任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S
＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x (x ≠0)．
（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=y
r ,cos α=x
r ,tan α=y
x (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.
(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.
(4)三角函数值在各象限内的符号
,
1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．
(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．
(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩
⎨⎧⎭⎬⎫α|
α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
β|
β＝2k π＋7π3，k ∈Z .
当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
1．象限角
角α的弧度数公式 |α|＝l
r (l 表示弧长)
注意：(1)正角的弧度数为正
数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
(2)在一个式子中，采用的度
量制度必须一致，不可混用 角度与弧度的换算
①1°＝π
180
rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r
扇形面积公式
S ＝12lr ＝12
|α|r 2
2．轴线角
4．四种角的终边关系
(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .
(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .
5．若α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα
(3)特殊角的三角函数值2.弧度制
（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =
l r
α 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 211
22
=
=S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=
.1801=()5730≈.π
说明：①1800
＝π是所有换算的关键，如ππ=
===,180180
30456644
；②
1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ
2
是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°
90°
120°
135°
150°
180° 270°
360° 角α的弧度数
π6
π4 π3 π2
2π 3π 5π6
π 3π
2π sin α 0 12
√22
√32
1 √32
√2
2
12
0 -1 0 cos α 1 √3
2
√2
2
12
0 -12
-√2
2
-
√3
2
-1 0 1 tan α
√3
3
1
√3 不 存在
-√3 -1
-
√3
3
不 存在
第四2．若角α是第二象限角，则α
2
是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第三象限角
D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )
A ．sin α2>0
B ．cos α2>0
C ．tan α2>0
D ．sin α2cos α
2<0
4.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1
tan α
＝________.
5.设集合M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k
4
·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅
6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π
3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3
,k ∈Z} C.{α|α=kπ-
2π3
,k ∈Z}
D.{α|α=kπ-π
3,k ∈Z}
7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝
2m
4
，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝
2
4
x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－3
9.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4
5，则m 的值为( ) A.－12
B.12
C.－32
D.32
10.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象
11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45
B.－35
C.35
D.45
12．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tan α2 ②sin α2 ③cos α
2
④cos2α
13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．
14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |
tan x
的值域为________．
15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3
4，则a 的值为________．
16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝2
4
y ，求cos α，tan α的值．
17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．
18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．
4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ
3
角的终边相同的角的集合为__________．答
20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α
❷
.
2．三角函数的诱导公式
断三角函数值的符号． 作用：切化弦，弦切互化．
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π
2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝
sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1
.
（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2
α＝1及tan α＝sin αcos α
即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．
1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 2
2.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则
cos α1－sin 2α＋2sin α
1－cos 2α
的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1
D ．－1
4.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1
cos (π－α)
的值为________．
5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5
12
6.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .4
5
7．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－7
13
，则tan A ＝________.
8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.
1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α
5sin α＋2cos α
的值．
3.已知
tan α
tan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α
； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.
4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α
＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．
6已知tan α＝－4
3，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则
1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是( )A.12 B.2 C.－
1
2 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )
A ．3
B ．－4 C.13 D ．－1
4
考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二
1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝1
5.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．
2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.1
4
D ．－1
4
3.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－2
9
C.29
D.79
4.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .3
4
5．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝1
5，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:
√1-2sin10°cos10°
√2=
.
7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝1
16
，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.
1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.43
3.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513
D.－12
13
5.已知sin (π
3
-α)=1
2
,则cos (π
6
+α)= .
6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝________.
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；
(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
(两式相除、上同下异)．
(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α
2的2倍.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan β
tan (α－β)
－1.
2．降幂公式：sin 2α＝
1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝1
2
sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α
2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β
2
＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π
4
－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2
=cos C 2;(4)cos
A+B 2
=sin C
2; (5)tan(A+B )=-tan C ;
(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.
2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.
