2021版新高考数学：椭圆及其性质含答案

第1课时椭圆及其性质
(对应学生用书第152页)
考点1椭圆的定义及应用
椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(1)如图所示，一
圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
(2)F1，F2是椭圆x2
9＋
y2
7＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝
45°，则△AF1F2的面积为()
A．7B．7
4 C．
7
2D．
75
2
(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|
＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).
又|MO|＞|FO|，
∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2，
∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝
1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．
3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，
则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r 21＋r 2＝4c 2
，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝1
2r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]
考点2 椭圆的标准方程
定义法
∴其焦点在y 轴上， 且c 2＝25－9＝16.
设它的标准方程为y2a2＋x2
b2＝1(a ＞b ＞0). ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①
又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴
（－5）2a2
＋
（3）2
b2
＝1，
则5a2＋3
b2＝1.②
由①②得b 2＝4，a 2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为y220＋x2
4＝1.]
3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2
b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．
x 2＋3
2y 2＝1 [不妨设点A 在第一象限，如图所示． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2，0＜b ＜1，c ＞0).
又∵|AF 1|＝3|F 1B |，
∴由AF 1＝3F 1B 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－5c 3，－b23， 代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b4
9b2＝1. 又c 2＝1－b 2， ∴b 2＝23.
故椭圆E 的方程为x 2＋3
2y 2＝1.]
(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2
a.
考点3椭圆的几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
方法
一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
(1)(20xx·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2
是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3
6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )
A ．23
B ．12
C ．13
D ．14
(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝3
2|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．
(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，
如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，
∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a
＝36，解得c a ＝14，∴e ＝1
4，故选D.
A.125 B ．340 C ．18 D ．35
B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1
738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2
138.
∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988，
∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150，
故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]
2．已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在
点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C ．⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，55 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，
22 B [∵F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－
c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )
＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2
＝1，
本例(1)的求解恰恰应用了焦点三
角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x (y )的有界性解模的思路．
[教师备选例题]
1．(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )
A ．36
B ．13
C ．12
D ．33
D [法一：(直接法)如图，在Rt △PF 2F 1中，
∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，
∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c 3，
|PF 2|＝2c ·tan 30°＝23c 3.
∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .
∴e ＝c a ＝33.
法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中 ，
令|PF 2|＝1，
∵∠PF 1F 2＝30°，
∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝3.
∴e ＝2c 2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|
＝33.故选D.] 2.如图，焦点在x 轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e ＝12，F ，
A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA
→的最大值为________．
4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为
x24＋y2
3＝1.
设P 点坐标为(x 0，y 0).所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.
因为F (－1，0)，A (2，0)，
PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，
所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1
＝14(x 0－2)2.
则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.]
3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为
T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF2|2－（b －c ）2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，
所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2.
依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，。