苏教版高中数学选修2-2:微积分基本定理_课件3
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HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
1 .微 积 分基本定理
(1)定理内容:一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),
那么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a).
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
������
2 1
=
32.
答 案 :32
1
2
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X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
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当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则
f(x) (1)当曲边梯形在
x
2
2������ + π
6
'=12cos
2������ + π
6
· 2������ + π
6
'=cos
2������ + π
6
,
∴
π
2
0
cos
2������ + π
6
dx=12sin
2������ + π
6
=12
sin 2 × π + π
26
-sin
2× 0+π
6
π 2
0=12
sin
7π 6
-sin
X Z 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
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(1)
2 1
e������
+1
������
dx;
(2) (3)
9
1π
2
0
������( ������+1)dx; s in 2���2��� d x.
解:(1)因为(ex+ln x)'=ex+1������,
所以
2 1
e������ + 1
探究一 探究二 探究三 探究四
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
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当堂检测
ANGTANGJIANCE
典型例题 3
设
f(x)=ax+b,且
a)的取值范围.
思路分析:由定积分求出 a,b 的关系,消元转化为二次函数的值域问题.
22
22
所以
π 2
0
sin2������dx=
2π
π 2
0
1 2
-
1 2
cos������
dx
= 1 ������- 1 sin������ 2 = π − 1 = π-2.
22
0 42 4
探究一 探究二 探究三 探究四
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重难探究
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微积分基本定理
-*-
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重难探究
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当堂检测
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学习目标
1.了解并掌 握微积分基 本定理的含 义. 2.会利用微 积分基本定 理求函数的 积分.
思维脉络
12
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重难探究
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X新知导学 INZHIDAOXUE
Z重难探究 HONGNANTANJIU
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一利用微积分基本定理计算定积分
1 .用 微 积分基本定理求定积分的步骤: (1)求 f(x)的一个原函数 F(x);(2)计算 F(b)-F(a).
2 .注 意 事项: (1)有 时 需先化简,再求积分;(2)精确定位积分区间,分清积分上限与积 分 下 限.
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X新知导学 INZHIDAOXUE
解 :(1)∵
1 ������3 + ������2 + 3������
3
'=x2+2x+3,
∴
2 1
(x2+2x+3)dx=
1 ������3 + ������2 + 3������
3
|12
=
8+ 4 +6
3
−
1 +1+3
3
= 235.
(2)∵(sin x)'=cos x,(ex)'=ex,
轴上方时,如图①,则
������ ������
dx=S 上.
1
2
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重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
f(x) (2)当曲边梯形在
x
轴下方时,如图②,则
������ ������
dx=-S 下.
(3)当曲边梯形在
x
轴上方、x
(2)
0 -π
(cos x-ex)dx;
(3) e 1 1������dx;
(4)
3 1
2������������32-1dx.
思 路 分析:根据导数与定积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于
被 积 函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合
导 数 公式表.
探究一 探究二 探究三 探究四
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3������-
1 2
������
2
|23 +
1 2
������
2
-3������
|35
=
9-
1 2
×
9-6
π
+
2
+
(2)由 已 知
2
-1
f(x)dx=
25 2
-15-
9 2
0 -1
x2dx+
+ 9 = 52. π
(4)
������ ������
cos
xd x=s in
x|������������ .
(5) (6)
������ ������ ������ ������
1������dx=ln x|������������ (b>a>0). exdx=ex|������������ .
(7)
������ ������
轴下方均存在时,如图③,则
������ ������
f(x)dx=S
上
-S 下.
若
S
上=S
下,则
������ ������
f(x)dx=0.
图③
1
2
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重难探究
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当堂检测
ANGTANGJIANCE
试一试
曲线
y=cos x
������∈
������2 + 1
������
'=2x-���1���2,
∴
3 1
2������������32-1dx=
������2 + 1
������
|13 =
9+1
3
-2=232.
Z重难探究 HONGNANTANJIU
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一
首页
探究二 探究三 探究四
������变式训练 1������求下列定积分:
∴
0 -π
(cos x-ex)dx=(sin x-ex)|-0π
=(sin 0-e0)-[sin(-π)-e-π]=e1π-1.
