高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1-1
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修1-1
令 y′＝0，得 v＝16，
所以当 v0≥16，
即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，
ymin＝32 000(元)；
当 v0＜16，即 v∈(8，v0]时，y′＜0， 即 y 在(8，v0]上为减函数， 所以当 v＝v0 时，ymin＝1v00－00v820(元)． 综上，当 v0≥16 时， 即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，为 32 000 元； 当 v0＜16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为1v000－0v820元．
如图，四边形 ABCD 是一块边 长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点 且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准 备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN，问如何施工才能使 游乐园的面积最大？并求出最大面积．
解：以 M 为原点，AB 所在直线为 y 轴建 立直角坐标系， 则 D(4，2)． 设抛物线方程为 y2＝2px. 因为点 D 在抛物线上， 所以 22＝8p， 解得 p＝12.
解：(1)由题意， 60x－x∈(0，5]，x＞0， 所以 0＜x≤50， 所以技改投入 x 的取值范围是(0，50]． (2)设 f(x)＝(60－x)x2，x∈(0，50]， 则 f′(x)＝－3x(x－40)， 0＜x＜40 时，f′(x)＞0；40＜x≤50 时， f′(x)＜0， 所以 x＝40 时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值 为 32 000 万元．
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
所以抛物线方程为 y2＝x(0≤x≤4)． 设 P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线 MD 上任一点，则|PQ|＝2＋y， |PN|＝4－y2. 所以矩形游乐园的面积为 S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2) ＝8－y3－2y2＋4y. S′＝－3y2－4y＋4，令 S′＝0， 得 3y2＋4y－4＝0，
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义学案新人教B版选修1-1
3.1.3 导数的几何意义1．了解导数概念的实际背景． 2．知道瞬时变化率就是导数．3．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．1．瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx ________时，平均变化率fx 0＋Δx －fx 0Δx趋近于一个______，则常数l 称为函数f (x )在______的瞬时变化率．用趋近于符号“→”记作当Δx →0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx→l.这时，还可以说，当Δx →0时，函数平均变化率的极限等于函数在x 0的__________．记作“lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝l”．(1)运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率． (2)运动的瞬时加速度就是速度函数y ＝v (t )的瞬时变化率．【做一做1－1】函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率为__________．【做一做1－2】一质点作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则质点的初速度为__________．2．某点处的导数函数在x 0的瞬时变化率，通常就定义为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.于是可写作________________＝f ′(x 0)．【做一做2】函数f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为__________． 3．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 处导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )内可导．这样，对开区间(a ，b )内__________，都对应一个确定的导数f ′(x )，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的________．记为f ′(x )(或y x ′、y ′)．导函数通常简称为导数．如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．函数f (x )在x 0处可导，是指当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于某个常数(极限存在)，如果ΔyΔx不趋近于某个常数(极限不存在)，就说函数在点x 0处不可导，也说无导数． 【做一做3】函数f (x )＝x 2的导函数(导数)为__________． 4．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的__________．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)，相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．如果函数在x 0处的导数不存在，则说明斜率不存在，此时切线方程为x ＝x 0.【做一做4】函数y ＝x 2在点(2,4)处的切线的斜率为__________．1．如何求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数？ 剖析：(1)求函数的改变量Δy ； (2)求平均变化率ΔyΔx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 2．“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系？ 剖析：(1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.3．“Δx →0”的意义．剖析：Δx 与0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δx ≠0.题型一 导数的定义【例1】已知函数y ＝f (x )在点x 0处可导，试求下列各极限的值． (1)lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx；(2)lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h.分析：利用函数y ＝f (x )在点x 0处可导的条件，可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题．导数定义中增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种形式，Δy 也应与之相对应．反思：解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决．题型二 求导数 【例2】已知函数y ＝x ，求y ′，y ′|x ＝1.分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧． 反思：函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念，在点x 0处的导数是函数的导数在x ＝x 0处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．题型三 利用导数求曲线的切线方程【例3】求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3处的切线的斜率，并写出切线方程．分析：利用导数的几何意义求斜率，然后用点斜式写出直线方程．反思：(1)求函数在某点处的切线方程的一般步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；②根据点斜式得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意(x 0，y 0)为曲线上的点并且是切点．(2)函数f (x )在点x 0处有导数，则在该点处函数f (x )的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；反之不成立．