高考数学一轮复习 2.1函数及其表示课件 文 湘教版

2
综上可知，正确的判断是（2)（3).
【答案】（2)（3)
4.（2014·连云港期末)已知函数f（x)＝ 2，x∈ ［0，1］
x，x ［0，1］
则使f（f（x))＝2成立的实数x的集合为.
【解析】当x∈［0，1］时，f（f（x))＝f（2)＝2成立；
当x ［0，1］时，f（f（x))＝f（x)＝x，要使f（f（x))＝2成立，
∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－ 2 1(x>1)．
【变式训练】2.
（1)若f（x＋1)＝2x2＋1，求f（x)的表达式；
（2)若2f（x)－f（－x)＝x＋1，求f（x)的表达式； （3)若函数f（x)＝ x ，f（2)＝1，又方程f（x)＝x有唯一解
1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些实际问题.
2.1函数及其表示
函数
两集合 A、B
设A、B是两个非空 数集. 任意
【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
提示： 不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不
是相等函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,值域都为
［-1,1］,显然不是相等函数.因此判断两个函数是否相等,关键是看
定义域和对应关系.
4.函数的表示法:
故 f(x2－3x)的定义域是[－1，1]∪[2，4]．
求函数的解析式
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达
式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待
定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意
f（
1 2
))＝0.
其中正确判断的序号是.
【解析】对于（1)，由于函数f（x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}， 而函数g（x)＝1， x≥0，
-1，x<0的定义域是R，所以二者不是同一函数；
对于（2)，若x＝1不是y＝f（x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f（x)的图
象没有交点，
如果x＝1是y＝f（x)定义域内的值，
C. 32,1
D. 32,1
解析：
当
且仅
当
3x 2 2 2x

0 0
即
x

2 3
时函数有意义，
x 1
故选 C.
答案： C
2.(2013·惠州三调)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面 的一组实验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12

m=0或
m>0
=

4m
2
-12m

0
0 m 3 4
答案：
0,
3 4

求函数的定义域
1.求函数定义域的步骤 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式 有意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制 条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y=f（x）由 实际问题给出时，注意自变量x的实际意义. 2.求抽象函数的定义域时 (1)若已知函数f(x)的定义域为［a,b］,其复合函数f(g(x))的定义域 由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］,则f(x)的定义域为g(x)在 x∈［a,b］时的值域.
、
、
.
5.分段函数
解析法 图象法 列表法
若函数在其定义域的不同子集上,因
不同而分别用几个不
同的式子来表示，这种函数称为分段对函应数关.分系段函数虽由几个部分组
成,但它表示的是 函数.
一个
1.函数 y=lg(3x－2)+ 2 - 2x 的定义域是 ( )
A.

2 3
,1
B.

32 ,1
要求；将表中数据代入选项 D 中，基本符合要求.
【答案】D
3.有以下判断：
（1)f（x)＝ x 与g（x)＝1， x≥0，
x
-1，x<0表示同一函数； （2)函数y＝f（x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
（3)f（x)＝x2－2x＋1与g（t)＝ t2－2t＋1是同一函数；
（4)若f（x)＝|x－1|－|x|，则f（
(3)已知
f
(x