(3)∵(ln x)'=1, ∴ e 1 1������dx=ln������ x|e 1=ln e-ln 1=1.
(4)∵2������������32-1 =2x-���1���2 且
解:(1)∵|x-1|+|x-2|= 1,1 < ������ ≤ 2,
2������-3,2 < ������ ≤ 3,
∴
3 0
(|x-1|+|x-2|)dx=
1 0
(3-2x)dx+
2 1
1dx+
3 2
(2x-3)d x=(3x-x2)|01 +x|12 +(x2-3x)|23
=5.
(2)∵
1 sin
a
x
dx= ������������
ln������
|������������
(a
>0
且
a≠1).
探究一 探究二 探究三 探究四
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X新知导学 INZHIDAOXUE
Z D 重难探究 HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
典型例题 1
计算下列定积分:
(1)
2 1
(x2+2x+3)dx;
解 :由
1 -1
[f(x)]2dx=1 可得,
1 -1
(ax+b)2dx=
1 -1
(a2x2+2abx+b2)dx
当堂检测
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探究二分段函数与复合函数定积分的求解
1 .在 求 定积分时,会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况,这 时 我 们就要根据不同的情况把分段函数在区间[a,b]上的积分分成几段积
分 和 的形式.分段的标准是:使每段上的函数表达式确定,按照原来函数分段 的 情 况分段即可.
3 .常 见 函数的定积分公式
(1)
������ ������
Cdx=Cx|������������ (C
为常数).
(2)
������ ������
xndx=������1+1xn+1|������������ (n≠-1).
(3)
������ ������
s in
xdx=-cos
x|������������ .
2 .当 被 积函数的原函数是一个复合函数时,要特别注意原函数的求解
与复合函数的求导区分开来.例如:对于被积函数 y=sin 3x,其原函数应为 y=-13cos 3x,而其导数应为 y'=3cos 3x.
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重难探究
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������ ������
f(x)dx=F(x)|������������ =F(b)-F(a).
(3)作用:揭示了定积分与导数间的内在联系,并提供了计算定积分的一
种有效方法.
1
2
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练一练 1
2
0
(cos x-1)dx
=13x3|-01+(sin x-x)|0π2=13 +
1-
π 2
=
4 3
−
π2.
(3)∵
1 e2������
2
'=e2x,∴
1 2
0
e2xdx=12e2x|012
=
12e-12.
(∴4)∵01[l2n������(2+2x1d+x1=)]l'n=(22���x���2++11,)|01=ln 3-ln 1=ln 3.
3 2
2
3
9 = 172.
13
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Z D 重难探究 HONGNANTANJIU
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(3)s
in
2������ 2
=
1-cos������ 2
,
而 1 ������- 1 sin������ '=1 − 1cos x,
当堂检测
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典型例题 2
计算下列定积分:
(1)
5 2
|x-3|dx;
(2)若 f(x)=
������2,������ ≤ 0, 求 cos������-1,������ > 0,
π 2
-1
f(x)dx;
1
(3)
2
0
e2xdx;
(4)
1 0
2������2+1dx.
思 路 分析:(1)(2)写 成分段函数,利用定积分性质求解;(3)(4)利用复合函
π 6
=-12.
探究一 探究二 探究三 探究四
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重难探究
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当堂检测
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探究三微积分基本定理的应用
定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系,可以通过定积分构造 新的函数,进而可利用该函数的性质求参数的值.也可对这一函数进行性质、 最值等方面的考查,解题过程中通常应用转化的思想方法.
若 f'(x)=ex,则 f(x)可以是( )
A.ex+x
B.ex+x2
C.ex+ln x
D.ex+C(C 为常数)
答 案 :D
练一练 2
2 1
1 + 2������
������
dx=
.
解析:∵(ln x+x2)'=1������+2x,
∴2 1
1 + 2������
������
dx=
1 + 2������
������
dx=(ex+ln x)|12=e2+ln 2-e.
