高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料
第一篇 一元函数微积分
第一章 极限与连续§1 函 数习 题
1.确定下列初等函数的定义域：
(1) 2
1
)(2−−+=x x x x f ；
(2)4)(2−=x x f ；(3) 21
arcsin )(−=x x f ；(4)2
)
5lg()(x x x f −=
；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；
(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】
(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}
3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}
4,1[|{:∈=x x D (6)
+ +∈=+∞
−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.
2. 作出下列函数的图象：
（1）|sin |sin )(x x x f −=；
(2)|1|2)(−−=x x f ；
（3）
+−−=,
1,1,2
1)(x x x x f .12,
21,
1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)
2(2)
2 (3)
3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；
（2）x
x
x f x x +−+−=11lg
110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .
4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,
)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.
)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.
5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且
()x
c x bf x af =+1
)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

5．【答案】在已知条件中, 令x t /1=, 则得到 ct t bf t af =+
)(1, 即
cx x bf x af =+
)(1, 联立解方程组
=+
= +,)(1,1)(cx x bf x af x c x bf x af 得到
−−=
bx x a b a c
x f 22)(, 因此函数)(x f 是奇函数.6．下列函数中，哪些是周期函数？如果是周期函数，写出它们的最小正周期：
（1）x x x f sin )(2=；（2）x x f 2sin )(=；（3）|2cos |)(x x f =；
（4）)2sin(1)(−+=x x f π。

6．【答案】 (1) 不是周期函数; (2) π=T ; (3) 2
π
=
T ; (4) 2=T .
7．设f 是定义于（-a ,a ）上的偶函数，若它在（0，a ）上单调减少，证明f 在（-a ,0）上是单调增加的。

7． 【答案】. 若t s >>0, 则t s −<−<0, 于是)()(t f s f −>−, 即)()(t f s f >, 即)(x f 在)0,(a −单调增加的.
8．判断下列函数在给定区间上是否有界：
（1）);
4,2(,2
2
)(∈−+=x x x x f （2）),0(,sin )(2+∞∈=x x x x f ；
（3）)1,0(,1
sin 1)(∈=x x
x x f ；
（4）),1(,sin )(+∞∈+=x x x x f。

8． 【答案】 (1) 无界 ; (2) 无界; (3) 无界; (4) 无界
9．设,2)(,)(2x x g x x f ==求g g f f f g g f o o o o ,,,。

9． 【答案】 x g f 22=o ; 2
2x f g =o ; 4x f f =o ; x
g g 22=o 10．下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成：（1）53)(−=x x f ；（2）x x f lg )(=；（3）))1sin(lg()(2+=x x f .
10.【答案】 （1）u f =， 53−=x u ; (2) u f =v u lg =, x v =(3) u f sin =v u lg =, 12+=x v .
11．求下列函数的反函数，并指出反函数的定义域：（1）x x f 3sin 2)(=;
（2）1)(+=x x
a a x f ;
（3）2
)(x
x a a x f −−=;
（4）]1,0[)(,1arcsin 4)(2=−=f D x x f .
11. 【答案】 (1) 2arcsin 31x y =, 22:≤≤−x D ; (2) x
x
y a −=1log , )1,0(=D ; (3)
)1(log 2++=x x y a , ),(+∞−∞=D ; (4) 4
cos 2x
y =, ]2,0[:π=D .
§2 数列的极限 习 题
1. 证明：数列L L ,1,
,3
1,
2
1,
1n
为无穷小量。

1. 【答案】 对于任意给定的0>ε,
ε<n
1, 解得21
ε>
n , 于是取
=21εN , 当N n >时, 成立
ε<n
1, 因此01
lim
=∞
→n n , 即
n 1是无穷小量.2. 证明：若数列{n a }收敛于a ，则数列{|n a |}收敛于||a 。

并问其逆命题是否成立？
2. 【答案】 若对任意给定的0>ε，总存在整数0>N ，当N n >时，都有ε<−||a a n . 对于任意给定的0>ε, 由于a a a a n n −≤−||||, 于是当N n >时，都有ε<−||||a a n , 因此|}{|n a 收敛于||a . 但反之不一定成立, 例如n n a )1(−=.
3. 求下列极限：
（1）∞→n lim n n n +−2
21
3;（2）∞→n lim
+−−1122n n n n ;（3）∞→n lim
n
n n
n 3)1(3)2(+−+−;（4）∞→n lim 1
)
!sin(2
+n n n ;（5）∞→n lim
n
n
b b b a a a ++++++++L L 2211 （1||,1||<<b a ）;（6）∞→n lim −+++222121
n n n n
L ;
（7）∞→n lim
+++⋅+⋅)1(1321211n n L ;（8）∞→n lim n
n
n
n a a a a −−+− (a ＞0).3 【答案】 (1) 3; (2) 1; (3) 分子分母同除以n 3, 极限为1; (4) 利用|)!sin(|n 有界,
极限为0; (5) a b −−11; (6) 21; (7) 利用1
1
1)1(1+−=+n n n n , 极限为1;(8) >=<<−1,10,110,
1a a a .4. 下列命题是否正确？正确的请给予证明，不正确的请举出反例。

