一类带有不育控制的离散单种群模型
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基于 以上假 设， 建立不育控制下 的离散 单种群模型为
ｆ Ｆ （ ｎ ＋１ ） ＝ｂ （ １ 一 ｒ Ⅳ （ ｎ ） ） Ｆ （ ｎ ） 一Ｏ ／ ． Ｆ （ ｎ ） 一ｄ ｌ Ｆ （ ｎ ） ＋Ｆ （ ｎ ） ，
《ｓ （ ｎ ＋１ ） ＝ ａ Ｆ（ ｎ ） ＋（ １ ～ｄ １ ） ｓ （ 仡 ） ， 【 Ⅳ（ ｎ ） ＝ Ｆ（ ｎ ） 十ｓ （ ｎ ） ．
．
收稿 日期：２ ０ １ ３ — ０ １ — １ ４
基金项目：山西省回国留学人员科研资助项 目（ ２ ０ １ １ 一 ｏ ９ ３ ） ； 运城学院院级科研项目（ Ｘ Ｋ ２ ０ １ ２ ０ ０ ３ ）
１ ６ ８
数
学
研
究
２ 模 型建立
在本文 中， 将害 鼠种 群分为 可育者Ｆ和不育者 两类 ． 假设不育传播采用非 自传播方 式， 即可育害 鼠取食含有不育剂 的饵料 ， 或通过 结扎害 鼠的输卵管或输精管 ， 导致 可育害 鼠变 为不育者， 而不 育个体 不能导致其它个体不育． 令时 间步长为 １ ， 分别用 Ⅳ（ 佗 ） ， Ｆ（ 扎 ） ， Ｓ （ ｎ ） 表
第 ４ ６ 卷 第 ２ 期
２ ０ １ ３ 年 ６ 月
数 学 研 究
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ
Ｖ０ １ ．４ ６ ＮＯ ．２ Ｊ ｕ ｎ．２ ０ １ ３
一
类 带 有 不 育控在时￣ Ｕ ｎ （ ｎ＝０ ， １ ， …） 的数量， 为建立离散模型， 做 以下假设： （ １ ）假 设 每 个 可 育 个 体 和 不 育个 体 在 一 个 时 间 步 长 内死 亡 概 率 分 别 为 ｄ 】 ， ｄ ２ （ ０＜ ｄ １ ， ｄ ２ ＜１ ） ， 因此经过时间段 ｎ ， 仡 ＋１ ）存活的可育者和不育者的数量分别为 （ １ 一ｄ １ ） Ｆ （ ｎ ） 和ｆ １ 一ｄ ２ ） Ｓ （ ｎ ） ． （ ２ ） 假设在时间段 扎 ＋１ ） 出生的数量为 Ｓ （ ｎ ） ：ｂ （ １ — ７ ’ Ⅳ（ ｎ ） ） Ｆ （ 礼 ） ， 其中 ｂ ＞ｄ 】 ， ｒ ＜ （ ３ ） 假设一个可育者在一个时间步长变为不育者的概率为 （ ０ ＜ｏ ／ ＜１ ） ， 于是一个可育 者在一个时间步长内活着且变为不育者的概率 （ １ 一ｄ １ ） ， 活着且还是可育者的概率为 （ １ 一 ） （ １ 一ａ ｌ １ ） ． 因此经过时间段 ， ｎ ＋１ ） ， 活着且仍是可育者的数量为 （ １ 一ｎ ） （ １ 一 ｄ １ ） Ｆ （ ｎ ） ， 活 着但为可育者的数量为 ｆ １ 一ｄ １ ） Ｆ（ ｎ ） ．
中图分类号
ｌ 引 言
自然变异过程 和 人类不合 理活动 的影 响下， 各种 生物都有可 能偏离 它原来 的轨迹 发生 种群数量 的爆发 ， 对 人类 的利益产生负面 作用， 从而变成有 害生物． 如果 是 鼠类 ， 通 常人 们 称之为害 鼠．鼠害给 人们 的生 产和生活 带来 了很大 危害 ， 特别是在农业 、畜牧 业和林业 等 方面 ， 因此对害 鼠的有效控制越来越重要 ． 随着对 鼠类研究的深入 ， 科学家们对 鼠类 的研 究 已经不再 局限于 鼠类对 人类生 产、生活 的危害上 ， 还有 鼠类 对于生态 系统 的影 响 ， 以及对 鼠类的种群规模 的控制 （ 不育控制） 方面 的研 究． 对于农业有害动物 的控制 ， 人们 习惯于采用灭杀来 达到悼 低种群数量的 目的． 但 实践证 明单纯灭杀存在很大 缺点， 如灭杀效果持续时 间短， 灭效难巩 固， 有时还 出现 “ 越灭越 多” 的现象． 