是．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x+2，记函数f（x）的最小正周期为β，＝（2，cosα），＝（1，tan（α+））（0＜α＜），且•＝．
（1）求f（x）在区间[，]上的最值；
（2）求的值．
18．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}为等比数列．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和．
19．（12分）某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）求高三（1）班全体女生的人数；
（2）求分数在[80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的
高；
（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD ＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．
（1）求证：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求点A到平面BDE的距离．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在
以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．22．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年吉林省实验中学高二（下）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，
B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}＝{0，1}，
∴A∪B＝{0，1，2，3}．
故选：C．
2．【解答】解：函数y＝cos（2x﹣）＝cos（﹣2x）＝﹣sin2x，
所以函数y是最小正周期为π的奇函数．
故选：C．
3．【解答】解：向量＝（1，2），＝（x，﹣2），
且⊥，
∴x+2×（﹣2）＝0，
解得x＝4；
∴+＝（5，0），
∴|+|＝5．
故选：A．
4．【解答】解：∵﹣4＜0，∴f（﹣4）＝＝24＝16，
16＞0，f（16）＝＝4．
即f[f（﹣4）]＝f（16）＝4
故选：B．
5．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝2a1，
∴a3＝a1+2d＝2a1，∴a1＝2d，
∴a n＝2d+（n﹣1）d＝（n+1）d，
∴＝＝
故选：C．
6．【解答】解：模拟执行程序，可得
a＝4，b＝6，n＝0，s＝0
执行循环体，a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1
不满足条件s＞16，执行循环体，a＝﹣2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2
不满足条件s＞16，执行循环体，a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3
不满足条件s＞16，执行循环体，a＝﹣2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4
满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
7．【解答】解：由x2﹣9＞0解得x＞3或x＜﹣3，即函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣3}，设t＝x2﹣9，则函数y＝t为减函数，
根据复合函数单调性之间的关系知要求函数f（x）的单调递增区间，
即求函数t＝x2﹣9的递减区间，
∵t＝x2﹣9，递减区间为（﹣∞，﹣3），
则函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣3），
故选：D．
8．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D．
9．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，
显然面积的最大值，10．
故选：C．
10．【解答】解：由，
得（2m2+2）y2+2（m﹣1）2y﹣4m＝0，
故△＝4[（m﹣1）4+4m（2m2+2）]＝4（m+1）4≥0，
故直线和圆相切或相交，
故选：D．
11．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by＝z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2＝0与直线3x﹣y﹣6＝0的交点（4，6）时，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
∴4a+6b＝12，即2a+3b＝6，
∴＝（）×＝（12+）≥4
当且仅当时，的最小值为4
故选：D．
12．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，可知f（0）＝0，
又由f（）＞f（﹣1）＞0，即f（）＞0＞f（1），即函数在（，1）上存在一个零点，
又由函数在区间（0，+∞）上单调递减，则函数在（0，+∞）上有且仅有一个零点；
根据奇函数的对称性，函数在（﹣∞，0）上也只有一个零点，
综合可得：函数f（x）有3个零点；
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于＝，若这165人中老年人的人数为22人，则老年人中被抽到参加健康检查的人数是22×＝2，
故答案为2．
14．【解答】解：∵3sin A＝2sin B，
∴由正弦定理可得：3a＝2b，
∵a＝2，
∴可解得b＝3，
又∵cos C＝﹣，
∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4+9﹣2×＝16，
∴解得：c＝4．
故答案为：4．
15．【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，
则f（1﹣m）＝f（|1﹣m|），f（m）＝f（|m|），
又由函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，
若f（1﹣m）＜f（m），即f（|1﹣m|）＜f（|m|），
则有，
解可得﹣1≤m＜；
故答案为：﹣1≤m＜．
16．【解答】解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：
对于①，G、H分别为DE、BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；
对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）；
对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，
而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．
综上所述，正确命题的序号是②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x﹣cos x+2
＝2（sin x﹣cos x）+2＝2sin（x﹣）+2，
由x∈[，]，则x﹣∈[，π]，
sin（x﹣）∈[0，1]，
当x＝时，f（x）取得最小值2，
当x＝时，f（x）取得最大值4；
（2）∵f（x）＝2sin（x﹣）+2，f（x）的周期T＝2π，∴β＝2π，
由此可得•＝，则2+cosα•tan（α+π）＝，
2+cosα•tanα＝即有cosα•＝，
可得sinα＝．
∴＝
＝＝＝2cosα，
∵0＜α＜，可得cosα＝＝，
∴＝2cosα＝．
18．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，
∴3+3d＝12，解得d＝3，
∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n．
设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则
q3＝＝＝8，∴q＝2，
∴b n﹣a n＝（b1﹣a1）q n﹣1＝2n﹣1，
∴b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．
（2）由（1）知b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．
∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×＝2n﹣1，
∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．
19．【解答】解：（1）由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2．
由频率分布直方图知：分数在[50，60）之间的频率为0.008×10＝0.08．
∴全班人数为＝25人．
（2）∵分数在[80，90）之间的人数为25﹣2﹣7﹣10﹣2＝4人
∴分数在[80，90）之间的频率为＝0.16，
∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为＝0.016．
（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4；
[90，100]之间的2个分数编号为5，6．
则在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个．
至少有一个在[90，100]之间的基本事件有（1，5）（1，6）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共9个，
∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，∴BD＝，
∵BC＝7，CD＝6，
∴BD2+CD2＝BC2，得BD⊥CD，
∵BE＝7，DE＝6，
∴BD2+DE2＝BE2，得BD⊥DE．
∵DE∩CD＝D，DE⊂平面DEC，CD⊂平面DEC，
∴BD⊥平面DEC．
∵BD⊂平面BDE，∴平面DEC⊥平面BDE；
（2）解：如图，取CD的中点O，连接OE，
∵△DCE是边长为6的正三角形，∴EO⊥CD，且EO＝3，
由（1）知，BD⊥平面DEC，
∴平面BDC⊥平面DEC，则EO⊥平面ABCD，
则V E﹣ABD＝××2×3×3＝3，
又∵直角三角形BDE的面积为×6×＝3，
设点A到平面BDE的距离为h，则由V E﹣ABD＝V A﹣BDE，
得×3h＝3，解得h＝，
∴点A到平面BDE的距离为．
21．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣＝0﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣2分
又由得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2＝5，即t2﹣3t+4＝0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2＝3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．22．【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，
解得a﹣3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以解得a＝2．（6分）
（2）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|．
设g（x）＝f（x）+f（x+5），
于是
所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；
当﹣3≤x≤2时，g（x）＝5；
当x＞2时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m
即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）。