第1讲(2) 实数的运算与实数的大小比较
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则A＋B＝ {-3, -2, 0, 1, 3, 5, 7} ．
5.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列
0 ，将其中的每个数换成该数在0 中出现的次数，可
得到一个新序列1 .例如序列0 ：(4，2，3，4，2)，通
过变换可生成新序列1 ：(2，2，1，2，2).若0 ：
(5，2，3，4，2)，则下列的序列可作为1 的是( D )
1－
－
－
－
＝ ×
3 ＋2×3 5 ＋2×5 7 ＋2×7 9 ＋…＋2×
2
1
1
－
199
201
1 1 1 1 1 1 1
1
＝ ×1－3＋3－5 ＋5－7＋7－9
2
1
1
＋ …＋199－201
设a, b是两正实数，
a
a
则
>1⇔a>b
＝1⇔a＝b；
b
b
a
b <1⇔a<b
绝对值比
较法
设a, b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；
|a|＝|b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b
其他方法
除此之外，还有平方法、倒数法等方法
n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0.
如：若|a|＋b2＋ c ＝0，则a＝b＝c＝0.
回归教材
实数的大小比较有窍门
教材母题
比较下列各组数的大小：
>
(1) 2.02…_______2.020020002…；
3 9
3
3
<
(2)－ 3________－
2；
(3)
=
| 3－ 5|________
>
(4)π－3________0.14.
6
2 8
6
5－ 3；
第2讲┃ 归类示例
10
＝b2＋1，例如：7*4=42＋1=17,那么5*3=_______.
3 1 10
3
±12
10.已知|a|=4,|b|=3,则ab=__.
a=±4
b=±3
11.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，
0
m＝3，则代数式2(a＋b)－3cd＋m的值为__．
a+b=0 c·d=1
第2讲┃ 回归教材
归类示例
第2讲┃ 归类
示例
命题角度：
►
类型之一
实数的运算
1．实数的加减乘除乘方开方运算；
2．实数的运算在实际生活中的应用．
1
例1计算：
1
（1）
2 3
2
2
1
（2） 2023 1
3
1
（3）
3
-4
1
0
1
1
元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是
不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以
构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}．类比实
数有加法运算，集合也可以“相加”．
定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称
为集合A与集合B的和，记为A＋B．若
1
A＝{－2，0，1，5，7}，B＝{－3，0，1，3，5}，
A. (1，2，1，2，2)
C. (1，1，2，2，3)
B. (2，2，2，3，3)
D. (1，2，1，1，2)
▪ 6. 甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：
甲报1，乙报2，丙报3，甲再报4，乙报5，丙报
6，……，依此循环反复下去，当报出的数为2023时
游戏结束.若报出的数是偶数，则该同学得1分，当报
规则 大的较大；两个负数，绝对
小
值大的反而________
在数轴上表示的两个实数，
几何比
右边
________的数总是大于
较规则 左边
________的数
第2讲┃ 考点聚焦
差值比较
法
商值比较
法
考点3 比较实数大小的常用方法
设a, b是任意两实数，
则a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；
a－b＝0⇔a＝b
值法，(7)计算器比与数轴
命题角度：
1．实数与数轴上的点一一对应关系；
2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；
3．数轴与实数大小比较、实数运算结合；
4．利用数轴进行代数式的化简．
例3 在如图2－1所示的数轴上，点B与点C关
于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 3 和－1，
的运算顺序进行．中考中常常把绝对值、锐角三角函数、
二次根式结合在一起考查．
(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．
−
负指数幂的运算：
=
(a≠0，且p是正整数)，
零指数幂的运算： ＝1(a≠0)．
第2讲┃ 归类示例
► 类型之二
实数的大小比较
命题角度：
1．利用实数的比较大小法则比较大小；
2．实数的大小比较常用方法．
和 3 ， 点B关于点A的对称点为C，则点C所表
7
-1
示的数为 2 7
1 x 7 (1)
▪ 2.观察下列各式：
2
3
3
3
3
2
2
3
3
1 =1
1 +2 =3
1 +2 +3 =6
3
3
3
3
2
1 +2 +3 +4 =10 …
3
2
3
3
3
猜想1 + 2 +3 +…+10 = 55
3、观察下列运算：
2
2
5 5 125， 8 2 128
▪ 5.已知 2 2a 4 a2 b 1 0 ，则 a b ( ab)=_5
a=2,b=-3
▪ 6.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例
2
如[3.69]=3，[ 3 ]=1，按此规定[ 13 1]=___．
则点C所对应的实数是( D )
A.1 3
C.2 3 1
B.2 3
D.2 3 1
图2－1
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称；
(2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距
离相等；
(3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将
实数及表示实数的字母在数轴上表示出来，
然后结合相反数、绝对值及数轴上数的符号
运 除(除数不为零)、乘方都可
数指数的意义，
算 以进行，但开方运算不一定能
法 进行，正实数和零总能进行开 防止以下错误：
－2
则 方运算，而负实数只能开奇次 ①3 ＝
；②
方，不能开偶次方
－2
2a ＝
运算 有理数的一切运算性质的运
性质 算律都适用于实数运算
(2)遇到绝对值一
般要先去掉绝对值
先算乘方、开方，再算
1 1 1 1
第 2 个等式：a2＝ ＝ × － ； (2)用含n的代数式表示第n个
3×5 2 3 5
1
等式：an＝_____
(2n - 1)(2n 1)
1 1 1 1
第 3 个等式：a3＝ ＝ × － ；
5×7 2 5 7 (n为正整数)；
1 1
1
＝______
▪7．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，
这四个点中最适合表示 7 的点是 P
9
1
8．设a＝20，b＝(－3)2，c＝ 3
2
9 ，d＝(
1
－1，则a、
)
2
b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是(
A )
A．c＜a＜d＜b
B．b＜d＜a＜c
C．a＜c＜d＜b
D．b＜c＜a＜d
9.用“*”定义新运算，对于任意实数a、b，都有a*b
337 分.
