相似三角形精讲精练

课时六：相似三角形 【基础知识】
知识点1：相似图形
形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条
线段的比是n
m
b a =，或写成n m b a ::=．
注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段
d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段．
注意:
（1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
（2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为:a
d c
b =．
知识点3 ：比例的性质 基本性质：
（1）bc ad d c b a =⇔=::;
(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2
::． 注意：
由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项）:
()()()a b
c d a c d c b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩
，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项
反比性质（把比的前项、后项交换):
c
d a b d c b a =⇒=． 合比性质：
d
d c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后
项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d
c d c b a b a c
c
d a a b d c b a 等等．
等比性质：
如果)0(≠++++====n f d b n
m f e d c b a ，那么b a
n f d b m e c a =++++++++ ．
注意：
(1）此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
（2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 ：比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：
(1)平行于三角形一边直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．
（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点5 ：黄金分割
把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中
项，叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中
AB AC 21
5-=≈0。

618AB ． 知识点6 ：相似三角形的概念
对应角相等,对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽"表示，读作“相似于” ．
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注意：
①对应性:即两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置
上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边
相等，而相似要求对应边成比例．
知识点7 ：相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形：
用数学语言表述是： BC DE // ,
ADE ∆∴∽ABC ∆．
知识点8 ：相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2）对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆． (3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽
C B A ''''''∆．
知识点9：三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线）相交，
所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比
例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为:两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比
例,那么这 两个三角形相似．简述为:三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
（1）以上各种判定均适用． (2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下：
（1）(AD）2=BD·DC，
(2）（AB）2=BD·BC ，
（3）（AC）2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似,∴AD/BD＝CD/AD，即
(AD)2=BD·DC。

其余类似可证。

注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3)得：
(AB）2+(AC）2=BD·BC+CD·BC =(BD+CD)·BC=（BC）2,
即（AB）2+(AC）2=（BC）2。

这就是勾股定理的结论。

知识点10 :相似三角形性质
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比．
（3)相似三角形周长的比等于相似比．
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
知识点11：相似多边形
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）．
知识点12 ：相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．
(2）相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比．
（3）相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
知识点13 :与位似图形有关的概念
1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，
那么这样的两个图形叫做位似图形。

2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
拓展：
（1) 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。

（2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形。

（3）位似图形的对应边互相平行或共线。

知识点14:位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质。

知识点15:画位似图形
1。

画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心
（2) 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取）。

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置。

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形。

2. 位似中心的选取：
（1）位似中心可以在图形外部,此时位似中心在两个图形中间,或在两个图形之外.
（2）位似中心可取在多边形的一条边上.
（3) 位似中心可取在多边形的某一顶点上。

说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小。

知识点16 相似三角形常见的图形
（1)若DE∥BC（A型和X型)则△ADE∽△ABC
(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD,BC2=BD·AB;
E A D C
B
E
A D
C
B
A D C
B
(3）满足1、AC 2
=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
(4）当AD AE
AC AB
或AD·AB=AC·AE 时，△ADE∽△ACB． A D C
B
E
A D
C
B
（3）
(4）
练习题
1、如图1，∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B ，AC=5,AB=6,则AD=______. 2。

如图2，AD ∥EF ∥BC,则图的相似三角形共有_____对。

3。

如图3,正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，BM ⊥CE ，AB=6，CE=35 ,-BM=______。

4.ΔABC 的三边长为2,10,2,ΔA'B'C’的两边为1和5,若ΔABC ∽ΔA'B'C’，则ΔA’B'C’的笫三边长为________。

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为_____。

6.如图4，RtΔABC 中,∠C=900,D 为AB 的中点,DE ⊥AB ，AB=20，AC=12，则四边形ADEC 的面积为__________.
7.如图5，RtΔABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB,AC=8,BC=6，则AD=____,CD=_______.
8.如图6,矩形ABCD 中,AB=8，AD=6，EF 垂直平分BD,则EF=_________. 9.如图7,ΔABC 中，∠A=∠DBC,BC=
,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______。

10.如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC,两腰BA 与CD 的延长线相交于P,PF ⊥BC ，AD=3.6，BC=6,EF=3,则PF=_____.
11。