（1） 若{n a }收敛，{n b }发散，则{n a +n b }与{n a n b }均发散；（2）
若{n a }，{n b }均发散，则{n a +n b }，{n a n b }也均发散。

4. 【答案】 (1) }{n n b a +发散, 用反证法证明; }{n a 不收敛于零时}{n n b a 发散, 用
反证法证明, 当}{n a 收敛于零时, 不一定. 例n
a n 1
=, n n b )1(−=, 则}{n n b a 收敛, 但
2)1(n b n n −=时, }{n n b a 发散. (2) 不一定;
5. 设n a = n n 2124321−⋅L
，证明n a ＜1
21
+n ,并求出∞→n lim n a 。

5. 【提示】
)
12()2(43)12()12(312222222
+⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅=n n n n a n L L 121)2()12)(12(453231222++−⋅⋅=n n n n L 121+<
n 6. 证明：∞→n lim 0)2()2(2)1(1333=
+++++n n n n L .6. 【提示】 利用3
33)()2(1n
n
k n k n ≤+≤, n k ,,2,1K =, 根据夹逼性即得.7. 利用“单调有界数列必有极限”，证明下列数列{n x }收敛，并求出它们的极限：
（1）;,2,1,2,211L ===+n x x x n n （2）;
,2,1,2,211L =+==+n x x x n n （3）.,2,1,11,111L =++
==+n x x x x n
n
n 7. 【提示】 (1) }{n x 是单调增加的, 且2<n x .
(2) 首先用归纳法证明数列是单调增加的. 显然222+=u >12u =, 设1−>n n u u 成立,
则1n u +=
n u =也成立, 因此数列是单调增加的. 其次证明它有上界. 仍用归纳法来证明. 对于21=u <12+, 设对于n 成立
<
n u 12+， 则
11n u +=<<==,
因此由归纳假设可知，对一切n , 有n u
<1+. 这样数列{ n u }有上界. 因此数列收敛. 注意, 在此题有界性的证明中, 归纳假设的界不是唯一的, 可以假设1+<k a n , 其中k 是任意大于2的正数. 这种不唯一性也给初学者带来困惑.（3）提示： 显然 2n x <. 归纳法证明数列单调增加. 利用
11
11111(1)(1)
n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x −−+−−−−=−=++++即可.
8. 利用Cauchy 收敛准则，证明以下数列{n x }的收敛性：
（1）n n n
x 2
sin 22sin 21sin 2+++=L ;
（2）)1(cos 322cos 211cos +++⋅+⋅=
n n n
x n L ;（3）222131211n x n ++++=L （提示：n ≥2时 n n n
1
1112−−<）。

8. 【提示】 )
(n m >(1) m n n n m a a 2
1
2121||1+++≤−+L n 21≤ε<, 只要ε1log 2>n ;
(2) ≤−||n m a a
)1(1)2)(1(1)1(1−++++++m m n n n n L n m n 111<−< ε<, 只要ε1
>n ; (3) ||n m a a − 2221
)2(1)1(1m n n +
++++=
L 2
22)1(1)1(1)1(1++++++≤n n n L 2)1(+=
n n
n
1<ε<, 只要ε1>n .§3 函数的极限
习 题
1. 验证下列极限：（1）3
lim →x 21=+x ;
（2）0
lim →x 2
1x e
−
= 0。

1. 【解】 （1） 对于任意给定的ε > 0, 21−+x 2
1|3|++−=
x x 2
|
3|−≤
x ε<, 取}2,1min{εδ=, 则当x 适合不等式δ<−<|3|0x 时，21−+x ε<， 因此
21lim 3
=+→x x .
（2） 假定10<<ε， 取})(ln ,5.0min{1−−=εδ. 则当x 适合不等式δ<<||0x 时，2
1x
e
− ε<， 因此. 0
lim →x 02
1=−
x e
.
2. 设a
x →lim f (x ) = A ＞0，证明a
x →lim
A x f =)(。

