高三(文科)数学解答题专项训练(6)(函数与导数参考答案)

高三（文科）数学解答题专项训练（6）
（函数与导数参考答案）
1．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21
102
f x -≤≤- 分析（I ）()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、
1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有
()10f '-≥，
()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有
右图中阴影部分即是满足这
些条件的点(),b c 的区域。

(II)解： 由题意有()22223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．① 又()32222233f x x bx cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 消去b 可得()32221
32
2
c
f x x x =-+
． 又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈- 2110()2
f x ∴-≤≤-
2．已知函数321()(2)13
f x ax bx b x =-+-+
在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；
（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．
（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是
()0f x '=的两个根．
所以12()()()f x a x x x x '=--
当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．
（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即20
2204420b a b b a b b ->⎧⎪
-+-<⎨⎪-+->⎩．
化简得20
3204520b a b a b ->⎧⎪
-+<⎨⎪-+>⎩
．
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：
203204520b a b a b -=-+=-+=，，．
所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46
(22)(42)77
A B C ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，，，，
，． z 在这三点的值依次为
16687
，，． 所以z 的取值范围为16
87⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
3．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且
(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明FM AB 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．
b
a 2 1 2 4
O
4677A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， (42)C ，
(22)B ，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
，即得(－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，
⎩
⎨⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22
代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1
λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －1
4x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 2
2，－1)． 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12
)－2(14x 22－14x 12)＝0，即FM →·AB →为定值，其值为0．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2|AB ||FM |． |FM |＝(x 1＋x 2
2)2＋(－2)2＝
14x 12＋14x 22＋1
2x 1x 2＋4 ＝
y 1＋y 2＋1
2×(－4)＋4＝
λ＋1λ＋2＝λ＋1λ
．
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S ＝1
2|AB ||FM |＝
(λ＋
1λ)3，由λ＋1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．
4．设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点． 解：⑴令2()3210f x x x '=--=得：121,13
x x =-=. 又∵当x ∈(-∞, 13
-)时, ()f x '>0; 当x ∈(13
-,1)时, ()f x '<0; 当x ∈(1,+∞)时, ()f x '>0
∴113
x =-与21x =分别为()f x 的极大值与极小值点. ∴()f x 极大值=15
()3
27
f a -=+
; ()f x 极小值=a - ⑵∵()f x 在(-∞, 13-)上单调递增, ∴当x →-∞时,()f x →-∞; 又()f x 在(1,+∞)单调递增， 当x →+∞时, ()f x →+∞∴当()f x 极大值<0或()f x 极小值>0时，曲线()f x 与x 轴仅有一个交点. 即5027a +<或1a ->0, ∴a ∈(-∞, 5
27
-)∪(1,+∞)
5．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，
，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，
所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为
(1)(9)-∞-+∞，，．
6．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值． （1）求a b ，的值及函数()f x 的单调区间；
（2）若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x 2＋2ax ＋b 由f '（2
3
－）＝
124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝1
2
－，b ＝－2 f '（x ）＝3x 2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3
）与（1，＋∞） 递减区间是（－23
，1）
（2）f （x ）＝x 3－1
2x 2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝
2227
＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。

要使f （x ）<c 2（x ∈〔－1，2〕）恒成立，只需c 2>f （2）＝2＋c 解得c <－1或c >2
7．设R a ∈,函数233)(x ax x f -=.
（Ⅰ）若2=x 是函数的极值点,求a 的值；
（Ⅱ）若函数)()()(x f x f x g '+=,]2,0[∈x ,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围. 解：
8．设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，
{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

解：由f （x ）为二次函数知0a ≠
令f （x ）＝0解得其两根为1211x x a a ==+由此可知120,0x x <>
（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>
A B φ
⋂≠的充要条件是23x <，即
13a <解得67
a > （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<
A B φ
⋂≠的充要条件是21x >，即
11a >解得2a <- 综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6
(,2)(,)
7-∞-⋃+∞
9．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在实数,m 使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),
∴可设()(5)(0).f x ax x a =->
()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=
由已知，得612,a = 2,a ∴= 2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈
（II ）方程37
()0f x x
+
=等价于方程32210370.x x -+=
设32()21037,h x x x =-+ 则2'()6202(310).h x x x x x =-=-
当10
(0,
)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10
(,)3
x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。

101
(3)10,()0,(4)50,327
h h h =>=-<=>
∴方程()0h x =在区间1010
(3,),(,4)33
内分别有惟一实数根，而在区间
(0,3),(4,)+∞内没有实数根，
所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。