例如f (x )＝x 在点x ＝0处有切线，但它不可导．题型四 易错题型【例4】试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线的方程．错解：∵函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x ， ∴y ′|x ＝3＝2×3＝6.∴切线方程为y －5＝6(x －3)，即y ＝6x －13.错因分析：没有注意到点P 不在曲线上，点P 不是切点，本题把点P 当成了切点，从而导致错误．反思：求曲线上在点P 处的切线与过点P 的切线有区别，在点P 处的切线，点P 必为切点；求过点P 的切线，点P 未必是切点，点P 也不一定在已知曲线上．应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会．若点P 在曲线上，要分点P 是切点和不是切点两种情况解决．1设函数f (x )可导，则lim Δx →0f1＋Δx －f 12Δx等于( )A ．f ′(1)B ．2f ′(1)C ．12f ′(1) D．f ′(2)2设函数f (x )可导，lim m →0f x 0＋m －f x 0－mm等于( )A ．2f ′(x 0)B ．f ′(x 0)C ．12f ′(x 0) D ．f ′(m)3函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数是__________．4函数y ＝x 2在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为2，则x 0等于__________．5试求过点P (0，－1)且与曲线y ＝x 2＋3相切的直线方程． 答案：基础知识·梳理1．趋近于0 常数l 点x 0 瞬时变化率l 【做一做1－1】2 Δy Δx＝f1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－12Δx＝Δx ＋2，当Δx →0时，Δx ＋2→2，故所求瞬时变化率为2.【做一做1－2】3 质点的初速度即为s ＝3t －t 2在t ＝0处的瞬时变化率．Δs ＝s (0＋Δt )－s (0)＝3(Δt )－(Δt )2，则ΔsΔt＝3－Δt ， 当Δt →0时，3－Δt →3，故质点的初速度为3.2．lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx【做一做2】2 由做一做1－1及导数定义知所求导数为2. 3．每个值x 导函数【做一做3】2x 求函数f (x )＝x 2的导数就是求其在其定义域内任一点x 处的导数． Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ， 当Δx →0时，2x ＋Δx →2x ，故函数f (x )＝x 2的导数为2x ，即f ′(x )＝2x . 上述过程用极限符号表示为：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 4．切线的斜率【做一做4】4 函数y ＝x 2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2在x ＝2处的导数． 因此其斜率k ＝lim Δx →02＋Δx 2－22Δx＝lim Δx →0(Δx ＋4)＝4. 典型例题·领悟【例1】解：(1)原式＝lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－－Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx(Δx →0时，－Δx →0)＝－f ′(x 0)． (2)原式＝lim h →0f x 0＋h －f x 0＋f x 0－f x 0－h2h＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤lim h →0f x 0＋h －f x 0h ＋lim h →0 f x 0－f x 0－h h＝12[f ′(x 0)＋f ′(x 0)]＝f ′(x 0)． 【例2】解：∵Δy ＝Δx ＋x －x ， ∴Δy Δx ＝Δx ＋x －x Δx＝ΔxΔx ＋x ＋x Δx＝1Δx ＋x ＋x.∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01Δx ＋x ＋x ＝12x. ∴y ′|x ＝1＝12.【例3】解：∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x Δx ＝－1x 2， ∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝13＝－9.∴切线方程为y －3＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13， 即9x ＋y －6＝0.【例4】正解：函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 20，切线斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵切线过点P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5，从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为2x 0＝10.∴所求切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)或y －5＝10(x －25)， 即y ＝2x －1或y ＝10x －245. 随堂练习·巩固1．C 原式＝12lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝12f ′(1)．2．A 原式＝lim m →0f x 0＋m －f x 0＋f x 0－f x 0－mm＝lim m →0f x 0＋m －f x 0m ＋lim m →0f x 0－f x 0－mm＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)．3．－1 Δy ＝11＋Δx －11＝－Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝－11＋Δx，f ′(1)＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋Δx ＝－lim Δx →011＋Δx ＝－1. 4．1 由导数的几何意义可知函数y ＝x 2在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率就是该点处的导数．由做一做3知：y ′＝2x ，由题意得，00|22x x y x '＝＝＝，解得x 0＝1.5．分析：点P 不在曲线上，可设切点为A (x 0，y 0)．切线的斜率k ＝f ′(x 0)，又k ＝y 0－－1x 0－0＝y 0＋1x 0，利用二者相等列出方程即可解决．解：函数y ＝x 2＋3的导数为y ′＝2x .设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋3， 切线斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0.∵切线过点P (0，－1)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0＋1x 0＝x 20＋4x 0.∴2x 0＝x 20＋4x 0，解得x 0＝2或x 0＝－2.从而切点A 的坐标为(2,7)或(－2,7)．当切点为(2,7)时，切线的斜率为2x 0＝4；当切点为(－2,7)时，切线的斜率为2x 0＝－4.∴所求切线方程为y －7＝4(x －2)或y －7＝－4(x ＋2)，即y ＝4x －1或y ＝－4x －1.。
教育最新K122017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1_1
