宁夏银川市2019届高三教学质量检测数学(理)试卷(含答案)

1-11.BBACA DCDAB CB
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.函数1)(-=x e x f 在)1,1(处切线方程是_____y=x _____．
14.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，定点)22,0(A ，过点P 作轴y PQ ⊥于点Q ，则PQ PA +的最小值是 2
15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点),(n a n （*∈N n ）在直线x y 2=上，则数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和
为 1
+n n 16.已知球O 的内接圆锥体积为
32π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 π425 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在平面四边形ABCD 中，已知4
3π=∠ABC , AD AB ⊥, 1=AB .
（1）若5=AC ,求ABC ∆的面积；
（2）若5
52sin =∠CAD ，4=AD ,求CD 的长． 【解析】：（1）在ABC ∆中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=2222
BC BC ⋅++=2152 0422=-+⇒BC BC , 解得 2=BC
2
1222121sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∴∆ABC BC AB S ABC （2）552sin ,900=∠=∠CAD BAD Θ 552cos =∠∴BAC 5
5sin =∠BAC
)4sin(sin BAC BCA ∠-=∠∴π )sin (cos 22BAC BAC ∠-∠=10
10)55552(22=-= 在ABC ∆中，
BCA AB ABC AC ∠=∠sin sin , 5sin sin =∠∠⋅=∴BCA ABC AB AC CAD AD AC AD AC CD ∠⋅⋅-+=∴cos 2222135
5452165=⨯
⨯⨯-+= 13=∴CD
18．（本小题满分12分） 在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，调查语文和数学两科成绩的关系.
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布
直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
(3)如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文
特别优秀占样本人数的005，语文、数学两科都特别优秀
的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析
是否有0099的把握认为语文特别优秀的同学，数学也
特别优秀.
参考数据：①))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
②
【解析】：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样， 由题意，从示范性高中抽取405000
2000100=⨯
人 从非师范性高中抽取6050003000100=⨯人 （2）由频率分布直方图估算样本平均分为
4.9220)002.014000
5.012002.0100018.080005.060(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
推测估计本次检测全市学生数学平均分为4.92
（3）由题意，语文特别优秀学生有5人 ，数学特别优秀的学生有420002.0100=⨯⨯人 因为语文、数学都特别优秀的共有3人，故列联表如下：
2=∴K
所以有0099的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀
19.（本小题满分12分）
已知点)2,0(P ，点B A ,分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右顶点，直线BP 交C 于点Q ，ABP ∆是等腰直角三角形，且35
PQ PB =u u u r u u u r ． （1）求C 的方程；
（2）设过点P 的动直线l 与C 相交于N M ,两点，O 为坐标原点.当MON ∠为直角时，求直线l 的斜率.
【解析】：（1）由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a=2，B （2，0），
设Q （x 0，y 0），由35PQ PB =u u u r u u u r ，则0064,55
x y ==， 代入椭圆方程，解得b 2
=1，∴椭圆方程为2
214x y +=. （2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为y=kx+2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
则222,1.4
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：(1+4k 2)x 2+16kx+12=0， 由直线l 与E 有两个不同的交点，则△＞0，
即(16k)2﹣4×
12×(1+4k 2)＞0，解得234k >. 由韦达定理可知：121222
1612,1414k x x x x k k +=-=++. 当∠MON 能为直角时，1OM ON k k =-g ，即12120x x y y +=，
则x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)
=（1+k 2）x 1x 2+2k(x 1+x 2)+42221216(1)
2()401414k k k k k =++-+=++, 解得k 2=4，即2k =±.
综上可知，存在直线l 的斜率2k =±，使∠MON 为直角．
20.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆是等腰直角三角形，1==BC AC ，21=AA ,点D 是侧棱1AA 的上一点．
（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，BCD DC 平面⊥1； （2）若二面角C BC D --1的余弦值为29293，求AD 的长． 【解析】：（1）由题意:1CC BC AC BC ⊥⊥且 ,C CC AC =⋂1
11A ACC BC 平面⊥∴ 1DC BC ⊥∴
又的中点是1AA D Θ，AD AC =,且090=∠DAC A
C
B 1
B 1A D
1
C
045=∠∴ADC 同理01145=∠DC A
0190=∠∴DC C DC DC ⊥∴1
DCB DC 平面⊥∴1
(2)以C 为坐标原点，分别以1,,CC CB CA 为轴轴轴z y x ,,建立空间直角坐标系 设h AD =，则),0,1(h D ，)0,1,0(B ，)2,0,0(1C
由条件易知C BC CA 1平面⊥，故取)0,0,1(=为平面C BC 1的法向量 设平面1DBC 的法向量为),,(z y x =，则1BC ⊥⊥且
),1,1(h BD -=Θ，)2,1,0(1-=BC
⎩
⎨⎧=+-=+-∴020z y hz y x ，令h x y z -===2,2,1则
29
293cos ==∴，解得21=h ，即21=AD 21.（本小题满分12分）
已知函数ax x x x f +=ln )(在0x x =处取得极小值1-.
