新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题(含答案解析)

新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题（含答案
解析）
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新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考
数学试题（含答案解析）
1 已知集合，集合，则A∩B=（）．
A．B．C．D．
【答案解析】 C
由，得，故．
2 设复数z满足，则（）．
A． B． C． D．
【答案解析】 B
，所以，所以．
3 已知，，，则（）．
A．B． C．D．
【答案解析】 B
，，故．
4 函数的图象大致为（）．
A．B．C．D．
【答案解析】 C
为奇函数，排除A，B；当时，，，排除D．
5 已知，且，则的最小值是（）．
A． B． C．20 D．25
【答案解析】 D
由得．
所以．
6 已知展开式的各项系数之和为64，则展开式中的系数为（）．A．10或2970B．10或1890C．10 D．1890
【答案解析】 A
展开式的各项系数之和为，解得或．
当时，的系数为．
当时，的系数为．故选A．
7 意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》中有一经典的“生兔问题”：一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后有多少对兔子？每月兔子总数形成“斐波那契”数列：1，1，2，3，5，8，…，则一年后共有兔子（）．
A．144对 B．232对 C．375对D．376对
【答案解析】 A
由题可知数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，共144对．
8 已知三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且， M， N 分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M、N两点间的距离最大值为（）．
A． B． C．D．
【答案解析】 D
由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．
则三棱锥内切球球心，外接球球心，
以及内切球与面的切点三点均在上，且．
设内切球半径为，外接球半径为，则．
由，，解得，
故、两点间距离的最大值为．
9 （多选题）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（）．
A．若，，则
B．
C．若，且，则
D．若，则
【答案解析】 ABD
当时，A不成立；B显然错误；
，
则，即，即，故C正确；
当时，D不成立．
10 （多选题）2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）．
A．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少
B．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致
C．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％
【答案解析】 BD
A显然错误；
，与2018年基本一致，B正确；
，不会超过，C错误；
％％，不会超过10％，D正确．
11 （多选题）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M、N为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是（）．
A．当M为A1C1的中点时，有平面
B．若点M，N均在线段A1C1上运动，且，则三棱锥的体积为定值
C．以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的弧长之和为
D．当点M在平面内运动，点N在平面内运动时（M，N不重合），与
的夹角最大为
【答案解析】 BC
，但与，都不垂直，A错误；
如图，，B正确；
所截得的弧为3个半径为2的圆弧，弧长和为，C 正确；
当点在上运动时，平面，，此时夹角为，D错误．12 （多选题）已知函数，为的一个零
点，为f(x)图像的一条对称轴，f(x)右移个单位长度得到函数，则下列说法正确的是（）．
A．
B．若f(x)在上单调递减，则
C．若，则
D．若为偶函数，则的最小值为5
【答案解析】 ABD
A，，①
，②
由①②，得．
又，故，所以，A正确．B，的单调递减区间为，，则，解得．
又，所以．
此时，B正确．
C，，所以．
所以，C错误．
D，为偶函数，
则，所以．
因为，所以，D正确．
13 已知，，则______．【答案解析】
由已知可得，，
则，．
14 某班预备在今年的元旦晚会中排15个节目，其中弹唱类6个，小品、相声类4个，舞蹈类4个，魔术类1个，甲、乙两人计划从中各选1个节目参加，且两人不选择同一个节目，则两人选择同一类节目的概率为______．
