分数阶PID控制在电动变载荷加载系统中的应用

第27卷㊀第8期2023年8月
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电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报Electri c ㊀Machines ㊀and ㊀Control
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Vol.27No.8Aug.2023
㊀㊀㊀㊀㊀㊀分数阶PID 控制在电动变载荷加载系统中的应用
刘福才,㊀王海澎
(燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室,河北秦皇岛066004)
摘㊀要:针对电动变载荷加载系统中存在的强耦合㊁加载过程中的多余力干扰㊁电机内部的高度非线性化和时变性等问题,为提高电动变载荷加载系统的动态性能和控制效果,将分数阶PID 控制器应用于电动变载荷加载系统中,该控制器较常规PID 多了2个可调参数,能更灵活地控制受控对象,采用Oustaloup 近似化方法对分数阶算子近似化处理,用改进惯性权重ω的粒子群优化算法对分数阶PID 控制器参数进行整定优化㊂选取不同加载压力的输出波形对电动变载荷加载系统模拟仿真并在电动变载荷摩擦磨损试验平台上进行加载试验,通过实验数据求出加载过程中的摩擦力㊁摩擦系数和加载压力的跟踪曲线与误差曲线图,然后和常规PID 对比㊂试验结果表明,分数阶PID 控制器抗干扰性强㊁跟踪精确度高,有更好的控制效果㊂
关键词:电动变载荷加载系统;分数阶PID ;近似化;粒子群优化;加载压力;输出波形DOI :10.15938/j.emc.2023.08.010
中图分类号:TM921
文献标志码:A
文章编号:1007-449X(2023)08-0091-09
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收稿日期:2022-05-11
基金项目:国家自然科学基金联合基金项目(U22A2050);河北省自然科学基金(F2022203043);省级重点实验室绩效补助经费项目(22567612H )作者简介:刘福才(1966 ),男,教授,博士生导师,研究方向为空间机构运动特性分析与控制技术;
王海澎(1997 ),男,硕士研究生,研究方向为机电一体化机构设计与控制㊂
通信作者:刘福才
Fractional order PID control in an electric variable load loading system
LIU Fucai,㊀WANG Haipeng
(Hebei Provincial Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)
Abstract :Aiming at the problems of the strong coupling in the electric loading system,the surplus force interference during loading,and the highly nonlinear and time-varying inside the motor,to improve the dynamic performance and control effect of the electric loading system,the fractional order PID controller is used in electric variable load loading system.The controller has two more adjustable parameters than the conventional PID,and have more flexible control of controlled objects.The Oustaloup approximation method was used to approximate the fractional order operator and the parameters of the fractional order PID controller were rectified and optimised using a particle swarm optimisation algorithm with improved inertia weights.Simulation of an electric variable load loading system with selected output