1.1.3 集合的基本运算 补集教案

1．1.3 集合的基本运算
第二课时 补集及综合应用
一、全集的定义及表示
1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
2、符号表示：全集通常记作U.
3、对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择
的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集
Z 看作全集.
二、补集
1、定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相
对全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作——A U C
2、符号语言：A
U C ＝{x| x ∈U ，且x ∉A}
3、图形语言：
4、性质：(1)A U C ⊆U ；(2)U U C ＝∅，φU C ＝U ；(3)()A
U C U C ＝A ；(4)A ∪(A U C )＝U ；A ∩(A U C )＝∅ 5、理解补集应关注三点
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提
是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相
依存、不可分割的两个概念．
(2)∁U A 包含三层意思：①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属
于A 的元素构成的集合．
(3)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈∁U A ，二者必居其一．
题型一、补集的运算
[例1] (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________.
(2)设U ＝{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5，x ∈Z}，A ＝{x |x 2－2x －15＝0}，B ＝{－3,3,4}，则∁U A
＝________，∁U B ＝________.
[解析] (1)用数轴表示集合A 为图中阴影部分
∴∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．
(2)法一：在集合U 中，
∵x ∈Z ，则x 的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U ＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A ＝{x |x 2－2x －15＝0}＝{－3,5}，
∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．
[活学活用]
设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．
解析：∵A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，
A∪(∁U A)＝{1,5,7,9，|a－5|}＝U，∴|a－5|＝3.
解得a－5＝±3，即a＝8或a＝2.
题型二、集合的交、并、补的综合运算
[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁
A)
U
∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．
[解]如图所示．
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，
∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．
故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．
∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
[活学活用]
已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁
B)，(∁U A)∪(∁U B)．
U
解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵∁U A＝{1,3,6,7,9}，∁U B＝{2,4,6,7,9}．
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,9}，(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
题型三、补集的综合应用
[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁
P，求实数a的取
U
值范围．
[解]∁
P＝{x|x<－2，或x>1}，∵M∁U P，
U
∴分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．
(1)M ≠∅时，如图可得
⎩⎪⎨⎪⎧ 3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧
3a <2a ＋5，3a ≥1. ∴a ≤－72或13
≤a <5. (2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5.
综上可知，a ≥13或a ≤－72
. [活学活用]
1、已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x <－1，或x >0}，若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．
解：∵B ＝{x |x <－1，或x >0}，
∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，
因而要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)，
可得a ≤－1.
2、已知集合A ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，B ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}，是否存在实数m ，使A ∩B ≠
∅？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：若A ∩B ＝∅，分A ＝∅和A ≠∅讨论：
(1)若A ＝∅，则2m －1≥3m ＋2，解得m ≤－3，此时A ∩B ＝∅.
(2)若A ≠∅，要使A ∩B ＝∅，则应有
⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<3m ＋2，2m －1≥－2，
3m ＋2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－3，m ≥－12，m ≤1.所以－12
≤m ≤1. 综上，当A ∩B ＝∅时，m ≤－3或－12
≤m ≤1. 所以当m >1或－3<m <－12
时，A ∩B ≠∅. 课堂练习
1．已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U(A ∪B)＝
( )
A ．{6,8}
B ．{5,7}
C ．{4,6,7}
D ．{1,3,5,6,8}
解析：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，则∁U(A ∪B)＝{6,8}，选A.
答案：A
2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－2≤x ≤3}，B ＝{x|x ＜－1，或x>4}，那么集合A ∩(∁UB)
等于 ( )
A ．{x|－2≤x ＜4}
B ．{x|x ≤3，或x ≥4}
C ．{x|－2≤x ＜－1}
D ．{x|－1≤x ≤
3}
解析：由题意可得，∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x ≤3}．
答案：D
3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.
解析：∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B.
∴m＝5.
答案：5
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.
解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，
∴N＝{x|x≤0或x≥2}
∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}
＝{x|x<1或x≥2}．
5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．
解：如图(1)．
(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．
(2)A∪B＝{x|－5<x<7}．
(3)如图(2)．
∁U B＝{x|x<0，或x≥7}，
∴A∪(∁U B)＝{x|x<5，或x≥7}．
(4)如图(3)．
(3)
∁U A＝{x|x≤－5，或x≥5}，
B∩(∁U A)＝{x|5≤x＜7}．
课时跟踪检测(五) 补集及综合应用
一、选择题
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( ) A．∅B．{4}
C．{1,5} D．{2,5}
2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
4．图中阴影部分所表示的集合是( )
A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________
7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．
(1)求A∪B，(∁R A)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.
答案
课时跟踪检测(五)
1．选A ∵∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,3}，
∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选A.
2．选B 因U＝R，A＝{x|0<x<9}，又因B＝{x∈Z|－4<x<4}，
所以∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，
所以(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．
3．选C 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁
U B)∩A＝{1,2}．
4．选A 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))．故选A.
5．选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.
6．解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，
∴∁U B＝{x|x≤1}．
又∵A＝{x|x>0}，
∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．
答案：{x|0<x≤1}
7.解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．
又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．
观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.
答案：{a|a≥2}
8.解析：如图所示，
由图可知C⊆∁U A，且C⊆B，
∴C＝B∩(∁U A)．
答案：B∩(∁U A)
9．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.
10．解：法一：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
如图，
∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
法二：∵M∩(∁U N)＝{3,5}，
∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.
又∵(∁U M)∩N＝{7,19}，
∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.
又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，
∴∁U(M∪N)＝{2,17}，
∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．。