如图9,ΔABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB=2∶3，则S ΔADE ∶S ΔABE =___________。

12。

如图10，正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________。

13。

如图11，ΔABC中,DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=1∶2∶3, 则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________。

14。

如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点，SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.
15.已知:如图，ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC。

求证:ΔAEF∽ΔACB。

16.已知：如图,ΔABC中，∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证：AB·BC=AC·CD.
17.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350. 求证：ΔEAC∽ΔCBF
18．已知：如图，ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2。

求证：ΔABC∽ΔEAD。

19．已知：如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP。

求证:（1)CE2=AE·EB ; (2）AE·EB=ED·EP
E A
F
D C B 20已知,如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点,且AD=AC ，D
E ⊥BC,DE 与AB 相交于点E,•EC 与AD 相交于点
F ． （1）求证:△ABC ∽△FCD ； （2）若S △FCD =5，BC=10,求DE 的长。

【巩固练习题】 一、选择题 1. 具备下列各组条件的两个三角形中，一定相似的是（ ） A. 两个任意三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个直角三角形 2。

相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定（固定点M 、N 恰好为两电线杆的底部）,如图，一根电线杆钢索系在离地面4m 的A 处,另一根电线杆钢索系在离地面6m 的B 处，则中间两根钢索相交处点P 离地面( ） A. 2。

4m B 。

2.8m C 。

3m D. 高度不能确定
3.（2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为
(A)1：2 (B)1:4 (C)2：1 (D ）4：1 4.（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF ， △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2,则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）
A ．1∶4
B ．1∶2
C ．2∶1
D ．１∶2
5.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它
相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ) A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 6.（2009恩施市）如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°
，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为( ）
A ．2
B ．
433 C ．23 D ．43 7.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时,竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ) A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m 8.(2009年孝感)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0。

618时，
越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0。

60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm 9 (2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分）
与ABC △相似的是（ ）
二、判断题：
（1）两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。

（ ）
A .
(2）两个等腰直角三角形是相似三角形。

（)
(3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。

（）
（4）两个直角三角形一定是相似三角形。

（）
(5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。

（）
（6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。

（）（7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。

（）
(8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似.（）
（9）所有的正三角形都相似。

( ）（10）两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似。

（) 三：填空题
第一组：
1、已知:，且，则＝________。

2、在一张比例尺为1：5000的地图上，某校到果园的图距为8cm，那么学校
到果园的实际距离为____m。

3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝4cm，BD
＝16cm，则CD＝________cm.
4、如图,∠ACD＝∠B，AC＝6，AD＝4,则AB＝________。

5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点，连CF交BD于G，交AB于E，则图中相似三角形（包括全等三角形在内）共有______对。

6、如图，△ABC中，BC＝15cm，DE、FG均平行于BC且将△ABC面积分成三等分，则FG＝____ cm。

第二组
1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是_____。

2、如图，△ABC中，DE∥BC ，，且，那么__。

3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB,D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝______cm。

4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD：AB＝AE：AC＝1：2,BC＝5cm，则DE＝____ cm。

5、如图，AD、BC相交于点O,AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4。

5cm2，则△DOC面积为_______cm2。

6、如图,△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝________。

7、如果两个相似三角形对应高之比为4：5，那么它们的面积比为________。

8、如果两个相似三角形面积之比为1：9，那么它们对应高之比为________。

9、两个相似三角形周长之比为2:3,面积之差为10cm 2，则它们的面积之和为_____cm 2。

10、如图，△ABC 中,DE ∥BC ，AD ：DB ＝2：3,则＝________。

第三组:
6. 已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB ：A 1B 1＝2：3,则S △ABC 与111C B A S ∆之比为 ． 7。

一油桶AB 高1米，为测桶内余油DB 的深度，将一木棒斜插入桶底,测得木
棒在桶内的长度为1。

5米，浸油部分长度为1.2米,则油的深度是 米．
8。

如图,在△ABC 中，DE//BC ，若
3
1
=AB AD ,DE ＝2，则BC 的长为 ．
9. 如图，铁道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点高度下降0。

