弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
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2 故该扇形的面积的最大值为245cm2，取得最大值时圆心角为 2 rad，弧长为 5 cm.
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
跟踪训练3
已知扇形 AOB 的周长为 10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心
角的大小及弧长． 解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，面积为 S， 由 l＋2r＝10 得 l＝10－2r， S＝12lr＝12(10－2r)·r＝5r－r2＝－r－522＋245，0<r<5. 当 r＝52时，S 取得最大值245， 这时 l＝10－2×52＝5，∴θ＝rl＝55＝2.
5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制
学习目标
素养目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行 正确的转换． 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集 一一对应关系． 3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公 式.
学科素养
1.直观想象 2.数学运算
自主学习
一．度量角的两种单位制
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
总结
角度制与弧度制互化的关键与方法 1.关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键； 2.方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×18π0°＝度数； 3.角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
跟踪训练1
(1)已知 α＝15°，β＝1π0，γ＝1，θ＝105°，φ＝172π，试比较它们的大小．
故终边落在阴影部分的角 θ 的集合为θ－π6＋2kπ≤θ≤34π＋2kπ，k∈Z
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
例 3 (1)求半径为 2，圆心角为53π的圆弧的长度．
(2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解：(1)∵半径 R＝2，圆心角 α＝53π， ∴弧长 l＝|α|·R＝103π.
课后作业
对应课后练习
1°＝1π80 rad≈0.017 45 rad
弧度化角度
2π rad＝360° π rad＝ 180°
1 rad＝(18π0)°≈57.30°
自主学习
5.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 0
度
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
2π
自主学习
6.角的集合与实数集 R 的关系
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的
关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应； 反过来，每一个实数也都有 唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对
自主学习
思考 2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的 图形是否也类似？
扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是 一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.
小试牛刀
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 弧度的角大于 1 度的角. ( √ ) (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( √ ) (3)1 弧度的角是周角的3160. ( × ) (4)与 45°终边相同的角可以写成 α＝2kπ＋45°，k∈Z.( × )
当堂达标
2.(多选)下列与94π的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360பைடு நூலகம்－315°(k∈Z)
D.2kπ＋π4(k∈Z)
CD 解析：A、B 中弧度与角度混用，不正确； 94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同. －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与 45°终边相同，即与94π终边相同.
当堂达标
5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，
即－34π，60°角的终边即3π的终边，
∴所求集合α2kπ－34π＜α＜2kπ＋π3，k∈Z
.
对于题图(2)，同理可得，所求集合为
α2kπ＋π6＜α≤2kπ＋2π，k∈Z
∪α2kπ＋π＋π6＜α≤2kπ＋π＋2π，k∈Z
＝αkπ＋π6＜α≤kπ＋2π，k∈Z
.
当堂达标
6.已知扇形 OAB 的周长是 60 cm，求扇形 OAB 的最大面积及此时弧长 AB.
解：设弧长为 l，半径为 r，由已知 l＋2r＝60， 所以 l＝60－2r，|α|＝rl＝60－r 2r， 从而 S＝12|α|r2＝12·60－r 2r·r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225， 当 r＝15 时，S 取最大值为 225，这时圆心角 α＝rl＝60－r 2r＝2 rad， 可得弧长 AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．
(2)把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解析：(1)法一：(化为弧度)：
法二：(化为角度)：
α＝15°＝15×18π0＝1π2，
β＝1π0＝1π0×(18π0)°＝18°，γ＝1≈57.30°，
θ＝105°＝105×1π80＝71π2，
φ＝172π×(18π0)°＝105°.
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，所对圆心角为 α(0<α<2π)．
2r＋l＝10，
r＝1， r＝4，
则12rl＝4，
解得l＝8， 或l＝2.
当 r＝1 时，l＝8，此时 α＝rl＝8(rad)>2π，不符合，舍去；
当 r＝4 时，l＝2，此时 α＝rl＝24＝12(rad)．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
例 2 将－1125°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π.并判断它是第几象 限角？
解：－1 125°＝－1 125×1π80＝－245π＝－8π＋74π. 其中32π<74π<2π，因为74π是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.
经典例题
应，如图．
自主学习
二．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
1.弧长公式：l＝ αR .
2.扇形面积公式：S＝
1
2lR ＝
12αR2 .
注意：(1)α 为弧度制． (2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l＝|α|·r，|α|＝rl，r＝|αl |；②S＝12|α|r2，|α|＝2rS2 .
2.2 rad 的角的终边在( )
A．第一象限 √B．第二象限
C．第三象限
3.半径为 2，圆心角为π6的扇形的面积是________．
π 3
解析：由已知得 S 扇＝12×π6×22＝3π.
D．第四象限
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
例 1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. 解：(1)20°＝2108π0＝9π. (2)－15°＝－1158π0＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
∴所求圆心角的弧度数为12rad.
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
总结
弧度制下解决扇形相关问题的步骤 1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12αr2 和 S＝12lr. (这里 α 必须是弧度制下的角) 2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． 3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 注意：看清角的度量制，恰当选用公式．
题型二 用弧度制表示终边相同的角
总结 1.弧度制下与角 α 终边相同的角的表示
在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}，即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍． 2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角．
对值是|α|＝ r . 这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
自主学习
思考 1：比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？
一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定 的，与半径大小无关．
自主学习
4.弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝ 2π rad
180°＝ π rad
当堂达标
3.－135°化为弧度为______，113π化为角度为________.
－34π 660° 解析：－135°＝－135×1π80＝－34π；131π＝131×180°＝660°.
当堂达标
4.已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形的面积为________ cm2.
4 解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8， 解得 r＝2，则 l＝4. 故扇形的面积 S＝12lr＝12×4×2＝4 cm2.
