人教版九年级数学上册第二十四章《数学活动：探究四点共圆的条件》学习任务单(公开课导学案)及作业设计

人教版九年级数学上册第二十四章
《数学活动：探究四点共圆的条件》学习任务单及作业设计
【学习目标】
1.理解并掌握对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论.
2.体会由特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验.
【课前学习任务】
复习三角形外接圆的作法.
复习圆内接四边形的相关性质.
【课上学习任务】
学习任务一：
引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
学习任务二：
求证：过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
已知：四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°.
求证：A，B，C，D 四点共圆.
证明：过 A， B， C 三点作⊙O，假设点 D 不在⊙O 上，则点 D在⊙O 内或点 D 在⊙O 外.
①如图 1，若点 D 在⊙O 内，延长 AD 交⊙O 于 E，连接 CE，则∠B+∠E=180°.
又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.
这与△CDE 中，∠ADC>∠E 矛盾，所以点 D 不在⊙O 内.
②如图 2，若点 D 在⊙O 外，（请补全图 2 和证明过程）
综上，假设不成立，点 D 在过 A，B，C 三点的圆上.
结论：_______________________________________________.
学习任务三：
例：三角形的三条高线交于一点.
已知：如图，△ABC 的两条高 BD，CE 交于点 H，连接 AH 并延长交 BC 于 F.
求证：AF⊥BC.
例：如图，∠ABC=∠ADC. 求证：A，B，C，D 四点共圆.
【作业设计】
1.如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使 A，B，C，D 四点共圆的是（）.
（A）∠B+∠D=180°（B）∠A=∠BCD
（C）∠A=∠DCE （D）∠A=∠BCD=90°
2.如图，将一个含 45°角的直角三角板 ABC 和一个含 30°角的直角三角板 ADC 拼在一起，斜边 AC 恰好重合，则∠BDC=__________°.
3.如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点（不与 B，C 重合），∠AEF=90°. 作正方形的外角∠DCG 的平分线交射线 EF 于点 H. 请补全图形，并探究线段 AE 与EH之间的大小关系.
（提示：先证明 A，E，C，F 四点共圆.）
【参考答案】
1. B.
2. 45. 提示：因为∠ABC 与∠ADC 都是直角，所以 A，B，C，D 四点共圆（如下图）.
3. AE=EH. 提示：先证明 A， E， C， F 四点共圆，再证明∠AHE=∠ACE=45°，从而△AEH是等腰直角三角形，所以 AE=EH.。