三角函数的图像和性质测试题及解析

三角函数的图象与性质

函数y＝A sinωx＋φ的图象

时间：80分钟满分：100分

一、选择题每小题5分,共40分

1．函数y＝sin错误!的周期是．

A．2π B．π D．错误!

解析T＝错误!＝错误!.

答案 C

2．函数y＝cos错误!x∈R是．

A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．无法确定

解析∵y＝cos错误!＝－sin x,∴此函数为奇函数．

答案 A

3．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y＝cos ωx,则ω的值为．

A．2 B．错误!C．4 D．错误!

解析由已知y＝cos x的图象经变换后得到y＝cos 错误!x的图象,所以ω＝错误!.

答案 B

4．函数y＝－x sin x的部分图象是．

解析考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y＝－x sin x是偶函数,当x∈错误!

时,y<0.

答案 C

5．在下列区间上函数y＝sin错误!为增函数的是．

B．错误!C．－π,0 D．错误!

解析由2kπ－错误!≤x＋错误!≤2kπ＋错误!k∈Z得2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!k∈Z,当k＝0时,－错误!≤x≤错误!,故选B.

答案 B

6．已知简谐运动fx＝2sin错误!错误!的图象经过点0,1,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为．

A．T＝6,φ＝错误!B．T＝6,φ＝错误!C．T＝6π,φ＝错误!D．T＝6π,φ＝错误!

解析将0,1点代入fx可得sin φ＝错误!.

∵|φ|<错误!,∴φ＝错误!,T＝错误!＝6.

答案 A

7．已知函数y＝A sinωx＋φ＋B的一部分图象如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<错误!,则．

A．A＝4 B．ω＝1 C．φ＝错误!D．B＝4

解析由图象可知,A＝2,错误!T＝错误!－错误!＝错误!,T＝π,

ω＝2.∵2×错误!＋φ＝错误!,∴φ＝错误!,故选C.

答案 C

8．若函数fx＝3sinωx＋φ对任意的x都有f错误!＝f错误!,则f错误!等于．A．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3

解析∵f错误!＝f错误!,

∴fx关于直线x＝错误!对称,

∴f错误!应取得最大值或最小值．

答案 D

二、填空题每小题5分,共20分

9．函数y＝cos x在区间－π,a上为增函数,则a的取值范围是________．解析∵y＝cos x在－π,0上为增函数,

又在－π,a上递增,∴－π,a⊆－π,0,∴a≤0.

又∵a>－π,∴－π<a≤0.

答案－π,0

10．函数y＝tan x,x∈错误!的值域是________．

解析∵y＝tan x在错误!上单调递增,

∴0≤tan x≤1,即y∈0,1．

答案0,1

11．已知函数y＝2sinωx＋φω>0在一个周期内当x＝错误!时,有最大值2,当x＝错误!时有最小值－2,则ω＝________.

解析由题意知T＝2×错误!＝π.∴ω＝错误!＝2.

答案 2

12．函数y＝6sin错误!的初相是________,图象最高点的坐标是________．解析初相为－错误!,当错误!x－错误!＝错误!＋2kπ,即x＝错误!＋8kπk∈Z时,函数取得最大值6.

答案－错误!错误!k∈Z

三、解答题每小题10分,共40分

13．用“五点法”作出函数y＝2sin错误!＋3的图象,并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．

解1列表：

2

将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展,得y＝2sin错误!＋3的图象．

由图象知,周期T＝2π,频率f＝错误!＝错误!,

相位为x－错误!,初相为－错误!,最大值为5,最小值为1,

函数的单调递减区间为错误!,k∈Z,单调递增区间为错误!,k∈Z.

14．求函数y＝－2tan错误!的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调性．解由3x＋错误!≠错误!＋kπ,得x≠错误!＋错误!k∈Z,∴函数y＝－2tan错误!

的定义域为错误!.它的值域为R,周期为T＝错误!,它既不是奇函数,也不是偶函数．由－错误!＋kπ<3x＋错误!<错误!＋kπk∈Z,得－错误!＋错误!<x<错误!＋错误!k∈Z,所以函数y＝－2tan错误!在区间错误!k∈Z上单调递减．

15．设函数fx＝sin错误!错误!,y＝fx图象的一条对称轴是直线x＝错误!.

1求φ；

2求函数y＝fx的单调增区间．

解1∵x＝错误!是y＝fx的图象的一条对称轴,

∴sin错误!＝±1,∴错误!＋φ＝kπ±错误!,k∈Z,

∵0<φ<错误!,∴φ＝错误!.

2由1知φ＝错误!,因此y＝sin错误!.

由题意得：2kπ－错误!≤错误!x＋错误!π≤2kπ＋错误!,k∈Z,

即4kπ－错误!π≤x≤4kπ＋错误!,k∈Z,

∴函数的单调增区间为错误!,k∈Z.

16．已知函数fx＝A sinωx＋φ错误!的图象在y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为x0,2和x0＋3π,－2．

1求fx的解析式；

2将y＝fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的错误!,然后再将所得到的图象向x轴正方向平移错误!个单位长度,得到函数y＝gx的图象,写出gx的解析式,并作出在长度为一个周期上的图象．