和单纯灭杀相 比， 不 育控制 ｌ 被认为有 以下优 点： ① 不育个体 不仅丧失 了生育 能 力， 而且还继续 占有领域， 消耗 资源， 保持社群压力 ， 有利于消除种群反弹现象 ， 达到持续控 制 的 目的； ② 比较人道 ； ③ 环境污染小； ④ 对人畜及非靶 目标生物 安全性好 ． 目前， 有 关不 育控 制技术 的研究主要 集 中在 药效 即野外控制实验 ［ ３ Ｉ ４ 】 ， 还 有为数 不多 的 是不 育控制下害 鼠种群动 态 的系 统分析【 ５ Ｉ ６ ｊ ．一般情 况下， 不育控制有两 种方 式， 第 一种方 式是非 自传播方式： 害 鼠取食含有不 育剂 的饵料 ， 或 通过结扎 害鼠的输卵管或输精管 ， 导致 害 鼠不育， 不育个 体不能导致其它个体不育． 第二种方 式是 自传播方式： 在 害 鼠种 群 中散布 带有不育疫苗 的病毒 ， 当害 鼠感染病 毒后 ， 其 中的不 育疫苗在害 鼠体 内导致免 疫反应， 破坏 生殖系统， 使得 害 鼠不育， 不育 的害 鼠能将病毒直 接或 间接传染给其它个体 ， 使其 它个体感 染并不育． 理论方面， 有 些用微 分方程 模型研 究害 鼠种群 动态【 ５ ， ６ １ ， 有 些学者采 用差分模 型分析 不 育控制． 张知彬指 出， 不 育控制之 前应 从理论上分 析， 同时建立建立数学模 型， 并对其进 行 分析 、预见不育控制 下害 鼠的种群动态， 评 价不育控制 的效果， 并提 出指导意见．
李秋 英 李晓 霞
（ 运城学院应用数学系， 山西 运城 ０ ４ ４ ０ ０ ０ ）
摘 要
建立一类 不育控制 下的害 鼠种群 的离散模 型．首 先利用三个Ｊ ｕ ｒ ｙ 条件 ， 得到 平衡 点 的局部渐
近稳 定性的充分条件 ． 其次利用 李雅 普诺夫 函数和细致 分析法 分别 给出 了零平衡 点全局稳 定及 持续生 存 的充分条件 ． 最后给 出了平 衡点全局稳定 的数值模拟 ． 关键 词 不育控制 ； 全局渐近稳 定性； 持续 生存 Ｏ １ ７ ５ 文 献标 识号 Ａ
ｆ Ｆ （ ｎ ＋１ ） ＝ｂ （ １ 一 ｒ Ⅳ （ ｎ ） ） Ｆ （ ｎ ） 一Ｏ ／ ． Ｆ （ ｎ ） 一ｄ ｌ Ｆ （ ｎ ） ＋Ｆ （ ｎ ） ，
《ｓ （ ｎ ＋１ ） ＝ ａ Ｆ（ ｎ ） ＋（ １ ～ｄ １ ） ｓ （ 仡 ） ， 【 Ⅳ（ ｎ ） ＝ Ｆ（ ｎ ） 十ｓ （ ｎ ） ．
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收稿 日期：２ ０ １ ３ — ０ １ — １ ４
基金项目：山西省回国留学人员科研资助项 目（ ２ ０ １ １ 一 ｏ ９ ３ ） ； 运城学院院级科研项目（ Ｘ Ｋ ２ ０ １ ２ ０ ０ ３ ）
１ ６ ８
数
学
研
究
２ 模 型建立
在本文 中， 将害 鼠种 群分为 可育者Ｆ和不育者 两类 ． 假设不育传播采用非 自传播方 式， 即可育害 鼠取食含有不育剂 的饵料 ， 或通过 结扎害 鼠的输卵管或输精管 ， 导致 可育害 鼠变 为不育者， 而不 育个体 不能导致其它个体不育． 令时 间步长为 １ ， 分别用 Ⅳ（ 佗 ） ， Ｆ（ 扎 ） ， Ｓ （ ｎ ） 表
第 ４ ６ 卷 第 ２ 期
２ ０ １ ３ 年 ６ 月
数 学 研 究
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ
Ｖ０ １ ．４ ６ ＮＯ ．２ Ｊ ｕ ｎ．２ ０ １ ３
一
