学案9：2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）

2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）教材新知
提出问题
图中椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
导入新知
椭圆的简单几何性质
x2y2y2x2
化解疑难
1．由不等式x2
a2＝1－y2
b2≤1可得|x|≤a，由y2
b2＝1－
x2
a2≤1可得|y|≤b，从而可得椭圆的范围．
2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.
3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b ＝a2－c2越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.常考题型
题型一椭圆的几何性质
例1求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
类题通法
求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
活学活用
已知椭圆C1：x2
100＋y2
64＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
题型二利用椭圆的几何性质求其标准方程
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是4
5
；
(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 类题通法
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置．
②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝c
a
等．
(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个． 活学活用
求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率e ＝
22
； (2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．
题型三 椭圆的离心率
例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
类题通法
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝c
a 求解；
(2)若已知a ，b ，则由e ＝
1－⎝⎛⎭⎫b a 2求解；
(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． 活学活用
若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.6
4 随堂即时演练
1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( )
A.x 281＋y 2
72
＝1 B.x 281＋y 2
9
＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 2
36
＝1 2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)( )
A ．有相同的长轴
B ．有相同的短轴
C ．有相同的焦点
D ．有相等的离心率
3．椭圆x 2＋4y 2＝16的短轴长为________．
4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心
率e＝________.
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为
3
2，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为
12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
参考答案
教材新知
提出问题
问题1：提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
问题2： 提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．
问题3：提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]． 问题4：提示：b 越小，椭圆越扁． 常考题型
题型一 椭圆的几何性质
例1 解：椭圆方程变形为x 29＋y 2
4＝1，
∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝
a 2－
b 2＝9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，
顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝5
3.
活学活用
解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 2
64＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，
离心率e ＝3
5
.
(2)椭圆C 2：y 2100＋x 2
64
＝1，
性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝3
5
.
题型二 利用椭圆的几何性质求其标准方程
例2 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝c a ＝4
5，∴c ＝4.
∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2
9
＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，
且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 2
9＝1.
活学活用
解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
c a ＝2
2，
2b ＝2，
解得a ＝2，b ＝1，
因此，椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x
2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝5×2b ，25a 2＋0
b 2＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝5，
b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 2
25
＋y 2＝1；
若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＝5×2b ，0a 2＋25
b 2＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝25，
b ＝5.
故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 2
25
＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2
＝1或y 2625＋x 2
25＝1.
题型三 椭圆的离心率
例3 解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2
a . ∵△PF 1O ∽△BOA ，
∴PF 1BO ＝F 1O
OA ，∴b 2
a b ＝c a ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.
活学活用 【答案】A
【解析】依题意，△BF 1F 2是正三角形．
∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ， ∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12. 随堂即时演练 1．【答案】A
【解析】因为2a ＝18,2c ＝1
3×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.
2．【答案】C
【解析】25－9＝(25－k )－(9－k )，故两椭圆有相同的焦点． 3．【答案】4
【解析】由x 216＋y 2
4＝1可知b ＝2，
∴短轴长2b ＝4. 4．【答案】25
5
【解析】由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5. ∴e ＝c a ＝255
.
5．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12， ∴2a
＝12，即a ＝6.
∵椭圆的离心率为
3 2，
∴e＝c
a＝a2－b2
a＝
36－b2
6＝
3
2，
∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为x2
36＋
y2
9＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，
可设椭圆的标准方程为y2
a2＋x2
b2＝1(a＞b＞0)，
则b＝9.
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
∴椭圆的标准方程为y2
130＋x2
81＝1.。