waveforms for different loading pressures and loading tests on an electric variable load friction and wear test rig were conducted.Plot of the tracking curve and error curve of the friction force,coefficient of friction and load-ing pressure during loading were derived from experimental data,and then compared with conventional PID.The experimental results show that the fractional order PID controller is more resistant to disturb-ances,and has high tracking accuracy and good control effects.Keywords :electric variable load loading systems;fractional order PID;approximation;particle swarm
optimization;loading pressure;output waveform
0㊀引㊀言
摩擦与磨损是生活中普遍存在的问题,在机器
或是装备的运行中,相互接触的零部件之间的摩擦
磨损现象是不可避免的㊂它会造成机械能损耗㊁产
生噪音,对零部件造成变形㊁摩擦,影响其寿命[1]㊂摩擦磨损试验机是实现对一种特性材料在给定的条
件下对摩擦磨损性能的探究,并能求得摩擦力与摩
擦系数的模拟试验机㊂摩擦磨损试验机的出现对生
产中减少能源损耗㊁提高生产效率等方面起着重大
作用㊂然而研究摩擦磨损试验机的关键是对加载压
力的控制,目前试验机主要存在机械㊁气动和电动3种加载形式[2]㊂随着电机制造水平和控制技术的不断提高,以电机作为驱动力的电动加载技术逐渐成为时代潮流㊂相比于机械式加载控制精确度低㊁无法实现变载荷加载和气动式存在空气可压缩性㊁气体流动的复杂性等问题,电动加载技术具有加载精确度高㊁跟踪速度快㊁结构简单㊁成本较低等优点㊂但电动加载系统存在强耦合㊁电机内部的高度非线性化以及加载过程中的多余力干扰等问题㊂为解决以上问题,更好地实现电动加载系统的控制性能,诸多学者对其进行了研究㊂文献[3]提出基于结构不变性原理,实验结果表明引入舵机的轴角速度作为前馈补偿后,能够有效地减小电机多余力矩的干扰㊂文献[4]构造了小脑模型神经网络(cerebellar model articulation controller,CMAC)与模糊控制相结合的复合控制方法,提高了系统的稳定性和鲁棒性㊂文献[5]提出了一种以速度闭环㊁转矩闭环以及位置闭环补偿的复合控制策略,其中转矩闭环采用模糊自适应PID控制算法㊂通过实验,复合控制方法在保证了加载精确度和动态性能的前提下,具有很强的鲁棒性和抗扰性㊂文献[6]采用自抗扰控制对四旋翼无人机在受到内部参数以及外部环境干扰的前提下进行测试,结果表明,所用的自抗扰控制算法有效地降低了外来干扰,提高了系统的准确性㊂上面涉及的几种控制算法虽然能有效地降低干扰性,起到不错的控制效果,但其存在控制器设计繁琐,推导计算量大等问题,因此本文采用分数阶PID控制(fractional order PID,FOPID),FOPID控制结构简单㊁易于理解㊁应用方便,较普通PID控制多了2个自由度[7-8],进一步扩大了参数整定范围,提升了控制能力和控制精确度,使其具有更好的动态性能和鲁棒性,提高了控制效果㊂1㊀试验机加载系统模型分析
1.1㊀加载系统原理
试验机的加载系统主要由伺服电机及其驱动器㊁压力传感器㊁电动缸㊁摩擦压头和样品台组成㊂其中压力传感器内置于电动缸中,装置示意图如图1所示,工控机通过PCI-1710U板卡对压力传感器产生的压力信号进行采集,将采集到的压力信号利用所编写好的程序代码进行数据去值滤波处理并同给定的期望输入信号做差求得误差信号㊂然后将误差信号经过分数阶PID控制算法所产生的输出信号经过转换后通过PCI-1720U模拟量输出卡发送
-10V到+10V的转矩指令作用于伺服电机驱动器,伺服电机驱动器接到转矩指令后驱动伺服电机进行旋转运动,伺服电机通过丝杠将其旋转运动转化为电动缸竖直方向的直线运行,从而实现摩擦压头对样品台的加载试验
㊂
图1㊀电动加载系统实验装置示意图
Fig.1㊀Schematic diagram of the experimental setup of the electric loading system
1.2㊀加载系统数学模型
