专题04比较大小(解析版)

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《比较大小》专项突破
高考定位
比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。

考点解析
（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法
题型解析
类型一、特殊值法
例1-1．已知1
1
1,,,a b a M a N a P b a b <<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（
） A ．N M P <，即N M >，
又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，
a a a
b ∴>，即M P >，
N M P ∴>>，
故选：B.
例1-2．设02x π<<
，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，
所以a b c <<，
故选：A
例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x x
x a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c a b >> 【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.
【详解】
因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，
所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.
用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22x x x ===，
再对其均平方得()()()22
22232.25 5.0625,29,228x x x =====，显然()()()22
232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==，所以222x x x >>，所以b c a >>
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.
例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1y
a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy
b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y
c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（）
A ．a b c <>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知
11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．
【详解】 0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<<
利用不等式性质可知11x
>，01xy <<，1111xy y x >>>， ∴011()()1y a x x
=>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y y c x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.
类型二、单调性法
例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c b a >>
D ．b c a >> 【答案】C
【分析】根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭
x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以3
3444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以b c <，故a b c <<.
故选：C
练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，则这三个数的大小关系为（） A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．c b a >> 【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】
0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因为54x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>，又 4.10
44155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故b c a >>.
故选：B.
练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 【答案】B
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质判断可得；
【详解】
解：因为1ln ln10e
<=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；
故选：B
类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）
例3-1．已知43a =
，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b a c >>
D ．a c b >> 【答案】A
【分析】首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.
【详解】因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭
，所以4333log 3log 4>，即a b >.
又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，
所以a b c >>.
故选：A
练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >a >b
D ．c >b >a
【答案】D
【分析】利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.
【详解】
22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<，
55553
25log log log 5253log 32231010100.30.3110333
a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c
b a >>.
故选：D
例3-2．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，所以a c >，所以c a
b <<.
故选：D.
练．已知12019ln 20202020a =+，12020ln 20212021
b =+，12021ln 20222022
c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】A
【分析】
根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.
【详解】
构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，a b c >>. 故选：A
练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b c a <>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.
【详解】
解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x
-'=，当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
则当x e =时，()max ln 1e f x e e =
=，即,b a b c >>； ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366
a c ---=-==<，则c a >，所以
b
c a >>，故选：C ．
【点睛】
思路点睛：
比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；
2、利用作差法，判断两数与零的关系；
3、利用作商法，判断两数与1的关系.
练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．b c a >> 【答案】B
【分析】
先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.
【详解】
∵log log m a a m b b =， ∵777log lo 6g 23g 2826lo a =
==， 777log 3lo 6
g 2g 3936lo b ===
7log 66
c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，
所以b a c >>.
故选：B
【点睛】
指、对数比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =
，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【答案】D
【分析】设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小；【详解】
解：设()ln x f x x
=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∵函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ==
=，5(5)ln 5
c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∵a b c <<，
故选：D . 例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（）
A ．d b b d 
D ．不确定
【分析】
由c a a c =得
ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可得到d b
b d >.
【详解】
因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln a
c
a c =，设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln x
y x -'==0，得x e =，
当(0,)x e ∈时，0y '>，ln x
y x =单调递增，
当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln x
y x =单调递减；因为ln ln a
c
a c =，0a
b
c
d <<<<，所以a
e c <<，所以ln ln ln b c
d
b c d >>，即d b b d >.
故选：C.
【点睛】
指、对数比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（
） A ．b a c <，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.
【详解】
因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.
因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x
=， 2
1ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，
(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.
则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ
<，因此3ln ln3ππ<，即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.
所以b a c <<.
故选：A
【点睛】
本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.
练．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
【答案】C
令ln ()()x f x x e x
=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】解：令ln ()()x f x x e x =≥，2
1ln ()x f x x -'=，可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，
ln 4
ln 5
,5ln 44ln 5,45
a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：
44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ
>∴>∴>∴>∴>， ∵b a c <<.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
类型四、中间量
例4-1．若0.80.2a =，0.20.8b =，0.31.1c =，lg0.2d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（） A ．c b a d >>>
B ．c a b d >>>
C ．b c a d >>>
D ．a c b d >>>
【答案】A
【分析】
由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】
由指数函数的单调性知：0.20.80.20.2>，0.301.1 1.11>=
由幂函数的单调性知：0.20.20.80.2>，
所以0.20.20.810.80.20.20c b a >>=>>=>，
又由对数函数的单调性可知：lg 0.2lg10d =<=
综上有：c b a d >>>.
故选：A
例4-2．已知1
253a -
⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（） A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．b c a >> 【答案】D
【分析】由1
1225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.
【详解】因为1
12253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，22log 5log 42b =>=，
3331log 3log 7log 92c =<=<=，
所以b c a >>
故选：D
练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）
A ．b a c >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【分析】
根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.
【详解】
根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =<，2log 3(1,2)c =∈，
设22log log 3b c =，
因为函数
2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，
所以a b c >>.
故选：C.
练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b c a >>
D ．c a b >> 【答案】B
【分析】
根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.
【详解】
由51log 2log log 522
a a a =⇒==<，
由112
b >>>，0.312
c =>，所以c b a >>，故选：B
类型五、放缩法
例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2
x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
【答案】D
【分析】先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.