2【证明】由于0)(lim >=→A x f a
x , 则对于任意给定的ε > 0, 存在01>δ, 当
10||0δ<−<x x 时, ε<−|)(|A x f , 存在02>δ, 当2
0||0δ<−<x x 时,02
)(>>A
x f , 取},min{21δδδ=, 则当x 适合不等式δ<−<||00x x 时,
A x f −)(=
|
)(|
|)(|A x f A x f +− ≤
|)()(|10x f x f A
−A
ε
≤
,
因此成立A x f x x =
→)(lim
.
3. 求极限：
（1）2lim →x 2
34
22+−−x x x ;
（2）a x →lim a
x a x n
n −−（n 是正整数）;
（3）0lim →h h
x h x 1
)11(−+;
（4）0lim →x x
x x x 1
)31)(21)(1(−+++;
（5）1lim →x )12
11(2
x x −−
−; （6）1lim
→x 1
2−−+++x n
x x x n L 。

3 【答案】(1) 4; (2) n na ; (3) 21x −; (4) 6; (5) 211
21lim 112x x x → −=− −− ;(6) 利用 n x x x n −+++L 2 )1()1()1(2−++−+−=n x x x L ,
∑=−−=−−+++n i i n x x x n x x x 12111L ∑∑=−=
=n
i i k k x 110, 极限为=∑=n i i 1(1)2n n +;.
4. 求极限：
（1）0lim →x nx mx sin sin ; （2）0lim →x x
x x
2sin 2cos 1−;
（3）0lim →h h x
h x cos )cos(−+; （4）0lim
→x 2
cos cos x nx mx −;（5）∞→n lim n n x 2sin 2; （6）x x x tan )2(lim 2
π
−π→
;
（7）π
→x lim
x
x
5tan 3sin ; （8）)4
tan(
2tan lim 4
x x x −⋅→
π
π
.
4 【答案】(1)m
n
, (2) 1; (3) sin x −; (4) 222n m −;
(5) x ; (6) –1; (7) 35; (8) 1
2.
5. 讨论函数
∈∈∈=)3,2(,2],
2,1(,],
1,0(,)(221x x x x x x f x 在x = 0,1,2三个点的单侧极限。

5. 【答案】 +∞=+→)(lim 0
0x f x ，21
)(lim 0
1=
−→x f x ，1)(lim 0
1=+→x f x ，4)(lim 02=−→x f x ，
4)(lim 0
2=+→x f x .
6. 讨论]
[1
1)(x x x f −=
在各整数点处的单侧极限。

6. 【解】011lim )(lim 00=
−=+→+→n x x f n x n x ，0≠n ，
)1(1111
lim )(lim 00−= −−=−→−→n n n x x f n x n x , 1,0≠n .7. 求极限：
（1）∞
→x lim x
x 241
+
；（2）∞→x lim x x
5)1
1(−；
（3）∞→x lim （
x
x x )1+；（4）∞→x lim x
x
x )2223(
−−.7. 【答案】 (1) 8
e ; (2) 5
−e ; (3) 1
−e ; (4) 2
1−e .
8. 求曲线1
1
2++=x x y 的渐近线.
8. 【答案】 1−=x , 1−=x y .
9. 求曲线12+−=x x y 的渐近线。

9. 【答案】 21−=x y , 2
1
+−=x y .如下图.
10. 求曲线2
22
−+=x x x y 的渐近线。

10 【解】 0,1,2==−=y x x .
§4 连续函数
习 题
1．下述命题是否正确，请对正确的给予证明，并对错误的举出反例：（1） 设函数f 在x = 0x 连续，则 | f | 在x = 0x 也连续；（2） 设 | f | 在x = 0x 连续，则f 在x = 0x 也连续；
（3） 设f 在x = 0x 连续，g 在x = 0x 间断，则f+g 在x = 0x 间断；（4） 设f 和g 在x = 0x 都间断，则f+g 在x = 0x 一定间断。