伺服电机的电压平衡方程为
U=iR+L d i d t+E㊂(1)
电机电枢反电动势为
E=K eω㊂(2)电机的转矩平衡方程为
T m=J dωd t+Bω+T L㊂(3)
电磁转矩可表示为
T m=K T i㊂(4)式中:U为电机电枢电压;i为电机电流;R为电枢
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纽回路总电阻;E 为电枢反电动势;K e 为电机反电
动势系数;ω为电机旋转角速度;T m 为电动机电磁转矩;J 为转动惯量;B 为电机阻尼系数;T L 为电机轴输出转矩;K T 为电动机转矩系数㊂由式(1)~式(4)可知伺服电机模型传递函
数为
G 0(s )=
K T
LJs 2+(LB +RJ )s +BR +K e K T
㊂(5)
由文献[9]电动缸输出轴直线位移为:
y =θh 2π
;
θ(t )=ʏ
t
ω(t )d t ㊂üþýïïï
ï(6)
压力传感器模拟输出值为
F =K f y ㊂
(7)
式中:h 为滚珠丝杠导程;K f 为压力增益㊂由式(5)~式(7)得试验机加载系统开环传递
函数为
G (s )=K T K f h
2π[LJs 3+(LB +RJ )s 2+(BR +K e K T )s ]㊂
(8)
1.3㊀加载过程中摩擦力与摩擦系数的获取
本试验机摩擦力的获取采用间接测量方法,首先将传动系统中的伺服电机以60r /min 的转速带动样品台空载运行,获得其电机空载转矩T 0,然后加载系统进行加载试验,获得电机在力加载情况下的输出转矩T ,并由游标卡尺测量加载压头距样品台旋转中心的距离R ,则加载过程中的摩擦力f 和摩擦系数μ可以表示为:
f =
T -T 0R
;μ=f F N ㊂ü
þýïïïï(9)
式中F N 为加载压力㊂
2㊀分数阶PID 控制器
2.1㊀控制器设计
FOPID 是由Podlubny 最早提出的[10],其在继承
了传统PID 控制的基础上新增了积分阶次和微分阶次两个可调参数,增加了控制器的调节范围,改善了
控制器的性能㊂其结构框图如图2所示㊂
FOPID 微分方程表达式为
u (t )=K p e (t )+K i D -λ
e (t )+K d D μ
e (t )㊂
(10)
式中:u (t )为控制器输出;e (t )为控制器输入;λ和μ为控制器的积分阶次和微分阶次;K p ㊁K i ㊁K d 为控制器增益参数
㊂
图2㊀FOPID 控制器结构框图
Fig.2㊀Block diagram of the FOPID controller structure
控制器传递函数为
C (s )=K p +K i s -λ+K d s μ㊂(11)
当λ和μ取不同值时,可以得到分数阶PID 控制器的不同形式,如图3所示㊂由图可知,整数阶PID 控制器只是分数阶PID 控制器λ和μ取值为0或1的4个特殊点,因此分数阶PID 参数整定范围更大,控制更加灵活,能更好地调节系统的动态性能,达到最佳的控制效果
㊂
图3㊀λ、μ参数取值图
Fig.3㊀Diagram of the values of the λand μparameters
2.2㊀分数阶PID 控制系统稳定性分析
一般来说,对于任何控制系统要稳定的充要条件是特征方程根位于S 平面的左半面,但是分数阶系统的稳定性不同于整数阶,由Matignon 的稳性定理可知,一个稳定的分数系统可能在S 平面的右半部分有根㊂下面进行稳定性详细分析[11]:
一般分数阶系统特征方程为
α0s β0
+α1s
β1
+ +αn s
βn
=
ðn
i =0
αi s βi
=0㊂
(12)
将βi =
v i
v
,α=s 1v 代入式(12)得3
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刘福才等:分数阶PID 控制在电动变载荷加载系统中的应用
ðn
i =0
αi s
v i
v
=
ðn
i =0
αi σv i ㊂
(13)
由上式可知,通过代数转换将S 平面的分数阶系统特征方程转化为σ平面的整数阶系统形式,从而能够间接使用劳斯判定准则判定系统稳定的充要条件为
π2v <|arg(σ)|<πv
㊂(14)
将得到的分数阶系统稳定性区域和传统整数阶系统的稳定性区域做比较,如图4所示,可以看出,分数阶控制系统的稳定区域比整数阶控制系统的稳定区域范围要广,更加灵活可控
㊂
图4㊀控制区域稳定示意图
Fig.4㊀Control area stabilisation schematic
2.3㊀实现方式
由于分数阶微积分算子是一个复变量s 的无理化函数,其特征方程一般来说不是常规的多项式,在数值仿真与实际应用中不能够直接应用,因此用一个有限的微分方程来近似是分数阶微积分算子数字实现的关键[12]㊂本文采用Oustaloup 近似化方