提示:(1)π
4
+α+π
4
-α=π
2
,sin (π
4
+α)=cos (π
4
-α);(2)(2π
3
+α)-(π
6
+α)=π
2
,sin (2π
3
+α)=cos (π
6
+α);
(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π
4+α)]; (4) (4)(3π
4-β)-(π
4+α)=π
2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π
4-β)-(π
4+α)].
5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b
a 或f (α)＝a 2＋
b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a
b . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－
3
2
B.
32 C ．－12 D.12
2.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)
D.cos α
3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.
4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2
D.√5
5．已知cos x ＝3
4，则cos 2x ＝________
6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2
，则tan β＝________.
7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.11
2
D ．－112
8．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°
1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－
1
2cos 10°cos 80°＝________.
11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.1
6
B ．－16 C.12 D.2
3
12.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3
3
13.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.2
5 14．已知tan θ＋
1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.15
15．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8
9
16．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③
1＋tan 15°
1－tan 15°；④tan
π6
1－tan
2
π6
.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④
17.若cos α=1
3,α∈(0,π),则cos α
2的值为( )A.√6
3
B.-√6
3
C.±√6
3
D.√3
3
18已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－2
3，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.
15＋2
6
19.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π
4
-α)=3
5
,则sin 2α=( )A.7
25
B.1
5
C.-1
5
D.-7
25
20.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.1
2 考法(一) 给角求值 1.
cos 10°－3cos (－100°)
1－sin 10°
＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.
3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－1
2
4.cos 165°的值是( ). A.
√6-√2
2
B.
√6+√2
2
C.
√6-√2
4
D.
-√6-√24
5.
sin47°-sin17°cos30°
cos17°
= .
6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π
4，则sin 2x ＋2sin 2
x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1
B.-15
C.57
D.1
7
3.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.
4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π
6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=3
5
,cos B=5
13
,则cos C= .
考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝
55，sin(β－α)＝10
10
，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π
2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝53
14，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π
2，则α－β＝________.
5.已知0<α<π
2<β<π,cos (β-π
4)=1
3,sin(α+β)=4
5,求cos (α+π
4)的值.(2)已知sin (α+π
3)=3
5,α∈(-π2,π
6),求sin α的值.
6.已知α∈(π
2
,π),且sin α
2
+cos α
2
=√62
.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35
,β∈(π
2
,π),求cos β的值.
辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.
2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .
3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos 2α＝
1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2
，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α±π4.
3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.
考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫cos α
2－sin α22＋2cos α
(0<α<π)＝________.
(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）
1－sin 10°＝________.
(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5
5. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.
角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π
2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，则2α－β的值为________. 考点三 三角恒等变换的简单应用
【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对
称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.4
5 1..sin 10°1－3tan 10°
＝( )A.14 B.12
C.3
2 D .1
2..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π4＝________.
4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－112
5.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭
⎫π
2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°
1－tan 15°；④tan π6
1－tan
2
π6
.A ．①②④
B ．③④
C ．①②③
D ．②③④
6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝3
5，则sin 2α＝( )
1、已知θ是第三象限角，且4
459sin
cos θθ+=，那么2sin θ等于
（） A 、
3
B 、3-
C 、23
D 、2
3
- 2
、函数2
22
y sin x x =-+
的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ ）
A 、1
B 、2
C 、－1
D 、－2 4、设1
0,sin cos 2
απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。

三、例题分析
例1、化简：4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()44
x x x x ππ-+
-+例2、设3177cos(),
45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

例3、求证：
sin(2)sin 2cos().sin sin αββ
αβαα
+-+=
1、已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值等于
A 、3
B 、3-
C 、13
D 、1
3
-
2、已知tan α
、tan β是方程2
40x ++=的两根，且(,)22ππ
αβ∈-
、，则αβ+等于 （）
A 、3π
B 、23π-
C 、3π或23
π
- D 、3π-或23π
3、化简23cos (1sin )[
2tan()]422cos ()42
x
x
x x ππ+---为 ）A 、sin x B 、cos x C 、tan x
4、（全国卷Ⅲ）
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1
2
5、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿.。