(2)因 为
������(1+
������)=x+
������,
1
������
2
+
2
������
3 2
'=x+
������,
2
3
所以 9
1
������(1+
������)dx=
9 1
(x+
������)dx=
1
������
2
+
2
������
数 求 定积分.
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探究一 探究二 探究三 探究四
解:(1)∵|x-3|= 3-������,������∈[2,3),
������-3,������∈[3,5],
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1 .微 积 分基本定理
(1)定理内容:一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),
那么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a).
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
������
2 1
=
32.
答 案 :32
1
2
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2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则
f(x) (1)当曲边梯形在
x
2
2������ + π
6
'=12cos
2������ + π
6
· 2������ + π
6
'=cos
2������ + π
6
,
∴
π
2
0
cos
2������ + π
6
dx=12sin
2������ + π
6
=12
sin 2 × π + π
26
-sin
2× 0+π
6
π 2
0=12
sin
7π 6
-sin
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(1)
2 1
e������
+1
������
dx;
(2) (3)
9
1π
2
0
������( ������+1)dx; s in 2���2��� d x.
解:(1)因为(ex+ln x)'=ex+1������,
所以
2 1
e������ + 1
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典型例题 3
设
f(x)=ax+b,且
a)的取值范围.
思路分析:由定积分求出 a,b 的关系,消元转化为二次函数的值域问题.
22
22
所以
π 2
0
sin2������dx=
2π
π 2
0
1 2
-
1 2
cos������
dx
= 1 ������- 1 sin������ 2 = π − 1 = π-2.
22
0 42 4
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学习目标
1.了解并掌 握微积分基 本定理的含 义. 2.会利用微 积分基本定 理求函数的 积分.
思维脉络
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D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一利用微积分基本定理计算定积分
1 .用 微 积分基本定理求定积分的步骤: (1)求 f(x)的一个原函数 F(x);(2)计算 F(b)-F(a).
2 .注 意 事项: (1)有 时 需先化简,再求积分;(2)精确定位积分区间,分清积分上限与积 分 下 限.
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X新知导学 INZHIDAOXUE
解 :(1)∵
1 ������3 + ������2 + 3������
3
'=x2+2x+3,
∴
2 1
(x2+2x+3)dx=
1 ������3 + ������2 + 3������
3
|12
=
8+ 4 +6
3
−
1 +1+3
3
= 235.
(2)∵(sin x)'=cos x,(ex)'=ex,
轴上方时,如图①,则
������ ������
dx=S 上.
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f(x) (2)当曲边梯形在
x
轴下方时,如图②,则
������ ������
dx=-S 下.
(3)当曲边梯形在
x
轴上方、x
(2)
0 -π
(cos x-ex)dx;
(3) e 1 1������dx;
(4)
3 1
2������������32-1dx.
思 路 分析:根据导数与定积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于
被 积 函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合
导 数 公式表.
探究一 探究二 探究三 探究四
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3������-
1 2
������
2
|23 +
1 2
������
2
-3������
|35
=
9-
1 2
×
9-6
π
+
2
+
(2)由 已 知
2
-1
f(x)dx=
25 2
-15-
9 2
0 -1
x2dx+
+ 9 = 52. π
(4)
������ ������
cos
xd x=s in
x|������������ .
(5) (6)
������ ������ ������ ������
1������dx=ln x|������������ (b>a>0). exdx=ex|������������ .
(7)
������ ������
轴下方均存在时,如图③,则
������ ������
f(x)dx=S
上
-S 下.
若
S
上=S
下,则
������ ������
f(x)dx=0.
图③
1
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试一试
曲线
y=cos x
������∈
������2 + 1
������
'=2x-���1���2,
∴
3 1
2������������32-1dx=
������2 + 1
������
|13 =
9+1
3
-2=232.
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探究一
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探究二 探究三 探究四
������变式训练 1������求下列定积分:
∴
0 -π
(cos x-ex)dx=(sin x-ex)|-0π
=(sin 0-e0)-[sin(-π)-e-π]=e1π-1.