3．3.3 导数的实际应用学习目标 1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1 平面几何中的最值问题例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．命题角度2 立体几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练 2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)命题角度2 费用(用料)最省问题例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练4 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 34．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．答案精析知识梳理 知识点 1．优化问题 3．数学建模 题型探究例1 解 (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3，当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以当θ＝π3时，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.跟踪训练1 解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)，∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2) ＝16x －12x 2＋2x 3，y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)，令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数单调递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数单调递减，∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值为329 3.例2 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm ，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝1 800，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积为V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练24 00027π 解析 设矩形的长为x cm ， 则宽为(10－x )cm (0<x <10)． 由题意可知，圆柱体积为V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3.∴V ′＝20πx －3πx 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.例3 解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11， 所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得x ＝4 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．跟踪训练3 解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． 例4 解 (1)设隔热层厚度为x cm ， 由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，又C (0)＝8，所以k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5.而隔热层建造费用为C 1(x )＝6x .所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400x ＋2， 令f ′(x )＝0，即2 400x ＋2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0， 故x ＝5为f (x )的极小值点也为最小值点， 对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元． 跟踪训练4 解 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300， 令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)． 因为函数的定义域为(0,35]， 所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．答 为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． 当堂训练1．C [∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )·(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9，又当x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，∴当x ＝9时函数取最大值，故选C.] 2．C [因为y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)，当t ∈(6,8)时，y ′>0，当t ∈(8,9)时，y ′<0，故当t ＝8时，y 取极大值也为最大值．] 3．B [设长方体的宽为x (m)， 则长为2x (m)，高为h ＝18－12x4＝92－3x (m)(0<x <32)， 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(92－3x )＝9x 2－6x 3(0<x <32)，从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )， 令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)． 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值， 从而最大体积为V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．] 4．160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x)，即y ＝20x ＋80x＋80，则y ′＝20－80x，令y ′＝0，得x ＝2.小学+初中+高中∴当x＝2时，y min＝160(元)．5．解(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．小学+初中+高中。
高中数学第三单元导数及其应用3.3.3导数的实际应用课件新人教B版选修1_135
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 解答
由(1)知，y′＝－480x2000＋300， 令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35]， 所以函数在定义域内没有极值点. 又当0<x≤35时，y′<0， 所以 y＝480x000＋300x 在(0,35]上单调递减，
跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行 速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运 输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平 方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； 解答
反思与感悟
(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这 类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函 数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f′(x) ＝ 0 时 ， 如 果 函 数 在 这 点 有 极 大 ( 小 ) 值 ， 那 么 不 与 端 点 值 比 较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
本课结束
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.
12345
规律与方法
1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实 际问题中变量之间的函数关系y＝f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者 为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要 思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出 函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
2019-2020学年人教B版高中数学选修1-1导学案：第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2
1
.
2
2
又 f (-2)=- 2 , f (2)= 2 ,
5
5
∴ f ( x) 在区间［ -2,2 ］上的最大值是
1 ，最小值是 - 1 .
2
2
温馨提示
即函数 f ( x)=
x
2
的定义域为
x1
R. 又∵
lim
x
x
2
x
=0,
1
∴f ( x) 在 R上的最大值与最小值还分别为
1 和- 1 . 22
又 f (0)=0,
此 , f ( x) max=f (- 1 )= 5 , f ( x) min=f (1)=-1. 3 27
温馨提示
此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组
. 利用待定系数法求解 .
三、利用导数极值求函数的解析式 【例 3】 已知函数 f ( x)= x3-3 ax2+2bx 在 x=-1 处有极小值 1，试确定 a、 b 的值，并求 f ( x) 的单调区间 .