（1）求实数a 的值；
（2）设)0()()(>+=b b x xf x g ，讨论函数)(x g 的零点个数.
【解析】：(1)函数)(x f 的定义域为),0(+∞，a x x f ++='1ln )(
Θ函数ax x x x f +=ln )(在0x x =处取得极小值1-
⎩⎨⎧-=+='=++='∴1ln )(01ln )(000000ax x x x f a x x f 解得⎩⎨⎧=-=110x a
当1-=a 时，x x f ln )(='，则)1,0(∈x 时，0)(<'x f ，
当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f
)(x f ∴在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增
1=∴x 时，函数)(x f 取得极小值1-，1-=∴a
(2)由（1）知，函数)0(ln )()(22>+-=+=b b x x x b x xf x g
定义域为),0(+∞，)2
1(ln 2)(-='x x x g 令e x x g <<<'0,0)(得，令e x x g >>'得,0)(
)(x g ∴在),0(e 上单调递减，在),(+∞e 上单调递增， 当e x =时，函数)(x g 取得最小值2
e b - 当2,02e b e b >>-
即时，函数)(x g 没有零点； 当2,02e b e b ==-
即时，函数)(x g 有一个零点； 当2
0,02e b e b <<<-即时，0)(>=b e g 0)()(<⋅∴e g e g ∴存在),(1e e x ∈，使0)(1=x g )(x g ∴在),(e e 上有一个零点1x 设11ln )(-+=x x x h ，则22111)(x
x x x x h -=-='， 当)1,0(∈x 时，0)(<'x h )(x h ∴在)1,0(上单调递减
0)1()(=>∴h x h ，即当)1,0(∈x 时，x
x 11ln -> 当)1,0(∈x 时，x b b x x
x b x x x x g -=+-->+-=2222)11(ln )( 取{}1,min b x m =，则0)(>m x g 0)()(<⋅∴m x g e g
∴存在),(2e x x m ∈，使得0)(2=x g
)(x g ∴在),(e x m 上有一个零点2x
)(x g ∴在),0(+∞上有两个零点21,x x 综上可得，当2e b >
时，函数)(x g 没有零点； 当2
e b =时，函数)(x g 有一个零点；
当20e b <<时，函数)(x g 有两个零点； 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧=+=ααsin cos 1y x (α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8=⋅OB OA ，点B 的轨迹为2C . (1)求21,C C 的极坐标方程；
(2)设点C 的极坐标为)2,2(π
，求ABC ∆面积的最小值.
【解析】：
（1）∵曲线1C 的参数方程为（α为参数）， ∴曲线1C 的普通方程为0222=-+x y x ∴曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，
设点B 的极坐标为),(θρ,点A 的极坐标为),(00θρ
则ρ=OB ,0ρ=OA ,00cos 2θρ=，0θθ= ∵8=⋅OB OA ,80=⋅ρρ,
θρcos 28
=∴，4cos =θρ
∴2C 的极坐标方程为4cos =θρ．
（2）由题设知2=OC ,
θθρθρ2cos 24cos cos 2
1-=-⋅=-=∆∆∆A B OAC OBC ABC OC S S S 当0=θ时，ABC S ∆取得最小值为2．
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数112)(+--=x x x f 的最小值为t ．
(1)求实数t 的值；
(2)若1)()(++=x x f x g ，设0,0>>n m 且满足
0211=++t n
m ， 求证4)2()2(≥++n g m g ． 【解析】：（1）⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤-+--<+-=+--=)1(,3)11(,13)1(,3112)(x x x x x x x x x f
显然，)(x f 在(][)↑+∞↓∞-,1,1,2)1()(min -==∴f x f 2-=∴t
（2）121112)(-=+++--=x x x x x g
n m n m n g m g 22)121(2)2()2(+≥-++=++∴ 由于2211,0,0=+>>n
m n m 且 4222)211)(
2()2(222≥++=++=+=+∴n m m n n m n m n m n m 当且仅当n m m n 22=，即当1,2
1==m n 时取""= 故4)2()2(≥++n g m g。