(3)∵(ln x)'=1, ∴ e 1 1������dx=ln������ x|e 1=ln e-ln 1=1.
(4)∵2������������32-1 =2x-���1���2 且
解:(1)∵|x-1|+|x-2|= 1,1 < ������ ≤ 2,
2������-3,2 < ������ ≤ 3,
∴
3 0
(|x-1|+|x-2|)dx=
1 0
(3-2x)dx+
2 1
1dx+
3 2
(2x-3)d x=(3x-x2)|01 +x|12 +(x2-3x)|23
=5.
(2)∵
1 sin
a
x
dx= ������������
ln������
|������������
(a
>0
且
a≠1).
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典型例题 1
计算下列定积分:
(1)
2 1
(x2+2x+3)dx;
解 :由
1 -1
[f(x)]2dx=1 可得,
1 -1
(ax+b)2dx=
1 -1
(a2x2+2abx+b2)dx
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探究二分段函数与复合函数定积分的求解
1 .在 求 定积分时,会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况,这 时 我 们就要根据不同的情况把分段函数在区间[a,b]上的积分分成几段积
分 和 的形式.分段的标准是:使每段上的函数表达式确定,按照原来函数分段 的 情 况分段即可.
3 .常 见 函数的定积分公式
(1)
������ ������
Cdx=Cx|������������ (C
为常数).
(2)
������ ������
xndx=������1+1xn+1|������������ (n≠-1).
(3)
������ ������
s in
xdx=-cos
x|������������ .
2 .当 被 积函数的原函数是一个复合函数时,要特别注意原函数的求解
与复合函数的求导区分开来.例如:对于被积函数 y=sin 3x,其原函数应为 y=-13cos 3x,而其导数应为 y'=3cos 3x.
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������ ������
f(x)dx=F(x)|������������ =F(b)-F(a).
(3)作用:揭示了定积分与导数间的内在联系,并提供了计算定积分的一
种有效方法.
1
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练一练 1
2
0
(cos x-1)dx
=13x3|-01+(sin x-x)|0π2=13 +
1-
π 2
=
4 3
−
π2.
(3)∵
1 e2������
2
'=e2x,∴
1 2
0
e2xdx=12e2x|012
=
12e-12.
(∴4)∵01[l2n������(2+2x1d+x1=)]l'n=(22���x���2++11,)|01=ln 3-ln 1=ln 3.
3 2
2
3
9 = 172.
13
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2������ 2
=
1-cos������ 2
,
而 1 ������- 1 sin������ '=1 − 1cos x,
当堂检测
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典型例题 2
计算下列定积分:
(1)
5 2
|x-3|dx;
(2)若 f(x)=
������2,������ ≤ 0, 求 cos������-1,������ > 0,
π 2
-1
f(x)dx;
1
(3)
2
0
e2xdx;
(4)
1 0
2������2+1dx.
思 路 分析:(1)(2)写 成分段函数,利用定积分性质求解;(3)(4)利用复合函
π 6
=-12.
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探究三微积分基本定理的应用
定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系,可以通过定积分构造 新的函数,进而可利用该函数的性质求参数的值.也可对这一函数进行性质、 最值等方面的考查,解题过程中通常应用转化的思想方法.
若 f'(x)=ex,则 f(x)可以是( )
A.ex+x
B.ex+x2
C.ex+ln x
D.ex+C(C 为常数)
答 案 :D
练一练 2
2 1
1 + 2������
������
dx=
.
解析:∵(ln x+x2)'=1������+2x,
∴2 1
1 + 2������
������
dx=
1 + 2������
������
dx=(ex+ln x)|12=e2+ln 2-e.
(2)因 为
������(1+
������)=x+
������,
1
������
2
+
2
������
3 2
'=x+
������,
2
3
所以 9
1
������(1+
������)dx=
9 1
(x+
������)dx=
1
������
2
+
2
������
数 求 定积分.
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解:(1)∵|x-3|= 3-������,������∈[2,3),
������-3,������∈[3,5],