3.3.2 利用导数研究函数的极值
课堂导学
三点剖析
一、求函数极值
【例 1】 确定函数 f ( x)= x 在区间［ -2,2 ］上的单调性并求 x2 1
最大值和最小值 .
f ( x) 在区间［ -2,2 ］上的极大值、极小值、
x ( x2 1) x( x 2 1)
解析： 由已知得 f ′ ( x)=
( x2 1) 2
1 x2
, 令 f ′ ( x)=0, 解得 x=-1 或 x=1. 列出下表：
( x2 1) 2
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算课堂导学案新人教B版选修1-1
3.2 导数的运算课堂导学三点剖析一、求函数的导数【例1】 求下列函数的导数.(1)y =(2x 2+3)(3x -1);(2)y =(x -2)2;(3)y =x -s in 2x ·cos 2x ;(4)y =3x 2+x cos x ;(5)y =tan x ;(6)y =e x ·ln x ;(7)y =lg x -21x. 解析：(1)方法一：y ′=(2x 2+3)′(3x -1)+(2x 2+3)(3x -1)′=4x (3x -1)+3(2x 2+3)=18x 2-4x +9.方法二：∵y =(2x 2+3)(3x -1)=6x 3-2x 2+9x -3,∴y ′=(6x 3-2x 2+9x -3)′=18x 2-4x +9.(2)∵y =(x -2)2=x -4x +4,∴y ′=x ′-(4x )′+4′=1-4×2121-x =1-221-x . (3)∵y =x -s in2x cos 2x =x -21s in x , ∴y ′=x ′-(21s in x )′=1-21cos x . (4)y ′=(3x 2+x cos x )′=6x +cos x -xs in x ; (5)y ′=(xx cos sin )′=;cos 1cos sin cos 2222x x x x =+ (6)y ′=xe x+e x ·ln x ; (7)y ′=.210ln 13xx + 二、求直线方程【例2】 2004全国高考卷Ⅳ，文19 已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在P (1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(Ⅰ)求直线l 2的方程；(Ⅱ)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积.解：(Ⅰ)y ′=2x +1.直线l 1的方程为：y =3x -3.设直线l 2过曲线y =x 2+x -2上的点B (b ,b 2+b -2),则l 2的方程为y =(2b +1)x -b 2-2.因为l 1⊥l 2,则有2b +1=-31,b =-32. 所以直线l 2的方程为y =-31x -922.(Ⅱ)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧--=-=.25,61.92231,33y x x y x y 得 所以直线l 1和l 2的交点坐标为(25,61-) l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)、(322-，0). 所以所求三角形的面积S =.12125|25|32521=-⨯⨯ 温馨提示要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.三、利用导数求函数解析式【例3】 已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，-1)处与直线y =x -3相切，求实数a 、b 、c 的值.思路分析：解决问题的关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来.题中涉及三个未知数，题设中有三个独立条件，因此，通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值是可行的途径.解：∵曲线y =ax 2+bx +c 过P (1，1)点，∴a +b +c =1.①∵y ′=2ax +b ,∴y ′｜x =2=4a +b .∴4a +b =1.②又曲线过Q (2，-1)点，∴4a +2b +c =-1.③联立①②③解得a =3,b =-11,c =9.温馨提示用导数求曲线的切线方程或求曲线方程，常依据的条件是(1)切点既在切线上，又在曲线上；(2)过曲线上某点的切线的斜率，等于曲线的函数解析式在该点的导数.各个击破类题演练1求下列函数的导数(1)y =x 6 (2)y =431x (3)y =21x (4)y =x 解：(1)y ′=(x 6)′=6x 6-1=6x 5;(2)y ′=;4343)()1(471434343----=-='='x x x x (3)y ′=(x -2)′=-2x -3;(4)y ′=(x )′=(21x )′=.2121121xx =-变式提升1求下列函数的导数：(1)y =(x +1)(x +2)(x +3) (2)y =11+-x x 解：(1)解法一：y ′=［(x +1)(x +2)］′(x +3)+(x +1)(x +2)(x +3)′=［(x +1)′(x +2)+(x +1)(x +2)′］(x +3)+(x +1)(x +2)=(x +2+x +1)(x +3)+(x +1)(x +2)=(2x +3)(x +3)+(x +1)(x +2)=3x 2+12x +11解法二：y =x 3+6x 2+11x +6,∴y ′=3x 2+12x +11.(2)解法一：y ′=)11('+-x x .)1(2)1()1()1()1()1)(1()1()1(222+=+--+=+'+--+'-=x x x x x x x x x 解法二：y =1-12+x , y ′=(1-12+x )′=(-12+x )′ 2)1()1(2)1()2(+'+-+'-=x x x 2)1(2+=x类题演练2求过曲线y =cos x 上点P (3π,2１)且与过这点的切线垂直的直线方程. 解：∵y =cos x ,∴y ′=-sin x .曲线在点P (3π,21)处的切线斜率是.233πsin |3π-=='=x y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32.∴所求的直线方程为y -21=)3π(32-x , 即2x -3y -.02332π=+变式提升2求曲线y =2x 2-1的斜率等于4的切线方程.解：设切点为P (x 0,y 0)，则y ′=(2x 2-1)′=4x ,∴0|x x y ='=4,即4x 0=4,∴x 0=1当x 0=1时，y 0=1,故切点P 的坐标为(1，1)∴所求切线方程为y -1=4(x -1)即4x -y -3=0.类题演练3已知y =f (x )是一个一元三次函数，若f (-3)=2,f (3)=6且f ′(-3)=f ′(3)=0，求此函数的解析式.