法[13],假定选定拟合频率段为(ωb ,ωh ),其近似的有理传递函数模型为
G (s )=K ᵑN
k =-N s +ωᶄk
s +ωk
㊂
(15)
其中:
ωᶄk =ωb
ωh
ωb
()k +N +1
2(1-γ)
2N +1
;ωk =ωb ωh
ωb ()
k +N +12
(1+γ)
2N +1;K =ωγh ㊂ü
þýïïïïï
ï
ï(16)
式中:γ为分数阶阶次;2N +1为近似化次数㊂2.4㊀控制器参数整定
由于分数阶PID 控制器多了2个可调参数,使得控制器的控制更加灵活,但是也给分数阶PID 控制器的参数整定造成了困难,只有合理地选择参数才能达到更理想的控制效果㊂本文将粒子群优化算法用于分数阶PID 控制器中,以此对控制器参数进行优化整定㊂粒子群优化算法(particle swarm opti-mization,PSO)是1995年由Eberhart 和Kenney 通过模拟鸟类捕食行为而提出的一种群体智能优化算法[14]㊂在一个D 维目标搜索空间中,有N 个粒子组成一个粒子群体,第i 个粒子的位置和速度为x i =(x i 1,x i 2, ,x iD )和v i =(v i 1,v i 2, ,v iD ),该粒子在整个搜索过程中所经历的最优位置称为个体极
值p best =(p i 1,p i 2, ,p iD ),粒子群体目前搜索的最优位置称为全局极值g best =(p g 1,p g 2, ,p gD ),在迭代过程中粒子通过自身的个体极值和群体的全局极
值来更新自己的速度和位置,直到满足设定好的迭代终止条件,得出最优解并引用适应度函数作为评价因子,具体更新公式如下:
v k +1id =ωv k id +c 1r 1(p k id -x k id )+c 2r 2(p k gd -x k id );x k +1id =x k id +v k +1id ㊂
}
(17)
式中:i =1,2, ,N 为粒子数;d =1,2, ,D 为向量维数;k 为当前迭代次数;c 1,c 2为非负的权重系数;r 1,r 2是分布于[0,1]区间的随机数;ω为惯性权重因子,用来调节算法的全局和局部搜寻能力㊂一个较大的惯性权值有利于全局搜索,而一个较小的惯性权值则更利于局部搜索㊂通常取权重系数ωmax =0.9,ωmin =0.4时算法性能最好,在合理的迭代次数里寻找全局最优值能力较好,所需迭代次数最少[15]㊂惯性权重由0.9递减至0.4,迭代初期保持了较强的全局搜索能力,而迭代后期有利于算法进行更精确的局部搜索㊂
目前常采用ω惯性权重公式为
ω=ωmax -t (ωmax -ωmin )
t max
㊂
(18)
式中:t max 为最大迭代次数;t 为当前迭代次数㊂
虽然该方法让惯性权重不再是一个固定值,使
得迭代过程中前期全局搜索能力增强,后期局部搜索能力增强,但惯性权重的变化率是固定值,可能会在较强的搜索条件下不能更好寻求最优值㊂本文在
4
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上式以及文献[16]的启发下,对惯性权值进行改进,令:
ω=ωmax (1-a 3)+ωmin rand a 3;a =
t t max ㊂
}
(19)
改进之后惯性权重变化率不再是固定的,引入
rand 函数体现了粒子群搜索过程的随机性㊂在粒子群的搜索初期,ω变化较慢,取值较大,加大了粒子的全局搜索能力;后期ω变化较快取值较小,提高了局部搜索能力,这样利于算法跳出局部最优而求得最优解,提高了算法的求解精确度㊂
适应度函数选用ITAE 积分评价函数[17],即
ITAE =
ʏ
ɕ
t |e (t )|d t ㊂(20)
式中e (t )为误差㊂
3㊀实验验证
为了更进一步地探究分数阶PID 控制在实际系统中的控制效果,在电动变载荷摩擦磨损试验机平台上进行加载实验,分别采用恒值㊁三角波㊁方波㊁正弦波4种不同的典型信号作为加载系统载荷的期望跟踪曲线,实验平台如图5所示㊂分别在样品台静止和旋转时进行加载试验,样品台旋转相当于对加载系统在加载实验时引入了外部干扰㊂实验中设定传动系统中的伺服电机以60r /min 的转速带动样品台进行旋转实验,并通过工控机实时读取并储存加载实验数据,由旋转伺服电机转矩值及电动缸加载的压力值求得加载过程中的摩擦力和摩擦系数,并通过数据进行绘制相应曲线的加载载荷跟踪曲线㊁误差跟踪曲线和摩擦力与摩擦系数曲线
㊂
图5㊀电动变载荷加载系统实验装置示意图Fig.5㊀Schematic diagram of the experimental setup of
the electric variable load loading system
3.1㊀恒值加载
图6为在加载实验载荷F =100N 的恒值信号
下样品台在静止时和旋转时加载压力的跟踪曲线及