5m 时,长臂端点升高 m ．
10. 如图，某测量工作人员的眼与标杆顶端F ，电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6m ，标杆为3。

2m ，且BC ＝1m ，CD ＝5m,则电视塔的高
ED ＝ m ．
证明题：
6。

(2009年长春）如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，
ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．
29。

（2009年崇左）如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，
AD CE 、相交于G ．求证：
1
3
GE GD CE AD ==．
11。

如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上,且
3
1
=AC AD ，AE ＝B
C D
G E A
BE ，则在图中能找到相似三角形吗？请说明理由．
【基础检测题】 一、填空题
1．△DEF ∽△ABC 表示△DEF 与△ABC ______，其中D 点与______对应,E 点与______对应，F 点与______对应；∠E ＝______；DE ∶AB ＝______∶BC ，AC ∶DF ＝AB ∶______．
2．△DEF ∽△ABC ,若相似比k ＝1,则△DEF ______△ABC ;若相似比k ＝2，则
=AC DF ______，=EF
BC
______． 3．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1;△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______．
4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_________________与原三角形______． 5．已知:如图，△ADE 中，BC ∥DE ，则
①△ADE ∽______； ②
;)
(,)(BC
AB AD AE AB AD == ③
⋅==CA
BA BD AE DB AD )
(,)( 二、解答题
6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．
（1）若△ADC ∽△CDB ;
（2）若△ACD ∽△ABC ；
（3）若△BCD ∽△BAC ．
7．已知：如图，△ABC 中，AB ＝20cm ，BC ＝15cm ，AD ＝12.5cm ，DE ∥BC ．求DE 的长．
8．已知:如图，AD ∥BE ∥CF ．
（1)求证:;DF
DE
AC AB =
（2）若AB ＝4，BC ＝6，DE ＝5，求EF ．
9．如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B ,C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：P A ∶PB ＝PC ∶PD ．
10．已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点,且
2
3
=DE AE ，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．
11．已知:如图,AD 是△ABC 的中线．
（1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求BF
AF
； （2）若E 为AD 上的一点，且k
ED AE 1=，射线CE 交AB 于F ,求⋅BF AF
一、填空题
1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似． 3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相 似．
4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．
5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°,∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是
________________．
6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°,∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是
________________．
7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm,∠A′＝34°，A’C′＝2cm,A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的
结论是______，理由是____________________．
8．在△ABC和△DEF中,如果AB＝4，BC＝3,AC＝6；DE＝2.4，EF＝1。

2,FD ＝1.6,那么这两个三角形能否相似的结论是____________,理由是
__________________．
9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
9题图
10．如图所示，□ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,此图中的相似三角形共有______对．
10题图
二、选择题
11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )
A．∠B＝∠DAC
B．∠BAC＝∠ADC
C．AC2＝DC·BC
D．AD2＝BD·BC
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10,AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE,则BF的长是（）
A．5 B．8。

2
C．6.4 D．1.8
13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（)
三、解答题
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想,
(1）图中有哪两个三角形相似？
(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA; (3）若AD＝2,DB＝8,求AC，BC，CD；(4）若AC＝6，DB＝9，求AD，CD,BC；
（5）求证：AC·BC＝AB·CD．
15．如图所示,如果D，E，F分别在OA，OB，OC上,且DF∥AC，EF∥BC．
求证：（1）OD∶OA＝OE∶OB;
（2）△ODE∽△OAB;
(3）△ABC∽△DEF．
16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F 为BC上一点，且∠EAF＝∠C．
求证:（1）∠EAF＝∠B；
(2）AF2＝FE·FB．
17．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．18．已知：如图,在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H,以AB和AC 为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．
19．已知:如图，在△ABC中，∠C＝90°,P是AB上一点，且点P不与点A 重合,过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8,设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．
一、选择题 1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是（ ) A ．15m B ．60m C ．20m
D ．m 310
2．一斜坡长70m ，它的高为5m,将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下,停下地点的高度为（ ) A ．
m 7
11 B ．
m 7
10 C ．
m 7
9 D ．
m 2
3 3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE ＝1。

8m,窗户下檐距地面的距离BC ＝1m,EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ )
第3题图
A ．1.5m
B ．1。