解：设f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,则f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,依题意有：⎪⎩⎪⎨⎧===-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=+++=+-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='=-'==-.4,1,0,271.0627,027,63927,23927.0)3(.0)3(,6)3(,2)3(d c b a c b a c bb a d c b a d c b a f f f f 即f (x )=-271x 3+x +4.变式提升3已知函数f (x )=2x 3+ax 与g(x )=bx 2+c 的图象都过点P (2，0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g(x )的表达式：解析：由已知⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=⨯+⨯02022223c b a 即⎩⎨⎧=-=②＋①04 8c b a 又∵f ′(x )=6x 2+a ,g′(x )=2bx 且f ′(2)=g′(2)∴6×22+a =2×b ×2 ③由①②③的⎪⎩⎪⎨⎧-==-=1648c b a∴f(x)=2x3-8x g(x)=4x2-16。
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂导学案新人教B版选修1-1
3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析 一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2,且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？ 解：每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24 200-51 x 2)x -(50 000+200x )=-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0). 由f ′(x )=-51x 2+24 000=0.解得x 1=200,x 2=-200(舍去).因f (x )在［0,+∞)内只有一个点x =200使f ′(x )=0,故它就是最大值点，且最大值为f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +401x 2(元). (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. 解析:(1)设平均成本为y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522+-='++=>++=++=x xx y x x x x x x y令y ′=0，得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去).当在x =1 000附近左侧时，y ′<0; 在x =1 000附近右侧时，y ′>0; 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x . ∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x.令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0;当x 在6 000附近右侧时L ′<0，故当x =6 000时，L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品. 三、导数在生活中的应用【例3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S ，水面的高为h ，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a ，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC =h ·(s inΦ)-1,设下底AB =x ，则上底CD =x +2h c o t Φ,又S =21(2x +2h c o t Φ)h=(x +h c o t Φ)h, ∴下底x =hS-h c o t Φ,∴横断面被水浸湿周长l =h S h h h h S h +ΦΦ-Φ=Φ-+Φsin cos sin 2)cot (sin 2(0<Φ<2π). ∴l ′Φ=.sin sin cos 222Φ+ΦΦ-hh 令l ′Φ=0,解得cosΦ=21,∴Φ=3π.根据实际问题的意义，当Φ=3π时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h ，水流横断面积为S ,则S =21(a +a +2a cos Φ)·h =21(2a +2a cos Φ)·as in Φ=a 2(1+cos Φ)·s in Φ(0<Φ<2π). ∴S ′=a 2［-s in 2Φ+(1+cos Φ)cos Φ］=a 2(2cos Φ-1)(cos Φ+1). 令S ′=0,得cos Φ=21或cos Φ=-1(舍)，故在(0,2π)内，当Φ=3π时，水流横断面积最大，最大值为S=a 2(1+cos3π)s in 3π=433a 2.各个击破 类题演练1已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v =12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k (k >0),则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720,∴720=k ·122,得k =5.设全程燃料费为y ,由题意y =y 1·,8000182002-=-v vv ∴y ′=2222)8(000160001)8(0001)8(0002--=---v vv v v v v .令y ′=0,∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0<16时，即v ∈(8,v 0)时y ′<0，即y 在(8，v 0］上为减函数， ∴当v =v 0时，y min =.8000102-v v综上，当v 0≥16时，v =16千米/时全程燃料费最省. 