数结束时甲同学的得分是 ＿
2 2n - 1 2n 1
1 1 1 1
第 4 个等式：a4＝ ＝ × － ； (3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100
7×9 2 7 9
…
的值．
第2讲┃ 归类示例
(3) a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
据观察猜想、归纳出一般规律；(3)用得到的
规律去解决其他问题．
对数式进行观察的角度及方法：(1)横向
观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，
以及变化的数字或式子间的关系；(2)纵向观
察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对
应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化
的数字或式子间的关系．
合作探究
▪ 1.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为－1
81 8、
82 64、
83 512、
84 4096、
85 32768
86 262144、
......则81 82 83 ... 82023的和
的个位数字是4
____
反馈训练
▪ 4.一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些
元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的
1
例 2 当 0<x<1 时，x ，x， 的大小顺序是(
x
1
1
2
A. < x < x
B. < x 2 <x
x
x
1
1
2
2
C．x < x <
D．x< x <
x
x
2
C
)
第2讲┃ 归类示例
两个实数的大小比较方法有：
(1)正数大于零，负数小于零；(2)
利用数轴；(3)差值比较法；(4)商
值比较法；(5)倒数法；(6)取特殊
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
＝ ×1－3＋3－5＋5－7＋7－9＋…＋199－201
2
1 1 200 100
1
＝ ×1－201＝ ×
＝
.
2
2 201 201
第2讲┃ 归类示例
关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)
先对给出的特殊数式进行观察、比较；(2)根
► 类型之四 探索实数中的规律
命题角度：
1. 探究实数运算规律；
2. 实数运算中阅读理解问题．
例4
观察下列等式：
请解答下列问题：
1 1 1
第 1 个等式：a1＝ ＝ ×1－ ； (1)按以上规律列出第5个等式
1
11 1
1×3 2 3
2 9 11
9 11
：a5＝____＝____；
，
运 最后算加减，有括号的要先算 符号，再进行计算；
算 括号内的，若没有括号，在同
顺 一级运算中，要从左至右依次 (3)无论何种运算，
都要注意先定符号
序 进行运算
后运算
第2讲┃ 考点聚焦
大于
正数________零，负数
小于
大于
代数比 ______零，正数________一
较
切负数；两个正数，绝对值
特征等相关知识来解决实数的有关问题．
个性展示
. . -1C. .0 B1. 2. C3.
A
-3 -2
▪ 1．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示
的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（ D ）
A. 3
B. 2
C. 3或5
D. 2或6
2023
▪ 2. 若x，y为实数，且 x 2 y 2 0 ，则 x
2023
5 2 18 2
1
（4） 9
2
-4
2 2 2 sin 45
0
2
1
2 sin 45
11
2
2
4
2
32
0
1
第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数
有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样
初中数学中考第一轮复习
第2课时 实数的运算与实数的大
小比较
复习目标:
1.了解实数的运算法则及运算顺序，会比较实
数的大小．
2．了解实数的运算性质．
3．根据差值比较法和商值比较法比较实数的大
小．
复习重难点:实数的运算
第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
内容
实数的运算
提醒
在实数范围内，加、减、乘、 (1)零指数、负整
的
值为(B)
y
A．1
B．-1
C．2
D．-2
▪ 3.下列说法正确的是( A )
x=-2,y=2
①0是绝对值最小的有理数；√
②相反数大于本身的数是负数；√
③数轴上原点两侧的数互为相反数；×
④ 是有理数. ×
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
> 8 2（填“<、=、>”）
▪ 4．比较 5 5 ____
5.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列
0 ，将其中的每个数换成该数在0 中出现的次数，可
得到一个新序列1 .例如序列0 ：(4，2，3，4，2)，通
过变换可生成新序列1 ：(2，2，1，2，2).若0 ：
(5，2，3，4，2)，则下列的序列可作为1 的是( D )
1－
－
－
－
＝ ×
3 ＋2×3 5 ＋2×5 7 ＋2×7 9 ＋…＋2×
2
1
1
－
199
201
1 1 1 1 1 1 1
1
＝ ×1－3＋3－5 ＋5－7＋7－9
2
1
1
＋ …＋199－201
设a, b是两正实数，
a
a
则
>1⇔a>b
＝1⇔a＝b；
b
b
a
b <1⇔a<b
绝对值比
较法
设a, b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；
|a|＝|b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b
其他方法
除此之外，还有平方法、倒数法等方法
n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0.