【答案解析】
．
15 已知命题，命题．若是的充分条件，则a的取值范围为______．
【答案解析】
由，解得．
因为是的充分条件，所以在上恒成立．
设，其图象如图．
所以．
16 已知函数，若函数使得方程
恰有3个不同根，则实数a的取值范围为______．
【答案解析】
由已知得的图象如图(1)．
(1)当时，要使得方程恰有3个不同根，
则需存在，使得，即．
又的图象如图(2)，故．
(2)当时，由图(1)知需与函数相切．
设切点为，则，
即过点，
故，解得．
因为，故．所以．
(3)当时，显然符合题意．
综上，实数的取值范围为．
17 ①；②；③，B为锐角．从以上三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，______，若3，求△ABC周长的最大值．
【答案解析】解：选择①．
由正弦定理，得，
即．
因为，所以，即t．
因为，所以．
由余弦定理，得，
即．
由均值不等式知（“＝”成立）．
故，即．
所以周长，
即周长的最大值为．
选择②．
由二倍角公式，得．
解得或．
在中，，故．
所以．(下同)
选择③．
因为，所以，解得．
因为，所以．(下同)
18 在等差数列{an}中，，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意，将数列{an}中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和．
【答案解析】解：(1)因为数列是等差数列，所以．所以．
设公差为，因为，所以．
由可得，所以．
所以．
(2)由，得，
所以，所以，
所以，
所以
．
19 已知函数．
（1）若f(x)在点处的切线斜率为2，求f(x)在上的最大值；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，求m的取值范围．
【答案解析】解：(1)函数的定义域为，，
所以，所以，
所以，，
所以在上单调递增．
又，所以，
所以在上单调递增．
所以．
(2)由可得．
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，
且，当时，，所以其图象如图所示．
要使得有两个零点，即与的图象有两个不同的交点，需．
所以的取值范围是．
20 随着生产力和国家经济实力的提升，网购成为了人们心中首选的购物方式．方便快捷、
价格实惠、商品丰富成为吸引消费者进行网购的主要因素．据统计，全国约有55％的居民
进行网购，而其中年龄在40岁及以下的约占．
（1）如果采用分层抽样的方式从“网购”与“非网购”居民中随机抽取40人，其中“网购”居民中年龄在40岁及以下的有16人，“非网购”居民中年龄在40岁及以下的有5人，试问是否有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关？
（2）“双十一”期间各大电商平台积极宣传促销，全网销售额达到2674亿元，其中天猫占比高达60％，若从网购居民中随机选取3人，用表示所选3人中在天猫购买商品的人数，求的分布列和数学期望．
附：
【答案解析】解：(1)由题意可得列联表如下：
网购
非网购
合计
40岁及以下
16
5
21
40岁以上
6
13
19
合计
22
18
40
，
所以有％的把握认为是否网购与年龄有关．
(2)由题意可知，
，，
，．
所以的分布列为
1
2
3
数学期望．
21 如图（1），已知梯形ABCD，，，，将沿向上翻折，构成如图（2）所示的四棱锥，M为PB的中点．
（1）证明：平面；
（2）当四棱锥体积最大时，若二面角的余弦值为，求直线CM与平面
所成角的余弦值．
【答案解析】 (1)证明：如图，取的中点，连接，，，
则．
又，故．
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
(2)解：当平面时，四棱锥体积最大．
又，故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，
则，．
设平面的法向量，
则，即．
令，则．
又平面的法向量，
所以．
解得．所以．
设直线与平面所成角为，
则，故，
即直线与平面所成角的余弦值为．
22 已知函数，．
（1）当，且时，
①试求函数f(x)的单调区间；
②证明：．
（2）当时，若是上的单调函数，求的最小值．
【答案解析】 (1)解：①当，且时，．因为的定义域为，，
又，则当时，，
当时，，
故函数，的单调增区间是，单调减区间是．
②证明：由①知时，在处取得最大值，
最大值为．
所以，
即．
令，因为，所以，则只要证．
令，，则，
则当时，，当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故成立，即．
因此，时，．
(2)解：，
因为在上单调，所以或恒成立．
当时，设，
则，所以有两个相异的根，，且．不妨设，
则当时，，即，
所以在上单调递增；
当时，，即，
所以在上单调递减．
所以不合题意．
当时，则对恒成立．
即在恒成立，
设，只需．
因为，当且仅当时取等号．所以，即．
所以，
当且仅当，时取等号．
当，时，且不恒为0，
此时在内单调递增．
所以的最小值为．。