电动力学-几何光学的电磁学基础-第四章 电磁波的传播

4、平面波及其参数
光波场的空间频率
E
E0eitkr0
i t kx xk y ykz z0
E e0
i 2 t 2 f x x f y y f z z 0 E e0
仿照时间频率,定义空间频率 f 1
空间频率是观察方向的函数,定义为沿某观察 方向单位长度的光波场周期数
fx
cos
r
r
r
f f f
r k
r E0
exp
k
rr
4. 平面电磁波的性质
（1） E E0 eikxt ik E0eikxt ik E
由于E=0，所以 k E 0 , 表示电场波动是横波
E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的取向称为电 磁波的偏振方向, E有两个独立的偏振方向,对于每 一个k,存在两个独立的偏振波。
为Fx T sin1 x,θ1是x的函数，在x+dx处张力的垂直分量为
Fxdx T sin2 xdx
该元段上的垂直方向上的合力
dFx
T
sin2
xdx
T
sin1
x
θ1和θ2很小
sin 1
tan 1
x
x
sin 2
tan 2
x
x dx
dFx
T
x
x dx
x
x
dFx
电场分量和磁场分量均以波动形式传播---电磁波。
其波速为 c 1/ 00 3.0108 m/s
c与频率无关,真空中一切电磁波(无线电波、光波
X射线和射线等)都以速度c传播,最基本的物理常
量之一;波动方程的解包括各种形式的电磁波;电磁
波的传输不需要介质,相互激发．
2. 介质中的电磁波:
角频率的正弦振荡电磁波入射于介质内时,介质的 极化强度P=e()0E,一般情况下极化率e()与频 率有关, 电容率()=(1+e())0也是频率的函数。
1
c
kv 0
其中 rr
r
v
k rr
就是光学中的折射率n。
相位差为2π的两个等相面之间的距离称为波长，
用λ表示，可得 k 2 /
3. 平面波的一般表达式 令k表示一个矢量,其大小为k, 方向沿平面波的传播方向。 一般情况下的平面波表示式为
E(x, t) E0eikxt
k | k |
生。
E
E0
exp[i(t
kr)]
r
2、线光源L产生柱面波
E A1 exp jkr exp jt
r
光线 L
r
光是 什么
见为 电
磁 、 什
紫么
外光
？包 波
含 红
谱
外
、
可
太赫兹
0.1—10THz (3000—30μm)
两个或多个单色波迭加 = 复杂波；
例：由波数或空间角频率为k和2k的两个单色光波迭
二、时谐电磁场
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波(单色 波)。在一般情况下,任意电磁波可以用傅里叶 (Fourier)分析方法分解为不同频率的正弦波的叠加。 1. 场量的复数形式:
设电磁场只有一种频率，电磁场对时间的依赖 关系是cost，或用复数形式表为
B(x,t) B(x)eit E( x,t) E( x)eit
0.4
/L
0.2
4.49810 8 0 11
11
11.5
12
12.5
k0-/L k
13
13.5
14
k0+/L 14
谱线都有—定的宽度，因而这种单色光在理论上
只能说是“准单色光”，即谱线的波长宽度与波长本身
之比Δλ/λ<<1。谱线的波长宽度以它的“半宽度”来
量度，与之对应的是波列长度表示。谱线宽度表示光波
在线性介质中有关系 D() ()E()
同样， B() ()H ()
和随频率而变的现象——介质的色散。 由 于 色 散 , 对 一 般 非 正 弦 变 化 的 电 场 E(t), 关 系 式
D(t)=E不成立。因此在介质内,不能够推出E和B的 一般波动方程。但用μ代替μ00可得用于单一频率
的正弦电磁场方程,这种单一频率的正弦电磁场称 为时谐电磁场。
一、电磁波的波动方程
在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中
E
B t
(1)
H D
t
D 0
J
(2) (3)
பைடு நூலகம்
B 0
(4)
这是本章研究电磁波的传播所用的方程组。
从Maxwell方程到电磁波动方程
E
0
H t
E 0
H
0
E t
( E) ( E) 2E (I.25)
E 0
H 0
在球坐标系中k与z轴夹角为θ,与x轴夹角为φ
fx
sin cos
cos,
fy
sin ,
fz
1
相应的形成角谱
四、电磁波的能量和能流
