高考数学大一轮总复习 第11篇 第1节 数系的扩充与复数

（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第11篇 第1节 数系的扩充与复数的引入课时训练 文（含2014年模拟题）新人教A 版
一、选择题
1．(2012年高考辽宁卷)复数2－i
2＋i 等于( )
A.35－4
5i B.35＋45i C ．1－45
i
D ．1＋35
i
解析：2－i 2＋i ＝2－i 2
2＋i 2－i ＝3－4i 5＝35－45i.
故选A. 答案：A
2．(2014安徽省黄山市高中毕业班质检)若复数a －3i
1＋2i
(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，
则实数a 的值为( )
A ．6
B ．－6
C ．5
D ．－4
解析：
a －3i
1＋2i
＝
a －3i
1－2i
5
＝
a －6－2a ＋3i
5
为纯虚数，故
a －6
5
＝0，
－2a ＋3
5
≠0， ∴a ＝6，故选A. 答案：A
3．(2014广东高三联考)复数－i ＋1－i
1＋i 等于( )
A ．－2i B.12i C ．0
D ．2i
解析：－i ＋1－i
1＋i ＝－i －i ＝－2i ，选A.
答案：A
4．( 2014广州高三调研)已知i 为虚数单位，则复数i(2－3i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：i(2－3i)＝2i －3i 2
＝3＋2i ，其对应的点为(3,2)，位于第一象限，故选A. 答案：A
5．(2013年高考广东卷)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：法一 ∵i(x ＋y i)＝3＋4i ， ∴－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴x ＝4，y ＝－3. 故|x ＋y i|＝|4－3i|＝5. 法二 ∵i(x ＋y i)＝3＋4i ，
∴(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i. 即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝5.故选D. 答案：D
6．(2013年高考山东卷)复数z ＝
2－i
2
i (i 为虚数单位)，则|z |等于( )
A ．25 B.41 C ．5 D. 5
解析：z ＝
2－i
2
i ＝4－4i ＋i 2
i ＝3－4i i
＝－4－3i.
∴|z |＝－4
2＋－32
＝5 .故选C.
答案：C 二、填空题
7．(2013年高考重庆卷)已知复数z ＝5i
1＋2i
(i 是虚数单位)，则|z |＝________.
解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪5i 1－2i 5＝|i ＋2|＝ 5.
答案： 5
8．(2013年高考湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.
解析：(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i
9．(2013年高考天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.
解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，
因此a －1＝0，a ＋1＝b . 解得a ＝1，b ＝2， 故a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i
10．复数z ＝1
1＋i (i 是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第______象限．
解析：由题意得z ＝
11＋i
＝1－i 1＋i 1－i ＝12－12i ，所以其共轭复数z ＝12＋1
2
i ，在
复平面上对应的点位于第一象限．
答案：一 三、解答题
11．已知i 是虚数单位，若实数x 、y 满足(1＋i)(x ＋y i)＝(1－i)(2＋3i)，试判断点
P (x ，y )所在的象限．
解：已知等式可化为(x －y )＋(x ＋y )i ＝5＋i ， 根据两复数相等的条件得，
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＝5，x ＋y ＝1，
解得x ＝3，y ＝－2， 所以点P 在第四象限．
12．已知关于x 的方程：x 2
－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b . (1)求实数a ，b 的值．
(2)若复数满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．
解：(1)∵b 是方程x 2
－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2
－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，
解得a ＝b ＝3.
(2)设z ＝s ＋t i(s ，t ∈R )，其对应点为Z (s ，t )， 由|z －3－3i|＝2|z |， 得(s －3)2
＋(t ＋3)2
＝4(s 2
＋t 2
)， 即(s ＋1)2
＋(t －1)2
＝8，
∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示，
当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．∴|OO1|＝2，半径r＝22，
∴当z＝1－i时，
|z|有最小值且|z|min＝ 2.。