类 带 有 不 育控在时￣ Ｕ ｎ （ ｎ＝０ ， １ ， …） 的数量， 为建立离散模型， 做 以下假设： （ １ ）假 设 每 个 可 育 个 体 和 不 育个 体 在 一 个 时 间 步 长 内死 亡 概 率 分 别 为 ｄ 】 ， ｄ ２ （ ０＜ ｄ １ ， ｄ ２ ＜１ ） ， 因此经过时间段 ｎ ， 仡 ＋１ ）存活的可育者和不育者的数量分别为 （ １ 一ｄ １ ） Ｆ （ ｎ ） 和ｆ １ 一ｄ ２ ） Ｓ （ ｎ ） ． （ ２ ） 假设在时间段 扎 ＋１ ） 出生的数量为 Ｓ （ ｎ ） ：ｂ （ １ — ７ ’ Ⅳ（ ｎ ） ） Ｆ （ 礼 ） ， 其中 ｂ ＞ｄ 】 ， ｒ ＜ （ ３ ） 假设一个可育者在一个时间步长变为不育者的概率为 （ ０ ＜ｏ ／ ＜１ ） ， 于是一个可育 者在一个时间步长内活着且变为不育者的概率 （ １ 一ｄ １ ） ， 活着且还是可育者的概率为 （ １ 一 ） （ １ 一ａ ｌ １ ） ． 因此经过时间段 ， ｎ ＋１ ） ， 活着且仍是可育者的数量为 （ １ 一ｎ ） （ １ 一 ｄ １ ） Ｆ （ ｎ ） ， 活 着但为可育者的数量为 ｆ １ 一ｄ １ ） Ｆ（ ｎ ） ．
中图分类号
ｌ 引 言
自然变异过程 和 人类不合 理活动 的影 响下， 各种 生物都有可 能偏离 它原来 的轨迹 发生 种群数量 的爆发 ， 对 人类 的利益产生负面 作用， 从而变成有 害生物． 如果 是 鼠类 ， 通 常人 们 称之为害 鼠．鼠害给 人们 的生 产和生活 带来 了很大 危害 ， 特别是在农业 、畜牧 业和林业 等 方面 ， 因此对害 鼠的有效控制越来越重要 ． 随着对 鼠类研究的深入 ， 科学家们对 鼠类 的研 究 已经不再 局限于 鼠类对 人类生 产、生活 的危害上 ， 还有 鼠类 对于生态 系统 的影 响 ， 以及对 鼠类的种群规模 的控制 （ 不育控制） 方面 的研 究． 对于农业有害动物 的控制 ， 人们 习惯于采用灭杀来 达到悼 低种群数量的 目的． 但 实践证 明单纯灭杀存在很大 缺点， 如灭杀效果持续时 间短， 灭效难巩 固， 有时还 出现 “ 越灭越 多” 的现象． 和单纯灭杀相 比， 不 育控制 ｌ 被认为有 以下优 点： ① 不育个体 不仅丧失 了生育 能 力， 而且还继续 占有领域， 消耗 资源， 保持社群压力 ， 有利于消除种群反弹现象 ， 达到持续控 制 的 目的； ② 比较人道 ； ③ 环境污染小； ④ 对人畜及非靶 目标生物 安全性好 ． 目前， 有 关不 育控 制技术 的研究主要 集 中在 药效 即野外控制实验 ［ ３ Ｉ ４ 】 ， 还 有为数 不多 的 是不 育控制下害 鼠种群动 态 的系 统分析【 ５ Ｉ ６ ｊ ．一般情 况下， 不育控制有两 种方 式， 第 一种方 式是非 自传播方式： 害 鼠取食含有不 育剂 的饵料 ， 或 通过结扎 害鼠的输卵管或输精管 ， 导致 害 鼠不育， 不育个 体不能导致其它个体不育． 第二种方 式是 自传播方式： 在 害 鼠种 群 中散布 带有不育疫苗 的病毒 ， 当害 鼠感染病 毒后 ， 其 中的不 育疫苗在害 鼠体 内导致免 疫反应， 破坏 生殖系统， 使得 害 鼠不育， 不育 的害 鼠能将病毒直 接或 间接传染给其它个体 ， 使其 它个体感 染并不育． 理论方面， 有 些用微 分方程 模型研 究害 鼠种群 动态【 ５ ， ６ １ ， 有 些学者采 用差分模 型分析 不 育控制． 张知彬指 出， 不 育控制之 前应 从理论上分 析， 同时建立建立数学模 型， 并对其进 行 分析 、预见不育控制 下害 鼠的种群动态， 评 价不育控制 的效果， 并提 出指导意见．
李秋 英 李晓 霞
（ 运城学院应用数学系， 山西 运城 ０ ４ ４ ０ ０ ０ ）
摘 要
建立一类 不育控制 下的害 鼠种群 的离散模 型．首 先利用三个Ｊ ｕ ｒ ｙ 条件 ， 得到 平衡 点 的局部渐
近稳 定性的充分条件 ． 其次利用 李雅 普诺夫 函数和细致 分析法 分别 给出 了零平衡 点全局稳 定及 持续生 存 的充分条件 ． 最后给 出了平 衡点全局稳定 的数值模拟 ． 关键 词 不育控制 ； 全局渐近稳 定性； 持续 生存 Ｏ １ ７ ５ 文 献标 识号 Ａ