1. 电磁场的能量密度
w
1 2
E
D
H
B
1 2
E 2
1
B2
对于平面电磁波
E 2 1 B2
所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等，
w E 2 1 B2
加而成的波如下图：
E a1 coskz 1 a2 cos2kz 2
2 2
1
E1(x 0) E2(x 0)
E1(x 0)
0
E2(x 0)
1
1.125 2 0
0
5 10 7
1 10 6 x
1.5 10 6
2 10 6 210 6
任意一个复杂波能否用 若干个单色波的组合表示？
1 0.8
0.6 A( k) 2
T
x
x
x
x
x
x
x
T
2 x2
dx
弦的线密度为ρl,则元段的质量为ρldx,根据牛顿第二定律就可 以得到该元段弦的运动方程
T
2
x2
dx
ldx
2
t 2
弦振动方程的一般解
2 1 2
x2 c2 t 2
c T
l
x,t f1 ct x f2 ct x
§4.1 平面电磁波
止时弦处于水平平衡位置,维持其平衡的力是张力T
弦上的某点突然被扰 动偏离其平衡位置, 可以观察到沿弦传播 的两个方向各自扰动, 一个向左一个向右具 有相同的速度,弦的 振动与弦长垂直, 横 振动。
取弦上的一个元段ds,静止时弦处于水平平衡位置,垂直位移 =0；振动时,x处弦离开平衡的垂直位移为, x点张力分量
2. 电磁场的能流密度
平面电磁波的能流密度
S E H E n E E2nˆ
S 1 wnˆ vwnˆ wvr
v为电磁波在介质中的相速。
由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能
把场强的复数表示直接代入。
计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得
w E02 cos2 k x t
单色性的好坏，同样光波的波列长度也是光波单色性好
坏的量度，两种描述是完全等价的。
复色波及其速度
二色波 E E01 cos1t k1z E02 cos2t k2 z
E01 E02 E0, 1 2 1,2
E 2E0 cosmt kmzcos t kz E z,t cos t kz
r
E0
exp
r k
rr
exp
r k
rr
r E0
d exp
r k
rr
d
r k
rr
r k
rr
r E0
k
r
k
r r
k E0 exp
r k
rr
习题1.3
E0 exp k rr exp k rr E0
d
exp k rr d k rr
k
rr
E0
B i E i E
k
或 2B k2B 0
B 0
E i B i B
k
按照激发和传播条件的不同,亥姆霍兹方程的解可
以有不同的形式,即存在不同的波模。广播天线发
射球面波,传输线和波导传播定向波,激光器激发的
是狭窄的高斯光束等，
三、平面电磁波
1. 沿x轴方向传播的平面波
设电磁波沿x轴方向传播,E和B仅与x、t有关,与
第四章 电磁波的传播
在迅变情况下,电磁场以波动形式存在,变化着的 电场和磁场互相激发形成在空间中传播的电磁波。 电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的 学科,具有十分丰富的内容。
本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论 无界空间平面波、光线、有限口径光束，介质界 面、导体界面、有界空间传输等。
预备:弦振动 两端固定并被张紧的细弦,横截面积和密度均匀,静
dtf0
cos t
g0
cost
1 2
f0 g0 cos
1 Re 2
f *g
式中f *表示f的复共轭，Re表示实数部分。由此，
能量密度和能流密度的平均值为
w
1 2
E02
1
2
B0 2
S 1 E* H 1
2
2
E0
2
n
球面波和柱面波
1、球面波:等相面是球面,在等相面上振幅处处相等的波称
为球面波。由置于均匀各向同性介质中的“t+点状t ”光源产
H
0
E t
E
0
H t
(
E)
0
t
H
00
2 t 2
E
如果第一二式中没有负号会怎样？
2E
00
2E t 2
0
同理
2H
00
2H t 2
0,2B 00
2B t 2
0
1.真空中电磁波动方程
令 c 1/ 00
无媒介介质！
E和B的方程可以写为
2
E
1 c2
2
B
1 c2
2E 2Bt 2 t 2