f(x)的解析式;
(4)已知 f ( 2 1) lg x ，求 f(x)的解析式. x
【解析】 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝0，∴c＝0，又 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
∴a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.
知识点
函数及其表示
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1.了解构成函数的要素;了解映射的概念. 2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法）
表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单的应用.
函数的定义域与值域 单调性 奇偶性
指数与指数函数
对数与对数函数
1.会求一些简单的函数的定义域与值域. 2.理解函数最大值、最小值及其几何意义.
新元的取值范围；
1
(4)方程思想：已知关于f(x)与f( x _)或f(－x)的表达式，可根据已知条
件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(1)已知 f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求
f(x)的解析式;
(2)已知 3f(x)＋5f（ 1 ）＝ 2 ＋1，求函数 f(x)的解析式; xx
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1 或 1＜x＜2}． (2)依题意 a≤x≤b 且 a≤－x≤b，所以 a≤x≤b 且－b≤x≤
－a，注意到－b<a<－a<b，故得函数 F(x)＝f(x)＋f(－x)的定
义域是{x|a≤x≤－a}．
【变式训练】
1.（1)求函数y= 25- x2 +lg cos x的定义域：
元素x
与
之对应
f：A→B
元素y
称对应
为从集合A到集合
B的一个映射
对应f：A→B是一个映射
【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ 提示： 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非 空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.
2.函数的定义域、值域 在函数y=f（x），x∈A中,x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A叫} 做函数的值域. 3.函数的构成要素为: 定义域 、 对应关系 和 值域. 由于值域是由定义 域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的 定义域 相同,并 且 对应关系 .完全一致,我们就称这两个函数 相等 .
（2)已知f（x）的定义域是［-2，4］， 求f（x2-3x）的定义域.
【解析】 (1)由2co5s－xx>20≥，0，
－5≤x≤5， 得2kπ－π2<x<2kπ＋π2（k∈Z），
借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为
－5，－32π∪－π2，π2∪32π，5. (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4， 即xx22－－33xx＋－24≥≤00，，即x－≤11≤或xx≤≥42. ， 解得－1≤x≤1 或 2≤x≤4.
幂函数、函数与方程 函数的图象 函数的应用
导数及导数的运算 导数的应用
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x，y=x2,y=x3,y=1
1
,y=2x 的图象,了解它们的变化情况.
x
3.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的
零点与方程根的关系.
4.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
只需x＝2.综上，实数x的集合为{x|0≤x≤1或x＝2}.
【答案】{x|0≤x≤1或x＝2}
5.（2012·宝鸡月考）若函数 f ( x)= 2mx2 +4mx -1
的定义域为 R ，则 m 的取值范围是
.
解析：由已知 2mx2 +4mx+3 1=20 恒成立， 即mx2 +4mx+3 0恒成立，
即 2ax＋a＋b＝x＋1，
∴2a＋ a＝b1＝，1，∴ab＝ ＝1212， ，∴f (x )＝12x 2＋12x .
(2)以1x替换原等式中的 x，则 3f1x＋5f(x)＝2x＋1.
故
3f（x）＋5f1x＝2x＋1， 两式相减消去 3f x1＋5f （x ）＝2x ＋1，
f 1x 整理，
得 f(x)＝58x－38x＋18(x≠0)．
(3)令 x＋1x＝t，则 t2＝x2＋x12＋2≥4.
∴t≥2 或 t≤－2 且 x2＋x12＝t2－2.∴f(t)＝t2－2. 即 f(x)＝x2－2(x≥2 或 x≤－2)．
(4)令2x＋1＝t，由于 x>0，∴t>1 且 x＝t－2 1，
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普 遍使用的函数模型）的广泛应用.
1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意1 义. 2.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3x,y= ,yx= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
理解函数的单调性及其几何意义.
结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
1. 了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;了解对数在简化运算中的运用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a＞0,且a≠1).
由已知43mxmx43mxmxppt精选15求函数的定义域求函数定义域的步骤对于给出具体解析式的函数而言函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合求解时一般是先寻找解析式中的限制条件建立不等式再解不等式求得函数定义域当函数由实际问题给出时注意自变量x的实际意义
第二章 函数、导数及其应用
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 函数的图象 2.5 二次函数与幂函数 2.6 指数函数 2.7 对数函数 2.8 函数与方程 2.9 函数模型及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算 2.11 导数的应用（一） 2.12 导数的应用（二）
由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x)的图象只有一个交点，
即y＝f（x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；
对于（3)，f（x)与g（t)的定义域、值域和对应关系均相同，
所以f（x)和g（t)表示同一函数；
对于（4)，由于f 1 ＝ 1 -1 － 1 ＝0，
2 2
2
所以f（ f（ 1 ))＝f（0)＝1.
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最
接近的一个是( )
A.y＝2x－2
B.y＝ 1 x
2
C.y＝log2x
D.y＝ 1 (x2－1)
2
【解析】直线是均匀的，故选项 A 不是；y＝ 1 x 指数函数是单调递
2
减的，也不符合要求；对数函数 y＝log2x 的增长是缓慢的，也不符合
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，
使个中的对于数集f（合，xA在）中集都的合和有数B它唯x.对一应一确定 f:A→B
名称 记法
称
为从集合A到集合B的
一个函数
y=f（x），x∈A
映射
设A、B是两个非空 集合 .
任意
如果按某一个确定的对应关系f，
使对于集合A中的
一
个 中
都，在有集唯合一.B的确定
求解下列各题： (1)求函数 y＝ x＋1＋l（g（x－2－1）x）0 的定义域； (2)已知函数 f(x)的定义域是[a，b]，且－b<a<0，求函数 F(x) ＝f(x)＋f(－x)的定义域．
【解析】 (1)要使函数 y＝ x＋1＋l（g（x－2－1）x）0 有意义，
应有xx22＋－－－11xx＞≥≠≠0001，，，. 即xxx≠＜≥1－2，，1，有－x≠11≤. x＜2，