误差曲线图
㊂
图6㊀恒值加载实验曲线图
Fig.6㊀Experimental graph for constant value loading
5
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刘福才等:分数阶PID 控制在电动变载荷加载系统中的应用
由图6可知,分数阶PID 控制较传统PID 控制反应速度快㊁超调量小,在有外部干扰的情况下,FOPID 能更好地减小系统的振荡,保证系统的稳定性㊂图7为在不同恒值力加载实验条件下摩擦力与摩擦系数曲线图
㊂
图7㊀恒值下摩擦力与摩擦系数曲线图Fig.7㊀Friction and friction coefficient graphs
可以看出,恒值力越大,加载过程中的摩擦力越大,摩擦系数越小,曲线走势和压力跟踪曲线类似㊂3.2㊀三角波加载
图8为加载载荷信号幅值F =50N,周期T =6s 的三角波信号下样品台在静止和旋转时的压力跟踪曲线及误差曲线㊂
由图8可知,在三角波加载条件下,曲线振荡相对较大,FOPID 控制在曲线的尖端突变处的误差相对较小,曲线跟踪效果优于PID 控制㊂图9为三角波信号在不同幅值力加载过程中的摩擦力与摩擦系数曲线图㊂从图中可知,摩擦力曲线与加载力的跟踪曲线类似,加载力越大摩擦力就越大,摩擦系数的变化相对平稳,只在加载力曲线最底端发生突变㊂3.3㊀方波加载
图10为输入加载载荷信号幅值F =100N,周
期T =6s 的方波信号下样品台在静止和旋转时的压力跟踪曲线及误差曲线图
㊂
图8㊀三角波加载实验曲线图
Fig.8㊀Experimental graph of triangular wave loading
6
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图9㊀摩擦力与摩擦系数曲线图Fig.9㊀Friction and friction coefficient
graphs
图10㊀方波加载实验曲线图
Fig.10㊀Experimental graph of square wave loading
由图10可以看出,曲线在突变处具有一定的滞后性,FOPID控制的超调量比传统PID控制小,响应
速度快,在引入外部干扰后,曲线的误差变大,但
FOPID仍能展现良好的跟踪效果㊂
图11为方波信号在加载力幅值不同时加载过程中的摩擦力与摩擦系数曲线图㊂由图可知,摩擦
力在波形突变处变化较大且摩擦系数在信号发生阶
跃突变处变化较剧烈,从侧面反映出加载力跟踪在
突变处较为振荡㊂
3.4㊀正弦波加载
图12为输入加载载荷信号幅值F=200N,周期T=6s的正弦信号下样品台在静止和旋转时的
压力跟踪曲线及误差曲线㊂由图可知,在传统PID
控制下曲线在峰值处出现了明显的滞后性;在引入
外部干扰后,曲线误差虽然变大,但FOPID控制的
曲线较为光滑平稳,误差相对较小,能够更好地对加
载系统实时控制跟踪㊂图13为正弦信号在加载力
不同时加载过程中的摩擦力与摩擦系数曲线图㊂
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第8期刘福才等:分数阶PID控制在电动变载荷加载系统中的应用
图11㊀摩擦力与摩擦系数曲线图Fig.11㊀Friction and friction coefficient
graphs
图12㊀正弦波加载实验曲线图
Fig.12㊀Experimental graph of sine wave
loading
图13㊀摩擦力与摩擦系数曲线图
Fig.13㊀Friction and friction coefficient graphs
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从图13可以看出,正弦波的摩擦力曲线和三角波形状类似,但摩擦系数在峰谷处变化较大,且加载力越小突变越剧烈,从侧面说明了加载力越大,曲线的误差越小,其跟踪效果越好㊂
4㊀结㊀论
针对电动加载系统中存在的强耦合㊁多余力干扰等问题,在传统PID控制的基础上提出了分数阶PID控制,对分数阶系统进行了稳定性分析和实现方案的设计,并利用改进惯性权重之后的粒子群优化算法对控制器的参数进行优化整定㊂对分数阶PID控制进行了模拟仿真,同时为了弥补现有文献只通过仿真验证分数阶PID的不足,将其应用于电动变载荷摩擦磨损试验机平台上,把仿真与实验结果和传统PID控制进行对比,可知分数阶PID控制响应更快,稳态精确度更高,更好地提高了电动变载荷系统的动态性能和鲁棒性㊂
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(编辑:邱赫男)
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