如：若|a|＋b2＋ c ＝0，则a＝b＝c＝0.
回归教材
实数的大小比较有窍门
教材母题
比较下列各组数的大小：
>
(1) 2.02…_______2.020020002…；
3 9
3
3
<
(2)－ 3________－
2；
(3)
=
| 3－ 5|________
>
(4)π－3________0.14.
6
2 8
6
5－ 3；
第2讲┃ 归类示例
10
＝b2＋1，例如：7*4=42＋1=17,那么5*3=_______.
3 1 10
3
±12
10.已知|a|=4,|b|=3,则ab=__.
a=±4
b=±3
11.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，
0
m＝3，则代数式2(a＋b)－3cd＋m的值为__．
a+b=0 c·d=1
第2讲┃ 回归教材
归类示例
第2讲┃ 归类
示例
命题角度：
►
类型之一
实数的运算
1．实数的加减乘除乘方开方运算；
2．实数的运算在实际生活中的应用．
1
例1计算：
1
（1）
2 3
2
2
1
（2） 2023 1
3
1
（3）
3
-4
1
0
1
1
元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是
不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以
构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}．类比实
数有加法运算，集合也可以“相加”．
定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称
为集合A与集合B的和，记为A＋B．若
1
A＝{－2，0，1，5，7}，B＝{－3，0，1，3，5}，
A. (1，2，1，2，2)
C. (1，1，2，2，3)
B. (2，2，2，3，3)
D. (1，2，1，1，2)
▪ 6. 甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：
甲报1，乙报2，丙报3，甲再报4，乙报5，丙报
6，……，依此循环反复下去，当报出的数为2023时
游戏结束.若报出的数是偶数，则该同学得1分，当报
规则 大的较大；两个负数，绝对
小
值大的反而________
在数轴上表示的两个实数，
几何比
右边
________的数总是大于
较规则 左边
________的数
第2讲┃ 考点聚焦
差值比较
法
商值比较
法
考点3 比较实数大小的常用方法
设a, b是任意两实数，
则a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；
a－b＝0⇔a＝b
值法，(7)计算器比与数轴
命题角度：
1．实数与数轴上的点一一对应关系；
2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；
3．数轴与实数大小比较、实数运算结合；
4．利用数轴进行代数式的化简．
例3 在如图2－1所示的数轴上，点B与点C关
于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 3 和－1，
的运算顺序进行．中考中常常把绝对值、锐角三角函数、
二次根式结合在一起考查．
(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．
−
负指数幂的运算：
=
(a≠0，且p是正整数)，
零指数幂的运算： ＝1(a≠0)．
第2讲┃ 归类示例
► 类型之二
实数的大小比较
命题角度：
1．利用实数的比较大小法则比较大小；
2．实数的大小比较常用方法．
和 3 ， 点B关于点A的对称点为C，则点C所表
7
-1
示的数为 2 7
1 x 7 (1)
▪ 2.观察下列各式：
2
3
3
3
3
2
2
3
3
1 =1
1 +2 =3
1 +2 +3 =6
3
3
3
3
2
1 +2 +3 +4 =10 …
3
2
3
3
3
猜想1 + 2 +3 +…+10 = 55
3、观察下列运算：
2
2
5 5 125， 8 2 128
▪ 5.已知 2 2a 4 a2 b 1 0 ，则 a b ( ab)=_5
a=2,b=-3
▪ 6.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例
2
如[3.69]=3，[ 3 ]=1，按此规定[ 13 1]=___．
则点C所对应的实数是( D )
A.1 3
C.2 3 1
B.2 3
D.2 3 1
图2－1
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称；
(2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距
离相等；
(3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将
实数及表示实数的字母在数轴上表示出来，
然后结合相反数、绝对值及数轴上数的符号
运 除(除数不为零)、乘方都可
数指数的意义，
算 以进行，但开方运算不一定能
法 进行，正实数和零总能进行开 防止以下错误：
－2
则 方运算，而负实数只能开奇次 ①3 ＝
；②
方，不能开偶次方
－2
2a ＝
运算 有理数的一切运算性质的运
性质 算律都适用于实数运算
(2)遇到绝对值一
般要先去掉绝对值
先算乘方、开方，再算
1 1 1 1
第 2 个等式：a2＝ ＝ × － ； (2)用含n的代数式表示第n个
3×5 2 3 5
1
等式：an＝_____
(2n - 1)(2n 1)
1 1 1 1
第 3 个等式：a3＝ ＝ × － ；
5×7 2 5 7 (n为正整数)；
1 1
1
＝______
▪7．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，
这四个点中最适合表示 7 的点是 P
9
1
8．设a＝20，b＝(－3)2，c＝ 3
2
9 ，d＝(
1
－1，则a、
)
2
b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是(
A )
A．c＜a＜d＜b
B．b＜d＜a＜c
C．a＜c＜d＜b
D．b＜c＜a＜d
9.用“*”定义新运算，对于任意实数a、b，都有a*b
337 分.