当v 0<16时，则v =v 0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f (x )=16522++-x x x 在［-1,3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f ′(x )=0,即f ′(x )=0)1()12(5222=+--x x x即x 2-2x -1=0得x 1=1-2与x 2=1+2且x 1,x 2∈［-1,3］相应的函数值为：2257)21(,2257)21(-=++=-f f ②计算f (x )在区间端点上的值为：f (-1)=0,f (3)=0③通过比较可以发现，f (x )在点x 1=1-2处取得最大值;2257+在x 2=1+2处取得最小值2257-.类题演练2用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h=60-2x(cm). 水箱容积V =V (x )=x 2h =60x 2-23x (0<x <120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′(x )=0,得x =0(舍)或x =80.当x 在(0，120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：x (0,80) 80 (80,120)V ′(x )+-因此在=80处，函数()取得极大值，并且这个极大值就是函数()的最大值. 将x =80代入V (x ),得最大容积V =802×60-2803=128 000 cm 3. 答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2铁路上AB 段的距离为100千米，工厂C 到铁路AB 的距离BC =40千米，今要在AB 之间设一转运站D .向工厂修一条公路，使从原料供应站A 运货到工厂C 所用费用最省.问D 点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D 与B 间距离为x 千米，则C 与D 间距离为2240x +千米.A 与D 间距离为(100-x )千米，设铁路与公路运费的比例为k ，则：y =k ［3(100-x )+52240x +］(0≤x ≤100),y ′=k ［-3+22405xx +］.令y ′=0，解得x =30.因此，当B 、D 距离30千米时，所用费用最省.类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)？解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数. 依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0) 得b =aa+-230(0<a <30), 于是y =,30)2(23022a a a k aa a k ab k -+=+-= ∵y ′=222)30()230)(2()30(a a a a k a a k --+-- =0时，a =6或a =-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a =6时，b =3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm 2，上，下边宽都是a cm ，左右边均为b cm ，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：①设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义区间.③求函数的最大值或最小值.④所得的结果要符合问题的实际意义. 解：要节约用纸，就是要求纸的利用率最高，而利用率K =纸的总面积图文所占面积,设图文所占面积的长为x ，则宽为xS，如下图所示：则)2)(2(a xSb x S K ++=)0(,)2)(2(>++=x S ax b x Sx,)2()2()(2222ax S b x ax bS S K ++-='令K′=0，即bS -ax 2=0, 解得x =abS ,在x =a bS 附近，K′由正到负，因此有极大值也是最大值，从而得报刊的长为a bS 2+2b ，宽为baS+2a 时，图文所占面积最大.。
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3.3.3 导数的实际应用[学习目标] 1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化的意识．[知识链接] ab ≥a ＋b 2，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式c 设两正数之和为常数(a ，b >0)? 答：设一个正数为x ，则另一个正数为c －x ，两数之积为.x 2－c ＝)x ′(f ，)c <x (0<2x －cx ＝)x －c (x ＝)x (f 令f ′(x )＝0，.c 2＝x ，得0＝x 2－c 即 .14，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的c24＝)c 2(f 有最大值)x (f 时，c 2＝x 故当 ，当>0)b ，a (ab ≥a ＋b 2，即>0)b ，>0a (ab ≥a ＋b 24，则有b ，a 若设这两个正数分别为且仅当a ＝b 时等号成立．[预习导引]优化问．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为1题．求函数最值．．利用导数解决优化问题的实质是2 3．解决优化问题的基本思路是优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题 .过程数学建模上述解决优化问题的过程是一个典型的要点一 用料最省问题例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点元，依题意有y ，又设总的水管费用为x2＋402＝BD2＋CD2＝BC 千米，则x 为D 距点C .5axx2＋402＋a 3＝－′y ∴．<50)x (0<x2＋402a 5＋)x －(50a 3＝y 令y ′＝0，解得x ＝30或x ＝－30(舍去)．在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 (千米)．∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省．规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 跟踪演练 1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？，3v ·k ＝p 元，那么由题设的比例关系得p 海里的燃料费是每小时v 设速度为每小时 解，0.006＝6103＝k 求得，即6＝p ，10＝v 为比例系数，它可以由k 其中 元，那q 海里所需的总费用为1海里时，行v 又设当船的速度为每小时.3v 0.006＝p 于是有小时，所以，航行1v海里所需时间为1，而航行)元96(＋3v 0.006么每小时所需的总费用是1海里的总费用为：.96v＋2v 0.006＝96)＋3v (0.0061v ＝q ，8000)－3v (0.012v2＝96v2－v 0.012＝′q 令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．