【详解】
因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；
函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22
x <<，ln 1212x <<，即1122
c b <<<<，综上得：b c a >>
故选：D
练．设02x π
<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）
A ．a b c <，
所以a b c <<，
故选：A
练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（
） A ．a b c >> B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
【答案】C
【分析】
利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.
【详解】因为32π
π<<，所以()sin30,1a =∈，
33log sin 3log 10b =<=，
sin30331c =>=，
所以c a b >>.
故选：C
练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A ．c a b <，332log 6log 1.5c >=>，
所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.
故选：C.
类型六、比较法
例6-1作差法．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）
A ．b c a <=即可得解.
【详解】由3333339
2log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，
23log 3log 222220a c -=+->>-=，
所以a c >，
所以a c b >>，
故选：A.
【点睛】
本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：
（1）利用函数单调性比较大小；
（2）中间量法比较大小；
（3）作差法、作商法比较大小.
例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32
=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.
【详解】由30.754a ==
, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<，
所以3455
log 5log 4a b =<=，
因为3444(2)89=<=
，故342<
所以3422
log 2log a c =<= 因为58165>，故85165>，
因为5832<，故8532<，所以8
555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22
b c ===>=，所以b c >，
故a c b <<，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．b c a >> 【答案】D
【分析】先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运
算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.
【详解】因为1ln 02
<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=>
2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524
c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>
故选D
【点睛】
本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.
类型七、图像法
例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【分析】分别画出函数1221(),log ,2
x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.
【详解】
分别画出函数1221(),log ,2
x y y x y x ===的图象，如图所示，由图象，可得c b a <<.
故选：B.
练．若44log x x -=，14
4log y y =，44log 0z z -+=，则实数x ，y ，z 的大小关系为（） A ．x y z <<
B ．z y x <<
C ．z x y <<
D ．y z x <<
【答案】D
【分析】利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.
【详解】
对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、
四象限，
∵()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而
1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162
f g =<=，可得()1,2x ∈，
对于14
4log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，
∵()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，对于44log 0z z -+=，显然有1
2
z =， ∵x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，
故选：D.
例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】C
【分析】
由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案
【详解】
ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.
依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1
y x =在(0,)+∞上的图像，
如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.
故选：C.
练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】A
【分析】
将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122x y =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.
【详解】
4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-，
即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，
33b b +=134b b ⇒+=-，
即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，
22a a -+=1242a a ⇒+
=-，
即a 为函数122
x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出图象，如图所示：
由图象可知：b a c <<.
故选：A.
练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（）
A ．x y z <<
B ．z y x <<
C ．y x z <<
D ．z x y <<
【答案】B
【分析】
首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.
【详解】
对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg 5lg 6lg 30x y ==, 所以lg 30lg 5
x =，lg 30lg 6y =，因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<，
所以lg30lg30lg5lg 6
>，即x y >，又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +=
==+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6
y +===+>，所以0log log 1x x z y x <=<=，
所以z y x <<.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.
类型八、方程中隐含条件
例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（） A ．x y z >>
B ．y x z >>
C ．x z y >>
D ．以上均不对
【答案】A
【分析】
将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可
【详解】
解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =，所以z z
e e zx ⋅=，所以2z
e x z =，
令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，
所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，
所以z e z >，即y z > 所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z
---=-==>，所以x y >，
综上x y z >>，
故选：A
练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.
【详解】
设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，
1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭
，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，
即)c b e e =∈，而ln 2122
a =
<，所以a c b <<．故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.
练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5
z 的大小关系是（） A ．532
z y x <，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．
【详解】
,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，
可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∵
11121,31,51235k k k x y z ---=>=>=>，令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，
上单调递增， ∵()()()532f f f >>，即
532
z y x >>，故选：B ．
【点睛】关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性．例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的
大小关系是（）
A ．c a b >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
【答案】A
【分析】
分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】
ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.
∵若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，
ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；
∵若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，
ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.
综上所述，c a b >>.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（）
A ．a b c ==
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．b a c >> 【答案】D
【分析】
令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.
【详解】
令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，
故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，
因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.
又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，
若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.
若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，
即a c b <<或a b c >>.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.
例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（）
A ．lg lg b a a b 
D ．不确定
【答案】C
【分析】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数
函数的单调性和运算性质即可求解
【详解】
令()()2,3x x f x x g x x =+=+，
则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；
由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==
考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，
b b a a b b ∴>>
由b a a b >，得()()lg lg b a
a
b >，即lg lg b a a b >
故选：C
练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（） A ．a b 
D ．无法比较【答案】A
【分析】
从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.
【详解】
假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，
由51118a b a +=得51151118()()11818
a a a a a +≥⇒+≥，因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818
f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；
由7915a b a +=得797915()()11515
b b b b b +≤⇒+≤，因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515
g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >；
即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，
故选：A
【点睛】
思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
巩固训练（精选以一敌百）
1．（多选）（2022·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（） A ．221a b +
C ．222log log 2-<a b
D ．211b b a
+> 【答案】BD
【详解】
由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项
对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；
对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误
2．（多选）（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（）
A ．x y z >>
B ．x z y >>
C ．z x y >>
D ．z y x >> 【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k
=，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>；故选：ABC。