直线的一般式方程

因为方程表示直线，所以 m2－3m＋2 与 m－2 不能同时为 0，故 m≠2．
(2)由直线的方程可求出斜率 k=－m2－m－3m2＋2＝1，解得 m＝0．
探究：课本P65
在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程表示的直线
k 0, y y0
y
y0
l
yAxC C BB B
l与x轴平行 B 0, A 0,C 0 x l与x轴重合 B 0, A 0,C 0
法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与直线l平行； (2)过点(－1,3)，且与直线l垂直
解（1）法一 l 的方程可化为 y＝－34x＋3，∴l 的斜率为－34. ∵l′与 l 平行，∴l′的斜率为－34. 又∵l′过点(－1,3) ∴由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
（1）已知直线 l
过点
A(5, 3)
，倾斜角为
2
，则直线 l
y 3 3(x 5)
方程为________________.
3
y 5x 3 （2）已知直线 l 过点 A(0, 3) ，斜率为 5 ，则直线 l 方程为________________.
y3 x5 （3）已知直线 l 过点 A(5, 3), B(6,1) ，则直线 l 方程为____1___3____6___5__.
点斜式
y y0 k(x x0 )
两个截距
截距式
x y 1 ab
最后都要化成一般式Ax+By+C=0(A, B不同时为0)
二、由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
例3 直线 l1 : A1x B1 y C1 0，l2 : A2 x B2 y C2 0
试讨论：(1) l1 // l2的条件是什么？
形式
条件
直线方程
应用范围
点斜式 斜截式 两点式 截距式
直线过点(x0, y0), 且斜率 为k 在y轴上的截距为b, 且 斜率为k
过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
过点P1(a,0), P2(0,b) (其 中a≠0, b≠0)
y y0 k( x x0 )
（4） x y 1 4x 3y 12 0 34
点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程形式都能够统一表达为 Ax By C 0 的形式
二元一次方程: Ax By C 0
思考1：所有的直线都可以用二元一次方程表示吗？
①倾斜角α≠90°，K存在
y y0 k(x x0 )
kx y ( y0 kx0 ) 0
k不存在，x x0
y
l
xByC C AA A
l与y轴平行 B 0, A 0,C 0
O x0 x l与y轴重合 B 0, A 0,C 0
课堂小结
斜率和一点坐标 点斜式
y y0 k(x x0 )
斜率k和截距b 斜截式 y kx b
两点坐标
两点式
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
不含与x轴垂 直的直线
不含与x轴垂 直的直线
不含与x, y轴 垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
都是关于x, y的二元一次方程
【探索】根据以下条件选择最合适的方程表示直线：
例2：把直线l 的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出l 的斜率以及它
在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
解 : 化成斜截式方程得，y 1 x+3,
2
因此，斜率k 1 ,它在y轴上的截距是3. 2
y
令y 0得x 6.即l在x轴上的截距是 6.
3
由以上可知，l与x 轴，y 轴的
B
6
交点分别为A(6, 0)B(0, 3), 过
第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程
知识回顾
形式
条件
点斜式
斜截式
两点式
截距式
直线方程
应用范围
知识回顾
形式
条件
直线方程
应用范围
点斜式 斜截式 两点式 截距式
直线过点(x0, y0), 且斜率 为k 在y轴上的截距为b, 且 斜率为k
过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
例1：已知直线经过点A（6，－4），斜率为 一般式方程.
4 3
，求直线的点斜式和
解：∵直线经过点A（6，-4），斜率为
∴点斜式方程为
y+4
=
4 3
(x-
6)
4 3
，
化成一般式方程，得 4x+3y-12=0
注意 : 对于直线方程的一般式，规定：
1)x的系数为正; 2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.
解：(1)
l1
(2)
// l2
l1 l2
k1
的条件是什么？
k2且b1
b2，即
A1 B1
=
A2 B2
，C1 B1
C2 B2
l1 // l2
A1 A2
= B1 B2
C1 C2
(2)
l1
l2
k1k2
1，即
A1 B1
A2 B2
=
1
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
练习 1. 已知直线 l1 : 3x (m 1) y 6 0 ， l2 : mx 2y (m 2) 0 ，分别求满足下列条件
∴由点斜式可得方程为 y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二 由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
①通法：由已知直线求出斜率，再用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直 线的斜率，由点斜式写方程.
A
Ox
A, B作直线为l的图形.
2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距, 并画出图形:
(1)3x y 5 0; (2) x y 1; (3) x 2 y 0; (4)7 x 6 y 4 0. 45
解：(1) k 3,b 5;
(3) k 1 ,b 0; (4) k 7 , b 2 .
A=k B=－1 C
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
②倾斜角α=90°,k不存在
x x0 0 即x 0 y x0 0
A=1 B=0 C 结论：1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
二元一次方程: Ax By C 0
思考2：所有二元一次方程都表示直线吗？
①当B≠0时，y
A B
x
②平行系：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By ＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ③垂直系：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay ＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
C B
表示斜率为- A，y轴截距为 C 的直线
B
B
②当B=0时，x C
A
是垂直于x轴的一条直线
结论：2. 所有二元一次方程都表示直线
y
l
O C
x
A
一、直线的一般式方程
结论:
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示 2. 所有二元一次方程都表示直线
Ax By C 0 （其中A，B不同时为0）
的 m 的值.
（1） l1 l2பைடு நூலகம்；
（2） l1 / /l2
解：
（1）若 l1
l2
，则有
3m
(m
1)
2
0
，解得
m
2 5
（2）若 l1 / /l2 ，则有 3 2 m(m 1) 0 ，解得 m 3 或 m 2 当 m 3 时，直线 l1 / /l2 当 m 2 时，直线 l1 与直线 l2 重合，不符合题意，舍去. 所以 m 3
2
63
ly
y
l
y
5
l
O
4x
• (-2,1)
yl
2 3
O5 x
3
(1)
-5
(2)
O
x
4 O
x
7
(3)
(4)
练习3、若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由mm2－－23＝m0＋，2＝0， 解得 m＝2，
过点P1(a,0), P2(0,b) (其 中a≠0, b≠0)
y y0 k( x x0 )
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
不含与x轴垂 直的直线
不含与x轴垂 直的直线
不含与x, y轴 垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
知识回顾
x y 1 （4）已知直线 l 过点 A(3, 0), B(0, 4) ，则直线 l 方程为_____3___4________.
【发现】
（1） y 3 3(x 5) 3x y 3 5 3 0 ，
（2） y 5x 3 5x y 3 0
（3） y 3 x 5 4x y 23 0 ， 13 65