1. 【答案】 (1) 正确; 利用||||||00x x x x −≤−由极限定义证明.
(2) 不正确; 例
≤−>=0101)(x x x f , 在0=x .
(3) 正确; 反证法, 不然f g f g −+=)(应该连续.
(4) 不正确. 例 ≤−>=0101)(x x x f , ≥−<=010
1)(x x x g , 在0=x .
2．确定下列函数的间断点及其类型：
（1）f (x ) = 3
)1(4
+x ;（2）f (x ) =
1
1
2
++x x ; （3）f (x ) = (1-11)−−x
x e
; （4）f (x ) = )sgn(sin x
n
;
（5）f (x )=[x ]+[-x ]; （6）f (x ) = x
x 1)21(+ .
2. (1) 3=x 无穷间断点; (2) 在R 上的连续函数; (3) 0=x 无穷间断点,
1=x 跳跃间断点(如图);
(4) 【答案】 π
k n
x =
, L ,2,1±±=k 跳跃间断点, 0=x 间断点. (5) n x =6樱桃沟把5间断点; (6) 0=x 可去间断点. 注意: a x 的定义域
0>x , 因此本函数的定义域2
1
−>x , 因此不考
虑点21
−=x .
3．如果0
lim x x →f (x )＞0，0
lim x x →g (x )也存在。

证明
lim x x →f (x )
)
(x g = [0
lim x x →f (x )]
)
(lim 0
x g x x →.
3．【答案】 利用x e y =及x y ln =的连续性，)(ln )()()(x f x g x g e x f =，
)
()
()
(lim )
(lim 00
x g x x x g x x x f x f →→=)
(ln )(lim 0
x f x g x x e
→=)
(ln lim )(lim 0
x f x g x x x x e
→→=)
(lim ln )(lim 0
x f x g x x x x e
→→=)
(lim 00)(lim x g x x x x x f →
=→4．利用上题结果，求极限：
（1）∞→n lim ),
1
4(tan n
n +π（2）∞
→x lim x
x )11(2
+
.4. 【答案】 (1) 2e ; (2) 1.5．求极限：
（1）3lim
→x 32
1−−+x x ;（2） 2
lim
→x 2
2
33
−−x x ;（3）∞
→x lim
3
322
1
+++x x x ;
（4）∞→x lim )11(22−−+x x ;
（5）−∞
→x lim );22(22x x x x −−+ （6）0
lim →x x x cot )sin 1(+;
（7）+∞
→x lim ]ln )2[ln(x x x −−;
（8）∞→x lim b a x b
x a x b a x b x a x ++++++++2)
()()(;（9）0lim →x x x cot )]4
[tan(−π
;
（10）∞→x lim x x
x )1
cos 1(sin +.
5. 【答案】 (1) 41; (2) 326
1
; (3) 1; (4) 0; (5) 2−; (6) e ;
(7) 2−; (8) )(b a e +−; (9) 2−e ; (10) e .
(10) 的计算过程: x
x x x
+∞→1cos 1sin lim ()t t t t 10cos sin lim +=→()t
t t t 10)tan 1(cos lim +=→()()t t t t t t 1010tan 1lim cos lim +⋅=→→,0)2
sin 21(lim )(cos lim 12
010=−=→→t t t t t t ,e t t t
t t t t t =+=+⋅→→tan tan 10
1
)
tan 1(lim )tan 1(lim ,
于是 x
x x x
+∞→1cos 1sin lim e =.
6．利用等价无穷小替代的方法计算：
（1）0lim →x 4
cos ln ]1)1[(x x
x x −+;
（2）2lim π→x )sin 1)(sin 1(sin 1x x x
βαβα−−−+，其中0,0>>βα（提示：令)1sin t x −=。

