高二数学 上学期两条直线的位置关系 第二课时教案二

高二数学上学期两条直线的位置关系第二课时教案二
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线l1到l2的角.
2.直线l1与l2的夹角.
3.夹角公式.
(二)能力训练要求
1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.
2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角.
(三)德育渗透目标
1.
2.认识事物在一定条件下能够相互转化.
●教学重点
两条直线的夹角.
●教学难点
夹角概念的理解.
●教学方法
学导式
首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l1到l2的角，直线l1与l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度.
●教具准备
投影片两张
第一张：l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2 A）
第二张：本节例题(记作§7.3.2 B)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课，我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题，得出了两直线平行与垂直的充要条件，现在，我们作一下简单回顾.
［师］两直线平行的充要条件是什么?
［生］两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等.
［师］两直线垂直的充要条件是什么?
［生］两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为－1.
［师］上述两位同学的回答基本正确，但是都忽略了对于条件的说明.两
直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言，若两直线中有一条或两条斜率不存在，则它们的位置关系较易判断.需要注意的是，若对于含有字母的直线方程讨论位置关系，不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.
［师］这一节课，我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋
转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角.
［师］这一概念的定义，是为了区分两相交直线所形成的角，也是进一步研究的需要，应注意在这一概念中l 1、l 2是有顺序的.
如图，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2.
并且，有了对这一概念的认识，也就容易理解两直线的夹角的概
念.
2.直线l 1与l 2的夹角
如上图所示，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2＝π－θ1，当直线l 1与l 2相交但不垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.
当直线l 1⊥l 2时，直线l 1和l 2的夹角是2
π. 说明：θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2＝π.
［师］请大家根据直线l 1到l 2的角与l 1与l 2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有何不同?
［生］l 1到l 2的角的取值范围是(0°，1８0°)，l 1与l 2的夹角的取值范围是(0°，2π］. ［师］下面我们一起推导直线l 1到l 2的角的公式.
3.直线l 1到l 2的角的公式
tan θ＝2
1121k k k k +- (给出投影片§7.3.2 A)
推导：设直线l 1到l 2的角为θ，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2.
如果1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1，则θ＝2
π；如果1＋k 1k 2≠0
设l 1、l 2的倾斜角分别是α1和α2，则k 1＝tan α1，k 2＝tan α2
由上图(1)(2)分别可知：
θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2－α1）
∴tan θ＝tan （α2－α1）或tan θ＝tan ［π＋（α2－α1）］＝tan （α2－α1）于是tan θ＝1
212
12121tan tan 1tan tan k k k k +-=+-αααα ［师］根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l 1到l 2的角取绝对值而得到l 1与l 2的夹角公式.
4.直线l 1和l 2的夹角公式
tan α＝1
2121k k k k +- ［师］下面，我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.
5.例题讲解
［例4］求直线l 1：y ＝－2x ＋3，l 2：y ＝x －
23的夹角(用角度制表示). 解：由两条直线的斜率k 1＝－2，k 2＝1得
tan α＝3)
2(1)2(111212=-+--=+-k k k k ∴α＝ar c tan3＝71°3４′
评述：此题是直接应用两直线的夹角公式，要求学生熟练掌握.
［例5］等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2＝0，底边所在直线l 2的方程是x ＋y －1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程.
分析：已经已知l 3上一点，故求出l 3的斜率k 3即可，如图，根据
等腰三角形的性质，可得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2，而θ1、θ
2分别为直线l 1到l 2与l 2到l 3的角，而根据公式这两角都可用斜率表
示，由此可建立关于k 3的方程.
解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2
到l 3的角是θ2，则k 1＝2
1，k 2＝－1. ∴tan θ1＝2
1)1(121)1(11212⋅-+--=⋅+-k k k k ＝－3. 因为l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1＝θ2，ｔa ｎθ2＝tan θ1＝－3. 即23231k k k k ⋅+-＝－3，将k 2＝－1代入得
3
311k k -+＝－3 解得k 3＝2.
因为l 3经过点(－2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为y ＝2（x －（－2）) 即：2x －y ＋４＝0
这就是直线l 3的方程.
评述：此题应用了l 1到l 2的角的公式及等腰三角形有关知识，并结合了直线方程的点斜式，要求学生注意解答的层次.
Ⅲ.课堂练习
课本P 50练习
1.求下列直线l 1到l 2的角与l 2到l 1的角：
（1）l 1：y ＝2
1x ＋2；l 2：y ＝3x +7；
(2)l 1：x －y ＝5；l 2：x ＋2y －3＝0
解：（1）∵k 1＝2
1，k 2＝3 ∴设l 1到l 2的角为θ1，则
tan θ1＝23121
312112+-
=+-k k k k ＝1 ∴θ1＝４5°即l 1到l 2的角为45°.
∴l 2到l 1的角为135°.
(2)解：∵k 1＝1，k 2＝－2
1 ∴设l 1到l 2的角为θ1，则l 2到l 1的角为θ2＝π－θ1
∴tan θ1＝321112112112=---
=+-k k k k ∴θ1＝π－arctan3.θ2＝arctan3
即l 1到l 2的角为π－arctan3，l 2到l 1的角为arctan3.
2.求下列两条直线的夹角：
（1）y ＝3x －1，y ＝－3
1x ＋４； （2）x －y ＝5；y ＝４.
(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.
解：(1)k 1＝3，k 2＝－
3
1. tan α＝037313133112112-=⨯---=+-k k k k 分母为0，正切值不存在.
此时，两直线夹角为90°.
(也可根据k 1·k 2＝-1得出的结论)
(2)k 1＝1，k 2＝0
tan α＝2
1121k k k k +-＝1 ∴α＝４5°
即两直线夹角为４5°.
(3)k 1＝35，k 2＝－3
5 ∴k 1·k 2＝－1
∴两直线夹角为90°.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与l 1到l 2的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P 53习题7.3
8.三角形的三个顶点是A (6，3)，B (9，3)，C (3，6)，求它的三
个内角的度数.
解：由斜率公式：k AB ＝6
933--＝0 k BC ＝
2
19336-=-- k AC ＝6336--＝－1 tan CAB ＝AB
AC AB AC k k k k ⋅+-1＝－1 ∴∠CAB ＝135°
tan ABC ＝01211+=⋅+-BC AB BC
AB k k k k 2
1= ∴∠CBA ＝arctan 2
1＝26°3４′ ∴∠C ＝1８0°－135°－26°3４′＝1８°26′
9.已知直线l 经过点P （2，1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程.
解：设直线l 的斜率为k 1，直线5x ＋2y ＋3＝0的斜率为k 2.
则k 2＝－2
5. tan ４5°＝
21121k k k k ⋅+-＝1 即1125125k k ---
＝1 解得k 1＝-73或k 1＝3
7. 所以直线l 的方程为：
y －1＝－73（x －2）或y －1＝3
7（x －2） 即：3x ＋7y －13＝0或7x －3y －11＝0.
（二）
1.预习内容：P 50～
51
2.预习提纲：
（1）如何通过直线方程判断两直线相交? （2）如何求解两直线的交点?
●板书设计。