配套K12高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学案苏教版选修2_2

1.3.3 最大值与最小值
1．最大值与最小值
(1)如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有______________，则称f (x 0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值________．
(2)如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有____________，则称f (x 0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值________．
2．求f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求f (x )在区间(a ，b )上的________；
(2)将第(1)步中求得的________与______，______比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．
预习交流1
做一做：函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π的最大值是______． 预习交流2
做一做：函数f (x )＝x 3
－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为______．
预习交流3
(1)函数的极值与最值有何区别与联系？
(2)如果函数f (x )在开区间(a ，b )上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a ，b )上是否一定有最值？若f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象不连续，那么它在[a
，b ]上是否一定有最值？
预习导引
1．(1)f (x )≤f (x 0) 惟一 (2)f (x )≥f (x 0) 惟一 2．(1)极值 (2)极值 f (a ) f (b )
预习交流1：提示：∵y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上是增函数，∴y
max
＝π.
预习交流2：提示：∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2
－a )， f (x )在(0,1)内有最小值，
∴方程x 2
－a ＝0有一根在(0,1)内，即x ＝a 在(0,1)内，∴0＜a ＜1,0＜a ＜1. 预习交流3：提示：(1)①函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．
②函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．
③极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值．
(2)一般地，若函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么f (x )在闭区间[a ，b ]上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．
一、求函数在闭区间上的最值
求下列函数的最值：
(1)f (x )＝－x 3
＋3x ，x ∈[－3，3]；
(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2. 思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解．
1．函数f (x )＝x 3
－2x 2
＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值分别是__________．
2．求函数y ＝5－36x ＋3x 2＋4x 3
在区间[－2,2]上的最大值与最小值．
1．求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的
点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．
2．求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论．
二、与最值有关的参数问题的求解
已知当a ＞0时，函数f (x )＝ax 3－6ax 2
＋b 在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．
思路分析：先求出函数f (x )在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a ，b 的方程组，从而求出a ，b 的值．
若函数f (x )＝－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a 在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
1．已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函
数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．
2．含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件a ＞0，从而判断出f (2)是最小值．若题目条件中没有“a ＞0”这一条件，需要对a 进行分类讨论，以便确定函数f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．
三、函数最大值、最小值的参数应用
设函数f (x )＝tx 2
＋2t 2
x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)．
(1)求函数f (x )的最小值h (t )；
(2)由(1)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．
思路分析：第(1)小题可通过配方法求f (x )的最小值；第(2)小题由h (t )＜－2t ＋m ，得h (t )＋2t ＜m ，可转化为函数g (t )＝h (t )＋2t 在区间(0,2)上的最大值小于m 时，实数m 的取值范围的问题．
若不等式x 3
－x
2
2－2x ＋5＞m 对一切x ∈[－1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
1．当不等式恒成立时，求参数的取值范围问题是一种常见的题型．这
种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．
2．一般地，若不等式a ≥f (x )恒成立，a 的取值范围是a ≥f (x )m ax ；若不等式a ≤f (x )恒成立，则a 的取值范围是a ≤f (x )min .
1．函数f (x )＝x 2
－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是__________．
2．函数f (x )＝x 3－3x 2
＋2在区间[－1,1]上的最大值是__________．
3．函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π
3处有极值，那么a ＝______.
4．函数f (x )＝sin 2
x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，0上的最大值是______，最小值是______．
5．若函数f (x )＝－x 2
－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154
，则实数a 的值为________．
活动与探究1：解：(1)f ′(x )＝－3x 2
＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1.
当x ＝1时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f (1)＝2.
当x ＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (－1)＝－2. (2)f ′(x )＝2cos 2x －1，
令f ′(x )＝0得x ＝－π6或x ＝π
6
.
当x ＝－π2时f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π
2，
当x ＝π2时f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 迁移与应用：
1．1，－2 解析：f ′(x )＝3x 2－4x .令f ′(x )＝0，有3x 2
－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43
.
2．解：y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令12x 2
＋6x －36＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32
.
所以f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－2834，f (2)＝－23. 所以函数的最大值为57，最小值为－283
4.
活动与探究2：解：∵f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＝3ax (x －4)， 由f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝4. ∴在区间[－1,2]上x ＝0是极值点． 由于a ＞0，
∴当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤2时，f ′(x )＜0.
∴f (x )在区间[－1,0]上是增函数， 在区间[0,2]上是减函数．
∴f (0)＝b 为极大值，也是最大值． 又f (－1)＝－a －6a ＋b ＝－7a ＋b ， f (2)＝8a －24a ＋b ＝－16a ＋b ， ∴f (－1)＞f (2)，
∴f (0)为最大值，f (2)为最小值， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
f (0)＝b ＝3，f (2)＝－16a ＋b ＝－29， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝3.
迁移与应用：
解：f ′(x )＝－3x 2
＋6x ＋9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或3，但x ∈[－2,2]，故只取x ＝－1.
当－2＜x ＜－1时，f ′(x )＜0； 当－1＜x ＜2时，f ′(x )＞0.
∴x ＝－1是函数f (x )的极小值点，该极小值也就是函数f (x )在[－2,2]上的最小值，即f (x )min ＝f (－1)＝a －5.
又函数f (x )的区间端点值为
f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝a ＋22， f (－2)＝8＋12－18＋a ＝a ＋2， ∵a ＋22＞a ＋2，
∴f (x )max ＝a ＋22＝20，∴a ＝－2. 此时f (x )min ＝a －5＝－7.
活动与探究3：解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3
＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，
∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3
＋t －1，
即h (t )＝－t 3
＋t －1.
(2)令g (t )＝h (t )－(－2t )＝－t 3
＋3t －1，
由g ′(t )＝－3t 2
＋3＝0，及t ＞0得t ＝1.
当t 变化时，g ′(
由上表可知当t ＝1又在定义域(0,2)内，g (t )有惟一极值点，
∴函数g (t )的极大值也就是g (t )在定义域(0,2)内的最大值g (t )max ＝1. h (t )＜－2t ＋m 在(0,2)内恒成立，即g (t )＜m 在(0,2)内恒成立， 当且仅当g (t )max ＝1＜m ，即m ＞1时上式成立．
∴实数m 的取值范围是(1，＋∞)． 迁移与应用：
解：令f (x )＝x 3
－x 2
2－2x ＋5，
则f ′(x )＝3x 2
－x －2. 令f ′(x )＝0，
即3x 2
－x －2＝0，
解得x ＝－2
3
或x ＝1，
∵f (－1)＝112，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝52227
，f (1)＝7
2，f (2)＝7，
∴当x ∈[－1,2]时函数f (x )的最小值为7
2.
故要使不等式f (x )＞m 恒成立，应有m ＜7
2
，
即m 的取值范围是m ＜7
2
.
当堂检测
1．6，－3 解析：f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0得x ＝2.又f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6，故最大值是f (5)，最小值是f (2)．
2．2 解析：f ′(x )＝3x 2
－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0(x ＝2舍去)，计算f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0，比较得f (x )的最大值是2.
3．2 解析：∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，则f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝a ·12＋cos π＝a 2－1＝0，∴a ＝2.
4．1
2
0 解析：f ′(x )＝2sin x ·cos x ＝sin 2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝1
2
，f (0)＝0，
∴f (x )max ＝1
2
，f (x )min ＝0.
5．－1
2 解析：f ′(x )＝－2x －2，当a ≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1≤a ≤2
时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2
－2a ＋3＝154，解得a ＝－12，或a ＝－32
(舍去)．。