要点二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影，两栏之间的中缝空白的10cm ，四周空白的宽度为218000cm ，这两栏的面积之和为)部分宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，，cm y －252，20)cm －x (则每栏的高和宽分别为 其中x >20，y >25. ，18000＝y －25220)·－x 2(两栏面积之和为 25.＋18000x －20＝y 由此得 ，x 25＋18000x x －20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18000x －20＋25x ＝xy ＝S 广告的面积 25.＋－360000x －202＝25＋18000[x －20－x]x －202＝′S ∴ 令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．跟踪演练 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？，2R 2π＋Rh 2π＝S ，则表面积R ，底半径为h 如图，设圆柱的高为 解，V πR2＝h ，得h 2R π＝V 由 ，从3V 2π＝R ，解得0＝R 4π＋2V R2＝－)R ′(S ，令2R 2π＋2V R ＝2R 2π＋V πR2R 2π＝)R (S 则，3V 2π2＝34V π＝V π⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝V πR2＝h 而 即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值．所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．要点三 成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？，全程运输成本为s v车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为依题意汽(1) 解 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv s ＝s v ·2bv ＋s v ·a ＝y ]c ，(0，定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv s ＝y 所求函数为∴ (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数．．]c ，∈(0v 但.a b ＝v 得0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v2s ＝′y 由 最小；y 时，全程运输成本a b＝v ，则当c ≤a b 若① ，]c ，∈(0v ，则c >a b若② 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小，；a b＝v 时，行驶速度c ≤a b 当.c ＝v 时，行驶速度c >a b 当 规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式．②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量最大？L 为何值时，利润q 求产量.q 18－25＝p 的函数关系式为q ，2q 18－q 25＝⎝⎛⎭⎪⎫25－18q q ＝p ·q ＝R 收入 解 )q 4＋(100－⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q2＝C －R ＝L 利润 <200)q 100(0<－q 21＋2q 18＝－ 21＋q 14＝－′L ，0＝21＋q 14，即－0＝′L 令 求得唯一的极值点q ＝84.所以产量为84时，利润L 最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是≤5)x 8(0≤＋2x －3x 13＝)x (f 为℃)单位：(( )8．－1D ．－C 2038B.．A 答案 C，≤5)x 1(0≤－21)－x (＝x 2－2x ＝)x ′(f 原油温度的瞬时变化率为 解析 所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( )32VB.3V A. 3V 2．D 34VC.答案 C＝′S ．令)V 4－3x (3x2＝′S ∴．>0)x (V 43x ＋2x 32＝S ，则表面积x 设底面边长为 解析.34V ＝x ，得0 的最小值点．S 上的一个极值点，且是∞)，＋(0是函数在34V ＝x 则 3．在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？，cm 60－x 2＝h ，则箱高cm x 设箱底边长为 解 ．60)＜x ＜(060x2－x32＝h 2x ＝)x (V 箱子容积 ，0＝2x 32－x 60＝)x ′(V 令2x 32－x 60＝)x ′(V 解得x ＝0 (不合题意，舍去)或x ＝40，因为x ∈(0,40)时V ′(x )>0，V (x )是增函数，x ∈(40,60)时V ′(x )<0，V (x )是减函数．所以x ＝40时V (x )取极大值，也是最大值，并求得V (40)＝16000..316000cm 时，箱子容积最大，最大容积是40cm 即当底面边长为 4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/100．已知甲、乙两地相距≤120)x 8(0<＋x 380－3x 1128000＝y 的函数解析式可以表示为)时千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？升，)x (h 小时，设耗油量为100x时时，汽车从甲地到乙地行驶了/千米x 当速度为 解 ，≤120)x (0<154－800x ＋2x 11280＝100x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000x3－380x ＋8＝)x (h 依题意得 ．≤120)x (0<x3－803640x2＝800x2－x 640＝)x ′(h 令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路与方法，需要特别注意：(1)合理选择变量并确定变量的范围，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用；(4)回归问题本身做答．。