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
跟踪训练3
已知扇形 AOB 的周长为 10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心
角的大小及弧长． 解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，面积为 S， 由 l＋2r＝10 得 l＝10－2r， S＝12lr＝12(10－2r)·r＝5r－r2＝－r－522＋245，0<r<5. 当 r＝52时，S 取得最大值245， 这时 l＝10－2×52＝5，∴θ＝rl＝55＝2.
5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制
学习目标
素养目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行 正确的转换． 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集 一一对应关系． 3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公 式.
学科素养
1.直观想象 2.数学运算
自主学习
一．度量角的两种单位制
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
总结
角度制与弧度制互化的关键与方法 1.关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键； 2.方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×18π0°＝度数； 3.角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
跟踪训练1
(1)已知 α＝15°，β＝1π0，γ＝1，θ＝105°，φ＝172π，试比较它们的大小．
故终边落在阴影部分的角 θ 的集合为θ－π6＋2kπ≤θ≤34π＋2kπ，k∈Z
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
例 3 (1)求半径为 2，圆心角为53π的圆弧的长度．
(2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解：(1)∵半径 R＝2，圆心角 α＝53π， ∴弧长 l＝|α|·R＝103π.
课后作业
对应课后练习
1°＝1π80 rad≈0.017 45 rad
弧度化角度
2π rad＝360° π rad＝ 180°
1 rad＝(18π0)°≈57.30°
自主学习
5.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 0
度
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
2π
自主学习
6.角的集合与实数集 R 的关系
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的
关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应； 反过来，每一个实数也都有 唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对
自主学习
思考 2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的 图形是否也类似？
扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是 一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.
小试牛刀
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 弧度的角大于 1 度的角. ( √ ) (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( √ ) (3)1 弧度的角是周角的3160. ( × ) (4)与 45°终边相同的角可以写成 α＝2kπ＋45°，k∈Z.( × )
当堂达标
2.(多选)下列与94π的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360பைடு நூலகம்－315°(k∈Z)
D.2kπ＋π4(k∈Z)
CD 解析：A、B 中弧度与角度混用，不正确； 94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同. －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与 45°终边相同，即与94π终边相同.
当堂达标
5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，
即－34π，60°角的终边即3π的终边，
∴所求集合α2kπ－34π＜α＜2kπ＋π3，k∈Z
.
对于题图(2)，同理可得，所求集合为
α2kπ＋π6＜α≤2kπ＋2π，k∈Z
∪α2kπ＋π＋π6＜α≤2kπ＋π＋2π，k∈Z
＝αkπ＋π6＜α≤kπ＋2π，k∈Z
.
当堂达标
6.已知扇形 OAB 的周长是 60 cm，求扇形 OAB 的最大面积及此时弧长 AB.
解：设弧长为 l，半径为 r，由已知 l＋2r＝60， 所以 l＝60－2r，|α|＝rl＝60－r 2r， 从而 S＝12|α|r2＝12·60－r 2r·r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225， 当 r＝15 时，S 取最大值为 225，这时圆心角 α＝rl＝60－r 2r＝2 rad， 可得弧长 AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．
(2)把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解析：(1)法一：(化为弧度)：
法二：(化为角度)：
α＝15°＝15×18π0＝1π2，
β＝1π0＝1π0×(18π0)°＝18°，γ＝1≈57.30°，
θ＝105°＝105×1π80＝71π2，
φ＝172π×(18π0)°＝105°.
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，所对圆心角为 α(0<α<2π)．
2r＋l＝10，
r＝1， r＝4，
则12rl＝4，
解得l＝8， 或l＝2.
当 r＝1 时，l＝8，此时 α＝rl＝8(rad)>2π，不符合，舍去；
当 r＝4 时，l＝2，此时 α＝rl＝24＝12(rad)．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
例 2 将－1125°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π.并判断它是第几象 限角？
解：－1 125°＝－1 125×1π80＝－245π＝－8π＋74π. 其中32π<74π<2π，因为74π是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.
经典例题
应，如图．
自主学习
二．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
1.弧长公式：l＝ αR .
2.扇形面积公式：S＝
1
2lR ＝
12αR2 .
注意：(1)α 为弧度制． (2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l＝|α|·r，|α|＝rl，r＝|αl |；②S＝12|α|r2，|α|＝2rS2 .
2.2 rad 的角的终边在( )
A．第一象限 √B．第二象限
C．第三象限
3.半径为 2，圆心角为π6的扇形的面积是________．
π 3
解析：由已知得 S 扇＝12×π6×22＝3π.
D．第四象限
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
例 1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. 解：(1)20°＝2108π0＝9π. (2)－15°＝－1158π0＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
∴所求圆心角的弧度数为12rad.
经典例题
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
总结
弧度制下解决扇形相关问题的步骤 1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12αr2 和 S＝12lr. (这里 α 必须是弧度制下的角) 2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． 3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 注意：看清角的度量制，恰当选用公式．
题型二 用弧度制表示终边相同的角
总结 1.弧度制下与角 α 终边相同的角的表示
在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}，即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍． 2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角．
对值是|α|＝ r . 这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
自主学习
思考 1：比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？
一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定 的，与半径大小无关．
自主学习
4.弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝ 2π rad
180°＝ π rad
当堂达标
3.－135°化为弧度为______，113π化为角度为________.
－34π 660° 解析：－135°＝－135×1π80＝－34π；131π＝131×180°＝660°.
当堂达标
4.已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形的面积为________ cm2.
4 解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad， 依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l＋2r＝4r＝8， 解得 r＝2，则 l＝4. 故扇形的面积 S＝12lr＝12×4×2＝4 cm2.