数结束时甲同学的得分是 ＿
2 2n - 1 2n 1
1 1 1 1
第 4 个等式：a4＝ ＝ × － ； (3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100
7×9 2 7 9
…
的值．
第2讲┃ 归类示例
(3) a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
据观察猜想、归纳出一般规律；(3)用得到的
规律去解决其他问题．
对数式进行观察的角度及方法：(1)横向
观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，
以及变化的数字或式子间的关系；(2)纵向观
察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对
应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化
的数字或式子间的关系．
合作探究
▪ 1.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为－1
81 8、
82 64、
83 512、
84 4096、
85 32768
86 262144、
......则81 82 83 ... 82023的和
的个位数字是4
____
反馈训练
▪ 4.一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些
元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的
1
例 2 当 0<x<1 时，x ，x， 的大小顺序是(
x
1
1
2
A. < x < x
B. < x 2 <x
x
x
1
1
2
2
C．x < x <
D．x< x <
x
x
2
C
)
第2讲┃ 归类示例
两个实数的大小比较方法有：
(1)正数大于零，负数小于零；(2)
利用数轴；(3)差值比较法；(4)商
值比较法；(5)倒数法；(6)取特殊
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
＝ ×1－3＋3－5＋5－7＋7－9＋…＋199－201
2
1 1 200 100
1
＝ ×1－201＝ ×
＝
.
2
2 201 201
第2讲┃ 归类示例
关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)
先对给出的特殊数式进行观察、比较；(2)根
► 类型之四 探索实数中的规律
命题角度：
1. 探究实数运算规律；
2. 实数运算中阅读理解问题．
例4
观察下列等式：
请解答下列问题：
1 1 1
第 1 个等式：a1＝ ＝ ×1－ ； (1)按以上规律列出第5个等式
1
11 1
1×3 2 3
2 9 11
9 11
：a5＝____＝____；
，
运 最后算加减，有括号的要先算 符号，再进行计算；
算 括号内的，若没有括号，在同
顺 一级运算中，要从左至右依次 (3)无论何种运算，
都要注意先定符号
序 进行运算
后运算
第2讲┃ 考点聚焦
大于
正数________零，负数
小于
大于
代数比 ______零，正数________一
较
切负数；两个正数，绝对值
特征等相关知识来解决实数的有关问题．
个性展示
. . -1C. .0 B1. 2. C3.
A
-3 -2
▪ 1．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示
的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（ D ）
A. 3
B. 2
C. 3或5
D. 2或6
2023
▪ 2. 若x，y为实数，且 x 2 y 2 0 ，则 x
2023
5 2 18 2
1
（4） 9
2
-4
2 2 2 sin 45
0
2
1
2 sin 45
11
2
2
4
2
32
0
1
第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数
有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样
初中数学中考第一轮复习
第2课时 实数的运算与实数的大
小比较
复习目标:
1.了解实数的运算法则及运算顺序，会比较实
数的大小．
2．了解实数的运算性质．
3．根据差值比较法和商值比较法比较实数的大
小．
复习重难点:实数的运算
第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
内容
实数的运算
提醒
在实数范围内，加、减、乘、 (1)零指数、负整
的
值为(B)
y
A．1
B．-1
C．2
D．-2
▪ 3.下列说法正确的是( A )
x=-2,y=2
①0是绝对值最小的有理数；√
②相反数大于本身的数是负数；√
③数轴上原点两侧的数互为相反数；×
④ 是有理数. ×
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
> 8 2（填“<、=、>”）
▪ 4．比较 5 5 ____