6. 【答案】 (1) 2
1
−
; 1)1(−+x x 1)1ln(−=+x x e 2~)1ln(~x x x +,
−=2sin 21ln )ln(cos 2x x 2~2
x − ()[]
40cos ln 11lim
x x x x x −+→2121lim 440−=−=→x x x (2) αββα+. −=x x 2cos sin π
， 记t x =−2π， 于是t x cos sin =,
()()
x x x
x β
α
βαπ
sin 1sin 1sin 1lim
2
−−−+→
()()
t t t
t β
α
βαcos 1cos 1cos 1lim
−−−=+→，而x
k cos 1−()2
2sin 11k
t −−= 2
2
~
t k ， 于是()()
t t t
t β
α
β
αcos 1cos 1cos
1lim
0−−−+→2
2
2
2
2
2
lim
t t t t β
α
β
α+=→αβ
β
α+=7．当0→x 时，用x 的幂函数表示下列函数的等价无穷小量：（1）;64532x x x −+ （2）;
32x x +（3）;31213x x +−+（4）);1ln()1ln(x x −−+（5）x x sin ;
（6）x x sin 1tan 1+−+.
7. 【答案】 (1) 24x ; (2) 3
1x ;
(3) 22
1
x ;事实上， 33121x x +−+ ()()
1
311213−+−−+=x x ()1313131212332++++−
++=x x x x x ()
++++−++=131313121233
2x x x x ()()
()()
1
21131311213131312332332
++
++++++− ++++=x x x x x x x
()()
()()
1
211313112131311312332332
++
++++−+− −++−+=x x x x x x x
，
而 ()()()x
x x x x 12131311312lim
3
32
−+−
−++ −+→ ()(
)
()
x x x x x x x 1213lim 13121312lim 03320−+−−++ −+=→→3=于是
23
02
13121lim
x
x x x +−+→()()
()()
12113131121313113122lim 33233
20++ ++++−+− −++−+=→x x x x x x x x 1632=×=，因此 2
32
1
~3121x x x +−+ (4) )1ln()1ln(x x −−+ −+=x x 11ln
−+=x x 121ln x x −12~
x 2~; (5) ||x ; (6) x x sin 1tan 1+−+ x x x
x sin 1tan 1sin 1tan 1+++−−+=
x x x x sin 1tan 1sin tan +++−=
x x x x sin 1tan 11cos 1sin +++
−= x
x x x x cos )sin 1tan 1()cos 1(sin +++−=x x x x
x cos )sin 1tan 1(2sin 2sin 2
+++⋅=3
4
1~x 8．设f 在),(+∞−∞上连续，且∞
→x lim f (x ) = A ，试证明f 在),(+∞−∞上有界。

8. 【答案】 本题给出了判别函数在),(+∞−∞上有界的一个准则, 其证明需运用极限的分析定义. 因为 ,)(lim A x f x =∞
→ 取10=ε, 则存在0>X , 当X x >||时,
1|)(|0=<−εA x f , 即1)(1+<<−A x f A , 所以1|)(|+<A x f . 在闭区间],[X X −上, 连续函数一定有界, 即存在00>M , 使0|)(|M x f <, 因此对一切
),(∞−∞∈x , },1max{|)(|0M A x f +<, 函数有界.
9．证明方程0153=+−x x 在（0，1）内有实根。

9. 【提示】令153)(+−=x x f x , 在区间]1,0[内运用零点存在定理.
10．证明方程在0143=+−x x 在（0，1）内有且仅有一个实根。

10. 【提示】令14)(3+−=x x x F , 分别在区间]0,3[−]1,0[,]3,1[内运用零点存在定理, 而)(x F 是三次多项式, 因此最多三个零点.
11．设f 是[0，2a ]上的连续函数，f (0) = f (2a )，证明：存在],0[a ∈ξ，使得
)()(a f f +=ξξ。

11. 【提示】令 )()()(a x f x f x F +−=, 在],0[a 内对)(x F 运用零点存在定理.12．设f 是 [0，1] 上的连续函数，且0≤f (x ) ≤1对一切]1,0[∈x 成立，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f （满足这个关系式的ξ称为f 的不动点）。

12. 【提示】令x x f x F −=)()(, 先讨论在0,1==x x 的情况, 再在区间]1,0[内运用零点存在定理.
13．设a ＞0，b ＞0，证明：方程 b x a x +=sin 至少有一个不超过a +b 的正根。

13. 【提示】令b x a x F −=sin )(, 先讨论在b a x +=和0=x 的情况, 再在区间],0[b a +内运用零点存在定理.
14. 设f 是],[b a 上的连续函数，且],[,0)(b a x x f ∈≠，证明f x ()在],[b a 上恒正或恒负.
【解】 反证法. 不然, 如果在],[b a 内存在两点b d c a ≤<≤, 使0)()(≤d f c f , 当等号成立时, 与已知矛盾. 若 0)()(<d f c f , 则根据介值定理知, 在),(d c 存在一点ξ, 使0)(=ξf , 也与已知矛盾.
15．设f 是],[b a 上的连续函数，b x x x a n ≤<<<≤L 21，证明在],[1n x x 中必有
ξ，使得
)]()()([1
)(21n x f x f x f n
f +++=L ξ.
15．【解】 令)}(,),(),(max{21n x f x f x f M L =,
)}(,),(),(min{21n x f x f x f m L =, 于是()M x f x f x f n
m n ≤+++≤)()()(1
21L , 若其
中一个等号成立, 则结论成立, 否则利用介值定理得到在),(1n x x 内中必有ξ，使得
)]()()([1
)(21n x f x f x f n
f +++=L ξ.。