0 0
(5) (6)
1 2
E0 2 1
cos
2k
x
t
和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需
用到它们的时间平均值。
为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般
公式．设f(t)和g(t)有复数表示
f (t)
f
eit
0
，
g(t)
g
eit
0
i
是f(t)和 g(t)的相位差. fg对一周期的平均值为
fg
2
2
0
复数形式的优点：时间和空间因子分离；简化运算
2. 时谐情形下（复数形式）的麦氏方程组:
在单一频率下,有D=E, B=H
B(x,t) B(x)eit Beit E(x,t) E(x)eit Eeit
代入麦氏方程
E iH
（1）
H iE
（2）
E 0 H 0
（3） （4）
注意：在0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立
但必须与（6）式联立，才与麦克斯韦方程等价。
亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程， 其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况， 每一种可能的形式称为一种波模。
解出E后，磁场B可由（1）式求出，
B i E i E
k
所以，一定频率条件下欲求解电磁场的方程为
2E k2E 0 E 0
,
fy
cos
,
fz
cos
k2
kx2
k
2 y
kz2
光波场的空间频率谱
E x, y F 1 E fx, fy
E
fx, fy
ei2 fxx f y f dfxdf y
E fx, fy F E x, y
E
x, y
ei2 fxx fy f dxdy
如果光束沿+z轴方向在轴线很小范围内传输
（2） E ik E
B k E n E
k
可见 B k , 表示磁场波动是横波。
E、B、k两两垂直，E×B沿k的方向。
（3）E和B同相，振幅比为
E B
1 v
真空中 E / B c
平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时
值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方
向的移动速度为 v c rr
E0是电场的振幅，ei(kx-t) 代表波动的相位因子。
2. 相位因子的意义——相速度
kx-t 表示某点x某时刻t的相位,对于任意常数φ, kx-
t=φ就给出了相位为φ的点的坐标与时间的关系。
① 等相位的点都在一个垂直于x轴的平面上--波阵面
② 不同时刻，波振面处于不同位置,说明波阵面在
移动。将kx-t=φ对时间求导，得到
y、z无关．这种电磁波就是沿x轴传播的平面波,
其波阵面(等相位面)为垂直于x轴的平面。亥姆
霍兹方程化为一维的常微分方程
解
d2 dx2
E(x)
k2E
E( x) E0eikx
(
x) 0
E ( x,
t)
E0eikxt
由条件E=0得ikex E=0,因此,只要E0与x轴垂直,上式 就代表一种可能的模式。
中dn/dλ<0,v>vg；在反常色散介质中dn/dλ>0,v<vg
的． （1）式取散度可以得出（4）式，同样由（2）
式可以得出（3）式，只有（1）（2）式是独立的。
取第一式旋度并用第二式得
( E) 2E
E iH H iE
( E) ( E) 2E 2E
2E k2E 0
（5）可以与拉普拉斯方程比较
E 0
（6）
式中 k ，（5）式为亥姆霍兹方程。
平面波
z
B
横波,三个矢 量方向垂直
y E(x, t) E0eikxt
E
k 波矢量,k波数 k 2
ω圆频率 2
v
x k
阶段小结
1、真空中波动方程 2、介质特性与频率
2E
1 c2
2E t 2
0
() ()
3、介质中时谐波动方程 2E k 2E 0
E(x,t) E(x)eit B( x,t) B( x)eit
m
1
2
2
, km
k1
k2 2
,
1
2
2
,k
k1
k2 2
相速度 v k
群速度
vg m
km
k d dk
k 2 , dk 2 2 d
vg
d k v
dk
vk
dv dk
v
dv
d
v1
n
dn
d
v c n, dv c n2 dn
在无色散介质中,相速度与群速度相同；在正常色散介质