6m
C ．1。

86m
D ．2.16m 4．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距离墙角1。

6m ，梯上点D 距离墙1。

4m,BD 长0.55m,则梯子长为( ）
第4题图
A ．3。

85m
B ．4。

00m
C ．4.40m
D ．4。

50m
二、填空题
5．如图所示，为了测量一棵树AB 的高度,测量者在D 点立一高CD ＝2m 的
标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上,如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1。

8m ，则树AB 的高度为______m ．
第5题图
6．如图所示，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线,并测得AB ＝10m,BC ＝20cm ，PC ⊥AC ，且PC ＝24cm ，则点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度为______cm ．
第6题图
三、解答题
7．已知：如图所示，要在高AD ＝80mm,底边BC ＝120mm 的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN ．求它的边长．
8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm（高×宽)，一学生座位到黑板
的距离是5m,教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?
综合、运用、诊断
9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0。

8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少？
10．(针孔成像问题）根据图中尺寸（如图，AB∥A′B′），可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?
11．在一次数学活动课上,李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m,与此同时，测得教学
楼DE的影长DF为12.1m,如图所示，请你根据已测得的数据，测出教
学楼DE的高度．（精确到0。

1m)
12．(1）已知：如图所示,矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线
段BC的一个三等分点．
（2)请你仿照上面的画法,在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：写出作法,保留画图痕迹，不要求证明）
一、填空题
1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．
2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．
3．相似三角形的周长比等于______． 4．相似三角形的面积比等于______．
5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______． 6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______． 7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．
8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______．
9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．
10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______．
11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______． 12．在比例尺1∶1000的地图上,1cm 2所表示的实际面积是______． 二、选择题
13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )
A ．9∶4
B ．4∶9
C ．3∶2
D ．81∶16 14．如图所示，在平行四边形ABCD 中，
E 为DC 边的中点,AE 交BD 于
点Q ，若△DQE 的面积为9,则△AQB 的面积为( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．45 15．如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部
分的面积是△ABC 面积的一半，若2=AB ，则此三角形移动的距离AA ’是（ ）
A ．12-
B ．
2
2 C ．1 D ．
2
1 三、解答题
16．已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．求:△AEF 的
面积∶四边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积．
17．已知:如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是角平分线．
（1）求证：AD 2＝CD ·AC ； (2)若AC ＝a ，求AD ．
18．已知:如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点,且AE BD EC BE ,,2
1
=
相
交于F点．
（1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比;
（2）若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积S△AFD．
19．已知:如图，Rt△ABC中，AC＝4,BC＝3，DE∥AB．
(1）当△CDE的面积与四边形DABE的
面积相等时，求CD的长;
（2)当△CDE的周长与四边形DABE的
周长相等时，求CD的长．
20．已知：如图所示,以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边△PCD．
（1)当AC，CD，DB满足怎样的关
系时，△ACP∽△PDB．
（2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB．
21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S
△AOD ∶S△DOC＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．
22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°,AB＝3,BC＝11，DC
＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似,求BP的
长及它们的面积比．
1．已知:四边形ABCD及点O,试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两
倍．
(1）(2）
(3) (4)
2．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( ）
A ．(0,0)，2
B ．(2，2）,21
C ．（2，2),2
D ．(2，2），3
3．已知：如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－4，2)，B （－2,－4），C （6，
－2），D (2,4)．试以O 点为位似中心作四边形A 'B 'C 'D ′,使四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的相似比为1∶2,并写出各对应顶点的坐标．
4．已知：如下图,是由一个等边△ABE 和一个矩形BCDE 拼成的一个图形,其B ，
C ，
D 点的坐标分别为（1，2），（1，1)，（3，1)．
(1）求E 点和A 点的坐标;
(2)试以点P (0，2）为位似中心，作出相似比为3的位似图形A 1B 1C 1D 1E 1，并写出各对应点的坐标；
(3)将图形A 1B 1C 1D 1E 1向右平移4个单位长度后，再作关于x 轴的对称图形，得到图形A 2B 2C 2D 2E 2，这时它的各顶点坐标分别是多少?。